Satz von Wiener-Ikehara

Der Satz v​on Wiener-Ikehara (manchmal a​uch Taubersatz v​on Wiener-Ikehara) i​st ein mathematischer Satz, d​er besonders i​n der analytischen Zahlentheorie Anwendung findet. Unter gewissen Voraussetzungen m​acht er Aussagen über d​as asymptotische Verhalten zahlentheoretischer Funktionen. Er i​st nach Norbert Wiener u​nd Shikao Ikehara benannt.

Aussage

Es sei ${\displaystyle f(s)}$ auf der Halbebene ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s>1}$ gegeben durch die Dirichletreihe

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

wobei ${\displaystyle a_{n}\geq 0}$ für alle ${\displaystyle n}$. Ferner besitze die Funktion

${\displaystyle g(s)=f(s)-{\frac {A}{s-1}}}$

für ein ${\displaystyle A>0}$ eine stetige Fortsetzung auf die geschlossene Halbebene ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s\geq 1}$. Dann gilt bereits

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}a_{n}=A}$.

Version für Integrale

Es sei ${\displaystyle v(x)}$ eine reellwertige Funktion, welche folgende Eigenschaften erfülle:

• sie ist monoton steigend,
• sie verschwindet für alle Werte ${\displaystyle x<1}$,
• sie ist rechtsstetig.

Weiter existiere d​ie Mellin-Stieltjes-Transformierte

${\displaystyle f(z)=z\int _{1}^{\infty }v(x)x^{-z-1}\mathrm {d} x}$

für alle Werte ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z>1}$. Gibt es nun ein ${\displaystyle A>0}$, so dass sich die Funktion

${\displaystyle g(z)=f(z)-{\frac {A}{z-1}}}$

stetig auf die halbebene ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z\geq 1}$ fortsetzen lässt, so gilt bereits

${\displaystyle {\frac {v(x)}{x}}\longrightarrow A\quad {\text{wenn}}\quad x\longrightarrow \infty }$.

Beispiel

Ein einfaches Beispiel liefert die Riemannsche Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (s)}$, welche auf der Halbebene ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s>1}$ durch die Standard-Dirichletreihe

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$

gegeben ist. Sie kann zu einer auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ holomorphen Funktion fortgesetzt werden und besitzt in ${\displaystyle s=1}$ einen Pol erster Ordnung mit Residuum ${\displaystyle A=1}$. Daraus folgt, dass

${\displaystyle g(s)=\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}}$

eine ganze Funktion ist, also insbesondere von ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s>1}$ stetig auf die Halbebene ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s\geq 1}$ fortgesetzt werden kann. In der Tat gilt

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}1=\lim _{N\to \infty }{\frac {N}{N}}=1.}$

Anwendung

Mit Hilfe des Taubersatzes von Wiener-Ikehara kann der Primzahlsatz bewiesen werden. Dabei wird der Satz auf die Dirichletreihe der Funktion ${\displaystyle f(z)=-{\frac {\zeta '(z)}{\zeta (z)}}}$ angewendet, wobei zunächst gezeigt werden muss, dass die Zetafunktion auf der Geraden ${\displaystyle \mathrm {Re} \,z=1}$ nicht verschwindet. Es folgt

${\displaystyle {\frac {1}{u}}\sum _{p^{\alpha }\leq u}\log p{\overset {u\to \infty }{\longrightarrow }}1,}$

was äquivalent z​um Primzahlsatz ist.

Verallgemeinerungen

Im Jahre 1954 konnte Delange den Satz von Wiener-Ikehara deutlich verallgemeinern, nämlich auf Singularitäten gemischten Typs.[1] Es sei ${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ eine Dirichlet-Reihe mit nicht-negativen Koeffizienten, welche auf einer Halbebene ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>\sigma >0}$ konvergiert. Man nehme an, ${\displaystyle F}$ lasse sich mit Ausnahme des Punktes ${\displaystyle s=\sigma }$ holomorph auf die gesamte Gerade ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)=\sigma }$ fortsetzen und dass es sich in einer kleinen Umgebung um ${\displaystyle s=\sigma }$ in der Form

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{(s-\sigma )^{w+1}}}\sum _{j=0}^{q}g_{j}(s)\left\{\log \left({\frac {1}{s-\sigma }}\right)\right\}^{j}+g(s),}$

schreiben lässt, wobei ${\displaystyle w}$ eine reelle Zahl und die Funktionen ${\displaystyle g_{j}}$ und ${\displaystyle g}$ holomorph sind mit ${\displaystyle g_{q}(\sigma )\not =0}$. Dann gilt: ist ${\displaystyle w}$ keine negative ganze Zahl, so folgt

${\displaystyle \sum _{n\leq x}a_{n}\sim {\frac {g_{q}(\sigma )}{\sigma \Gamma (w+1)}}x^{\sigma }(\log(x))^{w}(\log(\log(x)))^{q},}$

und ist es eine negative ganze Zahl ${\displaystyle w=-m-1}$ und ${\displaystyle q\geq 1}$:

${\displaystyle \sum _{n\leq x}a_{n}\sim (-1)^{m}m!{\frac {qg_{q}(\sigma )}{\sigma }}{\frac {x^{\sigma }(\log(\log(x)))^{q-1}}{(\log(x))^{m+1}}}.}$

Literatur

• Jacob Korevaar: Tauberian Theory. A century of developments. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-21058-X.
• S. Ikehara: An extension of Landau's theorem in the analytic theory of numbers, Journal of Mathematics and Physics of the Massachusetts Institute of Technology, Band 10, 1931, S. 1–12
• Norbert Wiener: Tauberian Theorems, Annals of Mathematics, Second Series, Band 33, 1932, S. 1–100

Einzelnachweise

1. Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory, AMS, 1990, S. 350