Holomorphiegebiet

Das Holomorphiegebiet w​ird in d​er mehrdimensionalen Funktionentheorie betrachtet. Auf j​edem Holomorphiegebiet g​ibt es e​ine holomorphe Funktion, welche n​icht über d​as Gebiet fortgesetzt werden kann.

Definition

Die Mengen in der Definition

Eine offene Menge ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$ heißt Holomorphiegebiet, falls es keine offenen Teilmengen ${\displaystyle \Omega _{1}}$ und ${\displaystyle \Omega _{2}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ gibt mit den folgenden Eigenschaften:

1. ${\displaystyle \emptyset \neq \Omega _{1}\subset \Omega _{2}\cap \Omega }$.
2. ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ist zusammenhängend und nicht in ${\displaystyle \Omega }$ enthalten.
3. Für jede holomorphe Funktion ${\displaystyle u\colon \Omega \to \mathbb {C} }$ existiert eine (notwendigerweise eindeutige) holomorphe Funktion ${\displaystyle u_{2}\colon \Omega _{2}\to \mathbb {C} }$, so dass ${\displaystyle u=u_{2}}$ in ${\displaystyle \Omega _{1}}$ gilt.

Beispiele

• Einfache Beispiele sind der ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, die offene Kugel oder der Polyzylinder.
• Jede konvexe Menge ist ein Holomorphiegebiet.
• Ein Gebiet ist genau dann ein Holomorphiegebiet, wenn es pseudokonvex ist.
• Im Fall ${\displaystyle n=1}$ ist jede offene Teilmenge ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ ein Holomorphiegebiet. Wähle eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(\mathbb {C} )}$ nur mit Nullstellen auf allen Randpunkten von ${\displaystyle \Omega }$, so kann man ${\displaystyle {\tfrac {1}{f}}}$ nicht über ${\displaystyle \Omega }$ hinaus fortsetzen. Das Lemma von Hartogs zeigt, dass eine analoge Aussage für ${\displaystyle n>1}$ falsch ist. Insbesondere ist ${\displaystyle \Delta (0,0;2,2)-{\overline {\Delta (0,0;1,1)}}\subset \mathbb {C} ^{2}}$ kein Holomorphiegebiet, wobei ${\displaystyle \Delta (\ldots ;\ldots )}$ Polyzylinder bezeichne.

Literatur

• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co., Amsterdam; American Elsevier Pub. Co., New York 1973, ISBN 9780444105233.