Millennium-Probleme

Als Millennium-Probleme werden d​ie im Jahr 2000 v​om Clay Mathematics Institute (CMI) i​n Cambridge (Massachusetts) i​n einer Liste aufgezählten ungelösten Probleme d​er Mathematik bezeichnet. Das Institut h​at für d​ie Lösung e​ines der sieben Probleme e​in Preisgeld v​on jeweils e​iner Million US-Dollar ausgelobt.

Liste der Probleme

Die Liste enthält d​ie folgenden sieben Probleme:

1. der Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer aus der Zahlentheorie,
2. der Beweis der Vermutung von Hodge aus der algebraischen Geometrie,
3. Analyse von Existenz und Regularität von Lösungen des Anfangswertproblems der dreidimensionalen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Es werden mehrere Varianten formuliert, unter anderem die Frage nach der Existenz von glatten (${\displaystyle C^{\infty }}$) Lösungen ${\displaystyle u(x,t)}$ (Geschwindigkeit), ${\displaystyle p(x,t)}$ (Druck) der inkompressiblen kräftefreien Navier-Stokes-Gleichung in drei Dimensionen für alle positiven Zeiten, wobei die Energie beschränkt bleibt ${\displaystyle \textstyle \left(\int u^{2}{\text{d}}V<C\right)}$. Der Anfangswert ${\displaystyle u_{0}=u(x,0)}$ wird als glatt vorausgesetzt (${\displaystyle C^{\infty }}$), mit einer Wachstumsbeschränkung an die räumlichen Ableitungen. In einer anderen Variante werden periodische Randbedingungen vorgegeben (Lösungen auf dem dreidimensionalen Torus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$ statt in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$). Es wird auch danach gefragt, ob es glatte Kraftfelder ${\displaystyle f}$ (mit Beschränkungen des Wachstums der Ableitungen von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle u_{0}}$) und Anfangsbedingungen gibt, für die keine solchen für alle positiven Zeiten glatten Lösungen für Druck ${\displaystyle p}$ und Geschwindigkeit ${\displaystyle u}$ existieren (wie oben mit endlicher Energie).
4. die Lösung des P-NP-Problems der Informatik,
5. der Beweis der Poincaré-Vermutung in der Topologie (2002 gelöst von Grigori Jakowlewitsch Perelman),
6. der Beweis der Riemannschen Vermutung der Zahlentheorie,
7. die Erforschung der Gleichungen von Yang-Mills. Genauer wird nach einer strengen Begründung (im Sinn der Axiomatischen Quantenfeldtheorie) der quantisierten Yang-Mills-Theorie für beliebige kompakte einfache Eichgruppen ${\displaystyle G}$ in vier Dimensionen (euklidische Raum-Zeit) gefragt und der Existenz einer Massenlücke (das heißt, die vorhergesagten energetisch niedrigsten Anregungen haben endliche positive Masse). Das entspricht der Erwartung im Fall der Quantenchromodynamik (QCD), wo Glueballs endliche nichtverschwindende Masse haben, auch wenn die Eichbosonen (Gluonen) masselos sind. Das Problem wurde auch als Annäherung an das wichtigste ungelöste Problem von Yang-Mills-Theorien wie der QCD gewählt, das Confinement-Problem.

Diese Millennium-Liste s​teht in d​er Tradition d​er 100 Jahre z​uvor am 8. August 1900 v​om deutschen Mathematiker David Hilbert a​uf dem Internationalen Mathematiker-Kongress i​n Paris aufgestellten Liste v​on 23 b​is dahin ungelösten Problemen d​er Mathematik, d​ie die Entwicklung d​er Mathematik i​m 20. Jahrhundert wesentlich befruchtet u​nd vorangebracht hat. Die Riemannsche Vermutung i​st als einziges Problem a​uf beiden Listen z​u finden.

Lösungen

Poincaré-Vermutung

Die Poincaré-Vermutung w​urde 2002 v​on Grigori Jakowlewitsch Perelman bewiesen. Für s​eine bahnbrechenden Arbeiten w​urde ihm 2006 d​ie Fields-Medaille verliehen, d​ie er jedoch (als erster Mathematiker d​er Geschichte) ablehnte. Das Clay-Institut erkannte i​hm 2010 d​as Preisgeld v​on einer Million Dollar zu, d​ies lehnte e​r jedoch ebenfalls ab.[1]

Literatur

• Pierre Basieux: Die Top Seven der mathematischen Vermutungen. rororo, Reinbek bei Hamburg 2004. ISBN 3-499-61932-6.
• James A. Carlson: The millennium prize problems. American Math. Soc., Providence 2006, ISBN 0-8218-3679-X.
• Keith J. Devlin: The millennium problems - the seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time. Basic Books, New York 2002, ISBN 0-465-01729-0.

Weblinks

• CMI-Seite zu den Millennium-Problemen
• John Baez zu den Millennium Problemen, englisch

Videos

• Millennium Meeting claymath.org

Einzelnachweise

1. Genie lehnt Preisgeld ab. In: Focus Online. 2. Juli 2010, abgerufen am 27. Dezember 2013.