Jensensche Formel

In d​er Mathematik g​ibt die Jensensche Formel e​ine Formel für d​ie Integration e​iner analytischen Funktion über d​en Rand e​ines Kreises. Die Formel i​st nach d​em dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen benannt, d​er sie 1899 erstmals beschrieb.

Sie i​st von grundlegender Bedeutung i​n der Nevanlinna-Theorie (Wertverteilungstheorie).

Formel

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ eine analytische Funktion und seien ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ihre Nullstellen in der Kreisfläche ${\displaystyle D_{r}=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<r\right\}}$ für ein ${\displaystyle r>0}$. Dann gilt

${\displaystyle \log |f(0)|=\sum _{k=1}^{n}\log {\frac {|a_{k}|}{r}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}$

Falls ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle D_{r}}$ keine Nullstellen hat, erhält man den Mittelwertsatz von Gauß für die harmonische Funktion ${\displaystyle \log |f(z)|}$.

Beispiel: Polynome

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lässt sich jedes Polynom über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ zerlegen als

${\displaystyle p(z)=a\prod _{i=1}^{d}(z-\alpha _{i})}$.

Aus der Jensenschen Formel folgt dann mit ${\displaystyle r=1}$:

${\displaystyle \log |a|+\sum _{i=1}^{d}\,\log(\max(|\alpha _{i}|,1))={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |p(e^{i\theta })|\,d\theta .}$

Beispiel: ${\displaystyle p(z)=z^{2}-z+1}$ lässt sich zerlegen als ${\displaystyle p(z)=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})}$ mit ${\displaystyle \alpha _{1,2}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$. Wegen ${\displaystyle |\alpha _{1}|=|\alpha _{2}|=1}$ folgt daraus

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\log |p(e^{i\theta })|\,d\theta =0}$.

Literatur

• J. Jensen: Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions. In: Acta Mathematica. (Springer Netherlands) 22, 1899, S. 359–364. (französisch)
• P. Borwein, T. Erdélyi: Jensen’s Formula. §4.2.E.10c In: Polynomials and Polynomial Inequalities. Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94509-1, S. 187.
• S. G. Krantz: Jensen’s Formula. §9.1.2 In: Handbook of Complex Variables. Birkhäuser, Boston MA 1999, ISBN 3-7643-4011-8, S. 117–118.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Jensen’s Formula. In: MathWorld (englisch).