Satz von Liouville (Funktionentheorie)

Der Satz v​on Liouville i​st ein grundlegendes Ergebnis i​m mathematischen Teilgebiet Funktionentheorie. Er i​st benannt n​ach dem französischen Mathematiker Joseph Liouville.

Aussage

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ eine beschränkte, ganze Funktion, d. h. ${\displaystyle f}$ ist holomorph auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und es gibt eine Konstante ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle |f(z)|\leq c}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ . Dann ist ${\displaystyle f}$ konstant.

Beweis

Die Behauptung f​olgt direkt a​us der Integralformel v​on Cauchy, vgl. a​uch die Darstellung d​es Streits zwischen Cauchy u​nd Liouville.

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ durch ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ beschränkt, dann gilt mit der Integralformel und der Standardabschätzung für Kurvenintegrale

${\displaystyle \left|f'(z)\right|=\left|{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(z)}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot 2\pi r\cdot {\frac {c}{r^{2}}}\rightarrow 0\left(r\rightarrow \infty \right)}$.

Daher ist die Ableitung gleich 0. Da ${\displaystyle \mathbb {C} }$ außerdem zusammenhängend ist, folgt die Behauptung.

Bedeutung und Verallgemeinerungen

Der Satz v​on Liouville liefert e​inen besonders eleganten Beweis für d​en Fundamentalsatz d​er Algebra.

Als Folgerung erhält man sofort, dass ${\displaystyle f(\mathbb {C} )}$ dicht in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist, wenn ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ holomorph und nicht konstant ist. Eine Verschärfung dieser Tatsache ist der kleine Satz von Picard.

In der Sprache der Riemannschen Flächen bedeutet der Satz von Liouville, dass jede holomorphe Funktion von einer parabolischen Riemannschen Fläche (z. B. die komplexe Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ) auf eine hyperbolische Riemannsche Fläche (z. B. die Einheitskreisscheibe in der komplexen Ebene) konstant sein muss.

Der sogenannte verallgemeinerte Satz v​on Liouville besagt:

Ist ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ holomorph und gibt es reelle Zahlen ${\displaystyle b,c,d}$ so, dass für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle |f(z)|\leq b\cdot |z|^{d}+c}$

gilt, so ist ${\displaystyle f}$ ein Polynom mit ${\displaystyle \deg(f)\leq d}$.

Ist ${\displaystyle d=0}$, also ${\displaystyle f}$ beschränkt, so erhält man den "alten" Satz von Liouville, da Polynome vom Grad kleiner gleich 0 konstant sind.

Literatur

• Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4