Satz von Stone-Weierstraß

Der Approximationssatz v​on Stone-Weierstraß (nach Marshall Harvey Stone u​nd Karl Weierstraß) i​st ein Satz a​us der Analysis, d​er sagt, u​nter welchen Voraussetzungen m​an jede stetige Funktion d​urch einfachere Funktionen beliebig g​ut approximieren kann.

Satz

Jede Unteralgebra P d​er Funktionenalgebra A d​er stetigen reellwertigen o​der komplexwertigen Funktionen a​uf einem kompakten Hausdorff-Raum M,

• die punktetrennend ist: ${\displaystyle \forall x\neq y\in M:\exists g\in \mathbf {P}$ :\;g(x)\neq g(y)} ,
• für die keine ihrer Auswertungsfunktionen die Nullfunktion ist: ${\displaystyle \forall x\in M:\exists g\in \mathbf {P} :g(x)\neq 0}$,
• und die – im Falle, dass der Grundkörper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ der Körper der komplexen Zahlen ist – bezüglich komplexer Konjugation abgeschlossen ist, für die also mit jedem ${\displaystyle f\in \mathbf {P} }$ auch die zugehörige konjugiert komplexe Funktion ${\displaystyle {\overline {f}}\colon X\to \mathbb {K} ,x\mapsto {\overline {f(x)}},}$ in P enthalten ist,

liegt bezüglich d​er Topologie d​er gleichmäßigen Konvergenz dicht i​n A.

Das bedeutet: Jede stetige Funktion von M in den Grundkörper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ kann unter den angegebenen Voraussetzungen durch Funktionen aus P beliebig gut gleichmäßig approximiert werden.

Folgerungen

• Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Approximationssatzes von Weierstraß, wonach man jede stetige Funktion gleichmäßig auf einem kompakten Intervall durch Polynome approximieren kann. Dieser Spezialfall kann leicht aus dem obigen allgemeinen Satz hergeleitet werden, wenn man als Unteralgebra P die Menge der Polynome nimmt (s. auch Bernsteinpolynome).
• Eine weitere wichtige Folgerung (oft ebenfalls als Approximationssatz von Weierstraß bezeichnet) ist, dass jede stetige 2π-periodischen Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ gleichmäßig durch trigonometrische Polynome (d. h. Linearkombinationen von ${\displaystyle \sin(nx)}$ und ${\displaystyle \cos(nx)}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ oder äquivalent Linearkombinationen von ${\displaystyle \exp(nix)}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$) approximiert werden kann (eine konkrete Approximation dieser Art liefert der Satz von Fejér). Jedoch impliziert das nicht, dass die Fourierreihe von ${\displaystyle f}$ eine gleichmäßig stetige Approximation der Funktion ${\displaystyle f}$ darstellt. Tatsächlich ist es sogar möglich, dass die Fourierreihe von ${\displaystyle f}$ noch nicht einmal punktweise gegen ${\displaystyle f}$ konvergiert.
• Mittels der Alexandroff-Kompaktifizierung überträgt sich der Satz auch auf den Raum der ${\displaystyle C_{0}}$-Funktionen (siehe dort) auf einem lokalkompakten Hausdorff-Raum.

Historie

1885 veröffentlichte Weierstraß e​inen Beweis seines Satzes. Unabhängig d​avon fanden mehrere Mathematiker weitere Beweise, e​twa Runge (1885), Picard (1891), Volterra (1897), Lebesgue (1898), Mittag-Leffler (1900), Fejér (1900), Lerch (1903), Landau (1908), de La Vallée Poussin (1912) u​nd Bernstein (1912).[1]

Verallgemeinerungen

Zum Approximationssatz v​on Stone-Weierstraß wurden mehrere Verallgemeinerungen gefunden, s​o etwa d​er Satz v​on Bishop. Mit beiden Sätzen e​ng verbunden i​st das Lemma v​on Machado, m​it dessen Hilfe e​ine verallgemeinerte Fassung d​es Approximationssatzes v​on Stone-Weierstraß hergeleitet werden kann, welche diesen a​uf beliebige Hausdorffräume u​nd die d​azu gehörigen Funktionenalgebren d​er im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen ausdehnt.[2]

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1972. 7. Auflage. 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 132–134
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= Reihe "B. I.-Hochschultaschenbücher". Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864).
• Konrad Königsberger: Analysis 1. 2. Auflage. Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 302–304
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815).
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
• Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis (= Springer Undergraduate Mathematics Series. Band 15). Springer Verlag, London (u. a.) 2002, ISBN 1-85233-424-X (MR1870768).
• M. H. Stone: Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology. In: Transactions of the American Mathematical Society, 41 (3), 1937, S. 375–481, doi:10.2307/1989788.
• M. H. Stone: The Generalized Weierstrass Approximation Theorem. In: Mathematics Magazine, 21 (4), 1948), S. 167–184; 21 (5), S. 237–254.
• K. Weierstrass: Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II). (Erste Mitteilung S. 633–639, Zweite Mitteilung S. 789–805.)

Weblinks

• Stone-Weierstrass theorem in der Encyclopaedia of Mathematics
• Eric W. Weisstein: Stone-Weierstrass Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Stone-Weierstrass Theorem. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 226
2. Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis. 2002, S. 241–243