Arkusfunktion

Arkusfunktionen (von lat. arcus „Bogen“), a​uch zyklometrische Funktionen genannt, sind, w​ie es i​hre alternative Bezeichnung a​ls inverse Winkelfunktionen andeutet, Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen – d​ie Arkusfunktionen liefern a​lso zu e​inem gegebenen Winkelfunktionswert d​en zugehörigen Winkel.

Zu jeder der sechs Winkelfunktionen gibt es eine Arkusfunktion, die in mathematischen Formeln und Gleichungen durch ein vorangestelltes ${\displaystyle \operatorname {arc} }$ oder ${\displaystyle \operatorname {a} }$ vom Kürzel der zugehörigen trigonometrischen Funktion unterschieden wird. Vor allem im englischsprachigen Raum, aber auch auf den Tastaturen der meisten Taschenrechner, findet sich immer häufiger eine Schreibweise mit dem Exponenten −1, der signalisieren soll, dass es sich um die Umkehrfunktion (aber nicht um den Kehrwert) der besagten Winkelfunktion handelt:

Winkelfunktion	Arkusfunktion	Kürzel	alternatives Kürzel
Sinus	Arkussinus	${\displaystyle \arcsin }$ oder ${\displaystyle \operatorname {asin} }$	${\displaystyle \sin ^{-1}}$
Kosinus	Arkuskosinus	${\displaystyle \arccos }$ oder ${\displaystyle \operatorname {acos} }$	${\displaystyle \cos ^{-1}}$
Tangens	Arkustangens	${\displaystyle \arctan }$ oder ${\displaystyle \operatorname {atan} }$	${\displaystyle \tan ^{-1}}$
Kotangens	Arkuskotangens	${\displaystyle \operatorname {arccot} }$ oder ${\displaystyle \operatorname {acot} }$	${\displaystyle \cot ^{-1}}$
Sekans	Arkussekans	${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$	${\displaystyle \sec ^{-1}}$
Kosekans	Arkuskosekans	${\displaystyle \operatorname {arccsc} }$	${\displaystyle \csc ^{-1}}$

Die Hauptwerte der arcsin(x)- (rot) und arccos(x)-Funktionen (blau)	Die Hauptwerte der arctan(x)- (rot) und arccot(x)-Funktionen (blau)
	Die Hauptwerte der arcsec(x)- and arccsc(x)-Funktion

Riemannsche Fläche des komplexen Logarithmus. Die Blätter haben einen Abstand von ${\displaystyle 2\pi }$.

Da die trigonometrischen Funktionen periodische Funktionen sind, sind sie zunächst einmal nicht invertierbar. Beschränkt man sich jedoch auf ein Monotonieintervall der jeweiligen Ausgangsfunktion, z. B. auf das Intervall ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ oder ${\displaystyle [0,\pi ]}$, kann die so erhaltene eingeschränkte Funktion sehr wohl invertiert werden. Allerdings überdecken die Monotonieintervalle jeweils nur eine halbe Periode, siehe Abbildung oben. Kennt man jedoch sowohl den Sinus als auch den Kosinus eines Winkels (allgemeiner: komplexe Komponenten), so kann man den Winkel bis auf ganze Perioden ${\displaystyle (2\pi )}$ ermitteln, siehe Abbildung rechts für die Anschauung und atan2 für die Berechnung.

Beziehungen zwischen den Funktionen

Siehe auch: Trigonometrische Funktion: Beziehungen zwischen d​en Funktionen

Die Arkusfunktionen lassen s​ich wie f​olgt ineinander umrechnen:

	arcsin	arccos	arctan	arccot	arcsec	arccsc
arcsin(x)	${\displaystyle \,\arcsin(x)}$	${\displaystyle \,\arccos \left(\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$	${\displaystyle \,\arctan \left(\pm {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccot} \left(\pm {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arcsec} \left(\pm {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)}$
arccos(x)	${\displaystyle \,\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$	${\displaystyle \,\arccos(x)}$	${\displaystyle \,2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}$ für ${\displaystyle |x|\leq 1}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccot} \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccsc} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)}$
arctan(x)	${\displaystyle \,\arcsin \left(\pm {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$	${\displaystyle \,\arccos \left(\pm {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\arctan(x)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arcsec} \left(\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccsc} \left(\pm {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)}$
arccot(x)	${\displaystyle \,\arcsin \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$	${\displaystyle \,\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccot}(x)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccsc} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$
arcsec(x)	${\displaystyle \,\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$	${\displaystyle \,\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\arctan \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccot} \left({\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arcsec}(x)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccsc} \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)}$
arccsc(x)	${\displaystyle \,\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\arccos \left(\pm {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$	${\displaystyle \,\arctan \left(\pm {\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{x}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccot} \left(\pm {\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arcsec} \left(\pm {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\right)}$	${\displaystyle \,\operatorname {arccsc}(x)}$

Wenn das ${\displaystyle \,\pm }$ verwendet wird, ist zu beachten, dass

• ${\displaystyle \,\arcsin \,(x)\geq \ 0}$ für ${\displaystyle \,0\leq x\leq 1}$
• ${\displaystyle \,\arcsin \,(x)\leq \ 0}$ für ${\displaystyle \,-1\leq x\leq 0}$

• ${\displaystyle \,\arctan(x)\geq \ 0}$ für ${\displaystyle \,x\geq 0}$
• ${\displaystyle \,\arctan(x)\leq \ 0}$ für ${\displaystyle \,x\leq 0}$

• ${\displaystyle \,\operatorname {arccsc} \,(x)>\ 0}$ für ${\displaystyle \,x\geq 1}$
• ${\displaystyle \,\operatorname {arccsc} \,(x)<\ 0}$ für ${\displaystyle \,x\leq -1}$

Bei der Berechnung von ${\displaystyle \arccos(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}$ und ${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}$ müssen die berechneten Werte für ${\displaystyle x<0}$ von ${\displaystyle \pi }$ abgezogen werden.

Siehe auch

• Trigonometrische Funktion
• Hyperbelfunktion
• Formelsammlung Trigonometrie

Weblinks

• Information auf Mathe-Online
• Eric W. Weisstein: Inverse Trigonometric Functions. In: MathWorld (englisch).