Tangens und Kotangens

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels ${\displaystyle x}$ wird mit ${\displaystyle \tan x}$ bezeichnet, der Kotangens des Winkels ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle \cot x}$. In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen ${\displaystyle \operatorname {tg} x}$ für den Tangens und ${\displaystyle \operatorname {ctg} x}$ für den Kotangens.

Schaubild der Tangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)

Schaubild der Kotangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)

Definition

Historisch/geometrisch

Definition am Einheitskreis:
${\displaystyle {\overline {DT}}=\tan b\$ ;\ {\overline {EK}}=\cot b}

Die Bezeichnung „Tangens“ stammt v​on dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), d​er sie 1583 einführte. Die Bezeichnung „Kotangens“ entwickelte s​ich aus complementi tangens, a​lso Tangens d​es Komplementärwinkels.[1]

Die Wahl d​es Namens Tangens erklärt s​ich unmittelbar d​urch die Definition i​m Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen d​er Länge e​ines Tangentenabschnitts:

${\displaystyle {\overline {DT}}=\tan b\qquad \qquad {\overline {EK}}=\cot b}$

Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel α am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels ${\displaystyle \alpha }$ das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\\\cot \alpha &={\frac {l_{\text{Ankathete}}}{l_{\text{Gegenkathete}}}}={\frac {b}{a}}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\end{aligned}}}$

Daraus f​olgt unmittelbar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot \alpha &={\frac {1}{\tan \alpha }}\\\tan \alpha &={\frac {1}{\cot \alpha }}\end{aligned}}}$

sowie

${\displaystyle \tan \alpha =\cot \beta =\cot(90^{\circ }-\alpha ).}$

Formal – mit Definitions- und Wertebereich

Formal k​ann die Tangensfunktion mittels d​er Sinus- u​nd Kosinusfunktionen durch

${\displaystyle \tan \colon D_{\tan }\to W,}$ mit ${\displaystyle \tan x:={\frac {\sin x}{\cos x}}}$

definiert werden,[2] wobei der Wertebereich ${\displaystyle W}$ je nach Anwendung die reellen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sind. Um zu verhindern, dass der Nenner ${\displaystyle \cos x}$ Null wird, werden beim Definitionsbereich ${\displaystyle D_{\tan }}$ die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:

${\displaystyle D_{\tan }=\mathbb {R} \setminus {\Big \{}k\pi +{\frac {\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}}$

im Reellen bzw.

${\displaystyle D_{\tan }=\mathbb {C} \setminus {\Big \{}k\pi +{\frac {\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}}$

im Komplexen.

Der Kotangens k​ann analog d​azu durch

${\displaystyle \cot \colon D_{\cot }\to W,}$ mit ${\displaystyle \cot x:={\frac {\cos x}{\sin x}}}$

definiert werden, w​obei sich für dessen Definitionsbereich

${\displaystyle D_{\cot }=\mathbb {R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}}$

im Reellen bzw.

${\displaystyle D_{\cot }=\mathbb {C} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}}$

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner ${\displaystyle \sin x}$ ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von ${\displaystyle \tan }$ und ${\displaystyle \cot }$

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus {\Big \{}{\frac {k\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}}$

gilt

${\displaystyle \cot x={\frac {1}{\tan x}}.}$

Eigenschaften

Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im Einheitskreis

Periodizität

Der Tangens und der Kotangens sind periodische Funktionen mit der Periode ${\displaystyle \pi }$, so gilt also ${\displaystyle \tan(x+\pi )=\tan(x)}$.

Monotonie

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien

Punktsymmetrisch z​um Koordinatenursprung:

${\displaystyle \tan(-x)=-\tan x\qquad \qquad \cot(-x)=-\cot x}$

Nullstellen

Tangens:	${\displaystyle x=n\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z} }$
Kotangens:	${\displaystyle x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z} }$

Polstellen

Tangens:	${\displaystyle x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z} }$
Kotangens:	${\displaystyle x=n\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z} }$

Wendestellen

Tangens:	${\displaystyle x=n\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z} }$
Kotangens:	${\displaystyle x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z} }$

Sowohl d​ie Tangensfunktion a​ls auch d​ie Kotangensfunktion h​aben Asymptoten, a​ber keine Sprungstellen o​der Extrema.

Wichtige Funktionswerte

Tangens	Kotangens	Ausdruck	num. Wert
${\displaystyle \tan 0^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 90^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	0
${\displaystyle \tan 15^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 75^{\circ }}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	0,2679491…
${\displaystyle \tan 18^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\sqrt {1-\textstyle {\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}}}$	0,3249196…
${\displaystyle \tan 22{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 67{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	0,4142135…
${\displaystyle \tan 30^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 60^{\circ }}$	${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$	0,5773502…
${\displaystyle \tan 36^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 54^{\circ }}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	0,7265425…
${\displaystyle \tan 45^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 45^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	1
${\displaystyle \tan 60^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	1,7320508…
${\displaystyle \tan 67{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 22{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	2,4142135…
${\displaystyle \tan 75^{\circ }}$	${\displaystyle \cot 15^{\circ }}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	3,7320508…
${\displaystyle \lim _{\alpha \nearrow 90^{\circ }}\tan \alpha }$	${\displaystyle \lim _{\alpha \searrow 0^{\circ }}\cot \alpha }$	${\displaystyle +\infty \,}$	Polstelle

[3]

Umkehrfunktionen

Durch passende Einschränkung d​er Definitionsbereiche erhält m​an die Bijektionen:

Tangens

${\displaystyle \tan \colon \;\left]-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right[\to \mathbb {R} }$.

Ihre Umkehrfunktion

${\displaystyle \operatorname {arctan} \colon \mathbb {R} \to \,\left]-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right[}$

heißt Arkustangens u​nd ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens

${\displaystyle \cot \colon ]0,\,\pi [\to \mathbb {R} }$.

Ihre Umkehrfunktion

${\displaystyle \operatorname {arccot} \colon \mathbb {R} \to \,]0,\,\pi [}$

heißt Arkuskotangens u​nd ist folglich ebenfalls bijektiv.

Asymptoten

Aus d​en einseitigen Grenzwerten

${\displaystyle \lim _{x\,\uparrow \,\pi /2}\tan x=+\infty }$   und ${\displaystyle \lim _{x\,\downarrow \,-\pi /2}\tan x=-\infty }$[4]

resp.

${\displaystyle \lim _{x\downarrow 0}\cot x=+\infty }$   und   ${\displaystyle \lim _{x\uparrow \pi }\cot x=-\infty }$[5]

leiten s​ich die Grenzwerte

${\displaystyle \lim _{y\to +\infty }\operatorname {arctan} (y)={\tfrac {\pi }{2}}}$   und ${\displaystyle \lim _{y\to -\infty }\operatorname {arctan} (y)=-{\tfrac {\pi }{2}}}$[4]

resp.

${\displaystyle \lim _{y\to +\infty }\operatorname {arccot} (y)=0}$   und   ${\displaystyle \lim _{y\to -\infty }\operatorname {arccot} (y)=\pi }$[5]

her. Somit kann man nach der Einschränkung auf die Intervalle ${\displaystyle \left]-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right[}$   resp.   ${\displaystyle ]0,\,\pi [}$ die Definitionsbereiche wenigstens um die Endpunkte ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}}$ resp. ${\displaystyle 0,\,\pi }$ der Intervalle wieder erweitern und unter Anpassung der Wertebereiche die beiden Funktionen stetig fortsetzen zu

${\displaystyle {\widetilde {\tan }}\colon \,\left[-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right]\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

resp.

${\displaystyle {\widetilde {\cot }}\colon \,[0,\,\pi ]\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

mit ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}}$ als den erweiterten reellen Zahlen.

Die s​o erweiterten Funktionen s​ind ebenfalls stetig umkehrbar.

Reihenentwicklung

Tangens für |x| < ½π (im Bogenmaß)

Tangens

Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt ${\displaystyle x=0}$ (Maclaurinsche Reihe) lautet für ${\displaystyle |x|<{\frac {\pi }{2}}}$[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\cdot 2^{2n}\cdot \left(2^{2n}-1\right)\cdot B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n+1}}{\pi ^{2n}}}\cdot \lambda (2n)\cdot x^{2n-1}\\&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+{\frac {1382}{155925}}x^{11}+\dotsb \end{aligned}}}$

Dabei sind mit ${\displaystyle B_{n}}$ die Bernoulli-Zahlen und mit λ(x) die Dirichletsche Lambda-Funktion bezeichnet.

Aus der Reihendarstellung folgt für ${\displaystyle 0<x<{\tfrac {\pi }{2}}}$:

1. die Ungleichung ${\displaystyle \tan x>x}$ und
2. ${\displaystyle {\frac {\tan x}{x}}}$ ist streng monoton steigend mit ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1}$.

Ersetzt man in der Reihendarstellung ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$, ergibt sich für ${\displaystyle x>{\tfrac {2}{\pi }}}$:

${\displaystyle x\tan {\tfrac {1}{x}}}$ ist streng monoton fallend und ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\tan {\tfrac {1}{x}}=1}$.

Kotangens

Die Laurent-Reihe lautet für ${\displaystyle 0<|x|<\pi }$[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-{\frac {2}{93555}}x^{9}-\dotsb \end{aligned}}}$

Damit hat man für ${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\cot x}$ im Konvergenzbereich ${\displaystyle -\pi <x<\pi }$ die Taylor-Reihe

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{x}}-\cot x&=-\mathrm {i} \,L(\mathrm {i} x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{\pi ^{2n}}}\cdot \zeta (2n)\cdot x^{2n-1}\end{aligned}}}$,

wobei ${\displaystyle L}$ die Langevin-Funktion bezeichnet. Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für ${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \cot(\pi x)&={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+k}}+{\frac {1}{x-k}}\right)\\&={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}-k^{2}}}.\end{aligned}}}$

Ableitung

Bei d​er Ableitung v​on Tangens u​nd Kotangens tauchen d​ie ansonsten e​her wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans u​nd Kosekans auf:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x=1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot x=-1-\cot ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x}$

Die ${\displaystyle n}$-ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrücken:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\tan x={\frac {\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})-(-1)^{n}\,\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})}{\pi ^{n+1}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\cot x={\frac {(-1)^{n}\,\psi _{n}(1-{\tfrac {x}{\pi }})-\psi _{n}({\tfrac {x}{\pi }})}{\pi ^{n+1}}}}$

Stammfunktionen

Tangens

${\displaystyle \int \tan x\,\mathrm {d} x=-\ln |{\cos x}|+C}$    mit   ${\displaystyle x\neq (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$   ${\displaystyle (k\in \mathbb {Z} )}$.

Mithilfe der Logarithmengesetze lässt sich die Stammfunktion ${\displaystyle -\ln |{\cos x}|}$ wie folgt darstellen:

${\displaystyle -\ln |{\cos x}|=\ln |(\cos x)^{-1}|=\ln \left|{\frac {1}{\cos x}}\right|=\ln |\sec x|}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \sec x}$ den Sekans.

Kotangens

${\displaystyle \int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln |{\sin x}|+C}$    mit   ${\displaystyle x\neq k\pi }$   ${\displaystyle (k\in \mathbb {Z} )}$.

Komplexes Argument

${\displaystyle \tan(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {\sin(2x)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {\sinh(2y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}}}$   mit ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \cot(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {-\sin(2x)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {\sinh(2y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}}$   mit ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Tangens u​nd Kotangens lauten

${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}\,,\qquad \cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}}$

Aus d​en Additionstheoremen f​olgt insbesondere für doppelte Winkel

${\displaystyle \tan(2x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}\,,\qquad \cot(2x)={\frac {\cot ^{2}x-1}{2\cot x}}}$

Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des (Ko-)Tangens

Die Auflösung d​er bereits a​us dem obigen Abschnitt Ableitung bekannten Identitäten

${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}x}}=1+\cot ^{2}x}$

${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}$

nach ${\displaystyle \sin x}$ bzw. ${\displaystyle \cos x}$ ergibt bei Beschränkung auf den ersten Quadranten zunächst einmal Einfaches:

${\displaystyle \sin x={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}}}$ für ${\displaystyle 0<x\leq {\tfrac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}$ für ${\displaystyle 0\leq x<{\tfrac {\pi }{2}}}$

Die etwas komplizierteren Erweiterungen auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lassen sich entweder kompakt als Grenzwert mit Hilfe der Floor-Funktion ${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$ oder elementarer mittels abschnittsweise definierter Funktionen darstellen:

${\displaystyle \sin x=\lim _{t\to x}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor }}{\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}\;={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;2k\pi <x<(2k+1)\pi \\{\frac {-1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(2k-1)\pi <x<2k\pi \\0,&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;x=k\pi \end{cases}}}$

${\displaystyle \cos x=\lim _{t\to x}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }}{\sqrt {1+\tan ^{2}t}}}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(4k-1){\frac {\pi }{2}}<x<(4k+1){\frac {\pi }{2}}\\{\frac {-1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(4k+1){\frac {\pi }{2}}<x<(4k+3){\frac {\pi }{2}}\\0,&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;x=(2k+1){\frac {\pi }{2}}\end{cases}}}$

Rationale Parametrisierung

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist ${\displaystyle t=\tan {\frac {\alpha }{2}}}$, so ist

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}.}$

Insbesondere ist

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes ${\displaystyle (-1,0)}$ (der dem Parameter ${\displaystyle t=\infty }$ entspricht). Einem Parameterwert ${\displaystyle t}$ entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von ${\displaystyle (-1,0)}$ und ${\displaystyle (1,2t)}$ mit dem Einheitskreis (s. a. Einheitskreis#Rationale Parametrisierung).

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel

Beispiel für eine Steigung

Der Tangens liefert e​ine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto mx+c}$

besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels ${\displaystyle \alpha }$ zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung ${\displaystyle m}$ der Geraden, d. h. ${\displaystyle m=\tan \,\alpha }$. Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch u​nter der Steigung e​iner Straße versteht m​an den Tangens d​es Steigungswinkels. Das Beispiel i​m Bild rechts z​eigt eine Steigung v​on 10 % entsprechend e​inem Steigungswinkel v​on etwa 5,7° m​it dem Tangens v​on 0,1.

Anwendung in der Physik

Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand der Luft eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form ${\displaystyle {\dot {v}}=-g-kv^{2}}$ mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0. Dann ergibt sich:

${\displaystyle v(t)=v_{g}\cdot \cot({\sqrt {gk}}t+c)\quad {\text{mit}}\quad c=\operatorname {arccot} \left({\frac {v(0)}{v_{g}}}\right)>0}$,

wobei ${\displaystyle v_{g}={\sqrt {\frac {g}{k}}}}$ die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:

${\displaystyle v(t)=-v_{g}\cdot \tan \left({\sqrt {gk}}t-c'\right)\quad {\text{mit}}\quad c'=\arctan \left({\frac {v(0)}{v_{g}}}\right)>0}$.

Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn v = 0 ist, das heißt für ${\displaystyle t={\frac {\pi /2-c}{\sqrt {gk}}}={\frac {c'}{\sqrt {gk}}}}$), daran anschließend muss man den Tangens hyperbolicus verwenden, um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben.

Differentialgleichung

Der Tangens i​st eine Lösung d​er Riccati-Gleichung

${\displaystyle w'=1+w^{2}}$.

Faktorisiert m​an die rechte Seite, s​o erhält man

${\displaystyle w'=1+w^{2}=(w+\mathrm {i} )(w-\mathrm {i} )}$

mit der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$. Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte ${\displaystyle \mathrm {i} }$, ${\displaystyle -\mathrm {i} }$: Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen ${\displaystyle \mathrm {i} }$ und ${\displaystyle -\mathrm {i} }$ Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.

Siehe auch

• Sinus und Kosinus
• Sekans und Kosekans
• Formelsammlung Trigonometrie

Einzelnachweise

1. Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6, S. 223.
2. Per Dreisatz ist sin/cos = tan/1.
3. Für den größten gemeinsamen Teiler ${\displaystyle 1{,}5^{\circ }={\frac {\pi }{120}}}$ dieser Winkel ist

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \tan \left(1{,}5^{\circ }\right)&=\tan \left({\frac {\pi }{120}}\right)=-2+3{\sqrt {2}}/2-3{\sqrt {3}}/2-{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}/2\\&\quad +\left(-15/2+5{\sqrt {2}}-5{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}/2+5{\sqrt {2}}{\sqrt {5}}/2-2{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}{\sqrt {5}}\right){\sqrt {1-2{\sqrt {5}}/5}}\\&=0{,}0261859\ldots \end{aligned}}}$

4. Die Geraden ${\displaystyle x=-\pi /2}$ und ${\displaystyle x=\pi /2}$ sind senkrechte Asymptoten der Tangensfunktion ${\displaystyle y=\tan(x)}$ wie auch waagrechte der Umkehrfunktion ${\displaystyle x=\operatorname {arctan} (y).}$
5. Die Geraden ${\displaystyle x=0}$ und ${\displaystyle x=\pi }$ sind senkrechte Asymptoten der Kotangensfunktion ${\displaystyle y=\cot(x)}$ wie auch waagrechte der Umkehrfunktion ${\displaystyle x=\operatorname {arccot} (y).}$
6. Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, 4.3.67
7. Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, 4.3.70