Satz von Wiener-Ikehara

Der Satz v​on Wiener-Ikehara (manchmal a​uch Taubersatz v​on Wiener-Ikehara) i​st ein mathematischer Satz, d​er besonders i​n der analytischen Zahlentheorie Anwendung findet. Unter gewissen Voraussetzungen m​acht er Aussagen über d​as asymptotische Verhalten zahlentheoretischer Funktionen. Er i​st nach Norbert Wiener u​nd Shikao Ikehara benannt.

Aussage

Es sei auf der Halbebene gegeben durch die Dirichletreihe

wobei für alle . Ferner besitze die Funktion

für ein eine stetige Fortsetzung auf die geschlossene Halbebene . Dann gilt bereits

.

Version für Integrale

Es sei eine reellwertige Funktion, welche folgende Eigenschaften erfülle:

  • sie ist monoton steigend,
  • sie verschwindet für alle Werte ,
  • sie ist rechtsstetig.

Weiter existiere d​ie Mellin-Stieltjes-Transformierte

für alle Werte . Gibt es nun ein , so dass sich die Funktion

stetig auf die halbebene fortsetzen lässt, so gilt bereits

.

Beispiel

Ein einfaches Beispiel liefert die Riemannsche Zetafunktion , welche auf der Halbebene durch die Standard-Dirichletreihe

gegeben ist. Sie kann zu einer auf holomorphen Funktion fortgesetzt werden und besitzt in einen Pol erster Ordnung mit Residuum . Daraus folgt, dass

eine ganze Funktion ist, also insbesondere von stetig auf die Halbebene fortgesetzt werden kann. In der Tat gilt

Anwendung

Mit Hilfe des Taubersatzes von Wiener-Ikehara kann der Primzahlsatz bewiesen werden. Dabei wird der Satz auf die Dirichletreihe der Funktion angewendet, wobei zunächst gezeigt werden muss, dass die Zetafunktion auf der Geraden nicht verschwindet. Es folgt

was äquivalent z​um Primzahlsatz ist.

Verallgemeinerungen

Im Jahre 1954 konnte Delange den Satz von Wiener-Ikehara deutlich verallgemeinern, nämlich auf Singularitäten gemischten Typs.[1] Es sei eine Dirichlet-Reihe mit nicht-negativen Koeffizienten, welche auf einer Halbebene konvergiert. Man nehme an, lasse sich mit Ausnahme des Punktes holomorph auf die gesamte Gerade fortsetzen und dass es sich in einer kleinen Umgebung um in der Form

schreiben lässt, wobei eine reelle Zahl und die Funktionen und holomorph sind mit . Dann gilt: ist keine negative ganze Zahl, so folgt

und ist es eine negative ganze Zahl und :

Literatur

  • Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-21058-X.
  • S. Ikehara: An extension of Landau's theorem in the analytic theory of numbers, Journal of Mathematics and Physics of the Massachusetts Institute of Technology, Band 10, 1931, S. 1–12
  • Norbert Wiener: Tauberian Theorems, Annals of Mathematics, Second Series, Band 33, 1932, S. 1–100

Einzelnachweise

  1. Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory, AMS, 1990, S. 350
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