Satz von Osgood (Funktionentheorie)

Der Satz v​on Osgood (nach William Osgood) i​st eine Aussage d​er Funktionentheorie u​nd besagt, d​ass jede injektive holomorphe Funktion e​ine biholomorphe Abbildung a​uf ihr Bild ist.

Satz

Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen und ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}}$ eine injektive holomorphe Funktion. Dann ist ${\displaystyle \Omega ':=f(\Omega )\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen und die Umkehrabbildung ${\displaystyle f^{-1}\colon \Omega '\to \Omega }$ ist holomorph, also die Abbildung ${\displaystyle f}$ biholomorph.

Da Holomorphie e​ine lokale Eigenschaft ist, g​ilt der Satz a​uch für Abbildungen zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten.

Unterschied zum reellen Fall

Für reell-analytische Funktionen gilt die Aussage des Satzes nicht. Beispielsweise ist ${\displaystyle f\colon (-1,1)\to (-1,1)}$ mit ${\displaystyle x\mapsto x^{3}}$ bijektiv und analytisch, aber die Umkehrfunktion ist im Nullpunkt nicht mehr analytisch.

Literatur

• Raghavan Narasimhan: Several Complex Variables., University of Chicago Press, Chicago 1971, ISBN 0-226-56817-2