Summenregel

Die Summenregel i​st in d​er Mathematik e​ine der Grundregeln d​er Differentialrechnung. Sie besagt, d​ass die Summe a​us zwei differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar i​st und d​ass eine solche Summe a​us Funktionen gliedweise differenziert werden kann.

Regel

Die Funktionen ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ seien in einem gemeinsamen Intervall definiert, das die Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ enthält. An dieser Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ seien beide Funktionen differenzierbar. Dann ist auch die Funktion ${\displaystyle f}$ mit

${\displaystyle f(x)=g(x)\,+h(x)}$

an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar, und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})=g'(x_{0})+h'(x_{0})\,}$.

Beispiel

Die Funktionen

${\displaystyle \ g(x)=x^{4}}$

${\displaystyle \ h(x)=x^{3}}$

sind auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ differenzierbar mit den Ableitungsfunktionen

${\displaystyle \ g'(x)=4x^{3}}$

${\displaystyle \ h'(x)=3x^{2}}$.

Daher i​st auch d​ie Funktion

${\displaystyle \ f(x)=g(x)+h(x)=x^{4}+x^{3}}$

auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ differenzierbar mit der Ableitungsfunktion

${\displaystyle \ f'(x)=g'(x)+h'(x)=4x^{3}+3x^{2}}$.

Folgerungen

• Differenzregel: Betrachtet man die Differenz ${\displaystyle f=g-h=g+(-h)}$ für Funktionen ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$, die in ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der Faktorregel, dass ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar ist und für die Ableitung ${\displaystyle f'(x)=g'(x)-h'(x)}$ gilt.
• Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ in ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ differenzierbare Funktionen und ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R} }$ reelle Konstanten, dann ist die Linearkombination ${\displaystyle f(x):=\sum _{i=1}^{n}c_{i}g_{i}(x)}$ wiederum in ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion

  ${\displaystyle f'(x_{0})=\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}g_{i}\right)'(x_{0})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}{g_{i}}'(x_{0})}$.

• Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9.

Weblinks

• Summenregel auf PlanetMath (englisch)