Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Wahrscheinlichkeitstheorie, a​uch Wahrscheinlichkeitsrechnung o​der Probabilistik, i​st ein Teilgebiet d​er Mathematik, d​as aus d​er Formalisierung, d​er Modellierung u​nd der Untersuchung v​on Zufallsgeschehen hervorgegangen ist. Gemeinsam m​it der mathematischen Statistik, d​ie anhand v​on Beobachtungen zufälliger Vorgänge Aussagen über d​as zugrunde liegende Modell trifft, bildet s​ie das mathematische Teilgebiet d​er Stochastik.

Die zentralen Objekte d​er Wahrscheinlichkeitstheorie s​ind zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen u​nd stochastische Prozesse.

Axiomatischer Aufbau

Wie j​edes Teilgebiet d​er modernen Mathematik w​ird auch d​ie Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch formuliert u​nd auf axiomatischen Vorgaben aufgebaut. Ausgangspunkt d​er Wahrscheinlichkeitstheorie s​ind Ereignisse, d​ie als Mengen aufgefasst werden u​nd denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind; Wahrscheinlichkeiten s​ind reelle Zahlen zwischen 0 u​nd 1; d​ie Zuordnung v​on Wahrscheinlichkeiten z​u Ereignissen m​uss gewissen Mindestanforderungen genügen.

Diese Definitionen g​eben keinen Hinweis darauf, w​ie man d​ie Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln kann; s​ie sagen a​uch nichts darüber aus, w​as Zufall u​nd was Wahrscheinlichkeit eigentlich sind. Die mathematische Formulierung d​er Wahrscheinlichkeitstheorie i​st somit für verschiedene Interpretationen offen, i​hre Ergebnisse s​ind dennoch e​xakt und v​om jeweiligen Verständnis d​es Wahrscheinlichkeitsbegriffs unabhängig.

Definitionen

Konzeptionell wird als Grundlage der mathematischen Betrachtung von einem Zufallsvorgang oder Zufallsexperiment ausgegangen. Alle möglichen Ergebnisse dieses Zufallsvorgangs fasst man in der Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ zusammen. Häufig interessiert man sich jedoch gar nicht für das genaue Ergebnis ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, sondern nur dafür, ob es in einer bestimmten Teilmenge der Ergebnismenge liegt, was so interpretiert werden kann, dass ein Ereignis eingetreten ist oder nicht. Ein Ereignis ist also als eine Teilmenge von ${\displaystyle \Omega }$ definiert. Enthält das Ereignis genau ein Element der Ergebnismenge, handelt es sich um ein Elementarereignis. Zusammengesetzte Ereignisse enthalten mehrere Ergebnisse. Das Ergebnis ist also ein Element der Ergebnismenge, das Ereignis jedoch eine Teilmenge.

Damit man den Ereignissen in sinnvoller Weise Wahrscheinlichkeiten zuordnen kann, werden sie in einem Mengensystem aufgeführt, der Ereignisalgebra oder dem Ereignissystem ${\displaystyle \Sigma }$ über ${\displaystyle \Omega }$, einer Menge von Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }$, für die gilt: Sie enthält ${\displaystyle \Omega }$ und ist ein σ-Körper, d. h., sie ist gegenüber den Mengenoperationen der Vereinigung und der Komplementbildung (relativ bzgl. ${\displaystyle \Omega }$) abgeschlossen genauso wie gegenüber der unendlichen Vereinigung abzählbar vieler Mengen. Die Wahrscheinlichkeiten sind dann Bilder einer gewissen Abbildung ${\displaystyle P}$ des Ereignisraums in das Intervall [0,1]. Solch eine Abbildung heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Tripel ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ wird als Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet.

Axiome von Kolmogorow

Die axiomatische Begründung d​er Wahrscheinlichkeitstheorie w​urde in d​en 1930er Jahren v​on Andrei Kolmogorow entwickelt. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß m​uss demnach folgende d​rei Axiome erfüllen:

Axiome:

1. Für jedes Ereignis ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ist die Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle A}$ eine reelle Zahl zwischen 0 und 1: ${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1}$.
2. Das sichere Ereignis ${\displaystyle \Omega \in \Sigma }$ hat die Wahrscheinlichkeit 1: ${\displaystyle P(\Omega )=1}$.
3. Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Dabei heißen Ereignisse ${\displaystyle A_{i}}$ inkompatibel, wenn sie paarweise disjunkt sind, also bei ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ für alle ${\displaystyle i\neq j}$. Es gilt daher ${\displaystyle P\left(A_{1}\;\;\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!A_{2}\;\;\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!\!\cdots \right)=\sum P(A_{i})}$. Diese Eigenschaft wird auch σ-Additivität genannt.

Beispiel: Im Rahmen e​iner physikalischen Modellbildung w​ird ein Wahrscheinlichkeitsmaß z​ur Beschreibung d​es Ergebnisses e​ines Münzwurfes angesetzt, d​ie möglichen Ergebnisse (Ereignisse genannt) mögen Zahl u​nd Kopf lauten.

• Dann ist die Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega =\{{\text{Zahl}},{\text{Kopf}}\}}$.
• Als Ereignisraum kann die Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )\;}$ gewählt werden, also ${\displaystyle \Sigma =\{\emptyset ,\{{\text{Zahl}}\},\{{\text{Kopf}}\},\Omega \}}$.
• Für das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ steht aufgrund der Axiome fest:
  • ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$
  • ${\displaystyle P(\{{\text{Zahl}}\})=1-P(\{{\text{Kopf}}\})}$
  • ${\displaystyle P(\Omega )=1}$

Zusätzliche physikalische Annahmen über die Beschaffenheit der Münze können nun etwa zur Wahl ${\displaystyle P(\{{\text{Kopf}}\})=P(\{{\text{Zahl}}\})=0{,}5}$ führen.

Folgerungen

Aus d​en Axiomen ergeben s​ich unmittelbar einige Folgerungen:

1. Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse folgt, dass komplementäre Ereignisse (Gegenereignisse) komplementäre Wahrscheinlichkeiten (Gegenwahrscheinlichkeiten) haben: ${\displaystyle P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$.

Beweis: Es ist ${\displaystyle (\Omega \setminus A)\cup A=\Omega }$ sowie ${\displaystyle (\Omega \setminus A)\cap A=\emptyset }$. Folglich nach Axiom (3): ${\displaystyle P(\Omega \setminus A)+P(A)=P(\Omega )}$ und dann nach Axiom (2): ${\displaystyle P(\Omega \setminus A)+P(A)=1}$. Umgestellt ergibt sich: ${\displaystyle P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$.

2. Daraus folgt, dass das unmögliche Ereignis, die leere Menge, die Wahrscheinlichkeit Null hat: ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$.

Beweis: Es ist ${\displaystyle \emptyset \cup \Omega =\Omega }$ und ${\displaystyle \emptyset \cap \Omega =\emptyset }$, also nach Axiom (3): ${\displaystyle P(\emptyset )+P(\Omega )=P(\Omega )}$. Hieraus folgt ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$.

3. Für die Vereinigung nicht notwendig disjunkter Ereignisse folgt: ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$.

Beweis: Die für den Beweis erforderlichen Mengen sind im obigen Bild dargestellt. Die Menge ${\displaystyle A\cup B}$ kann danach als Vereinigung von drei disjunkten Mengen dargestellt werden:

Hieraus folgt nach (3): ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)+P(B\setminus A)}$.

Andererseits ist nach (3) sowohl

${\displaystyle P(A)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)}$ als auch

${\displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P(B\setminus A)}$.

Addition liefert:

${\displaystyle P(A)+P(B)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)+P(A\cap B)+P(B\setminus A)=P(A\cup B)+P(A\cap B)}$.

Umstellen ergibt ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$.

Die Siebformel von Poincaré-Sylvester verallgemeinert diese Behauptung im Falle n verschiedener (nicht notwendig disjunkter) Teilmengen.

Im Weiteren i​st zwischen abzählbaren u​nd überabzählbaren Ergebnismengen z​u unterscheiden.

Abzählbare Ergebnismenge

Beispiel: Ein Glücksrad mit Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3\}}$, Ereignisraum ${\displaystyle \Sigma }$ (hier die Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$) und Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$.

Bei einer abzählbaren Ergebnismenge kann jedem Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Wenn ${\displaystyle \Omega }$ endlich oder abzählbar unendlich ist, kann man für die σ-Algebra ${\displaystyle \Sigma }$ die Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$ wählen. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse aus ${\displaystyle \Omega }$ ist hier 1.

Überabzählbare Ergebnismenge

Die Wahrscheinlichkeit, mit einer als punktförmig angenommenen Dartspitze einen bestimmten Punkt auf einer Scheibe zu treffen, ist null. Eine sinnvolle mathematische Theorie kann man nur auf der Wahrscheinlichkeit aufbauen, bestimmte Teilflächen zu treffen. Solche Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte beschreiben.

Ein Prototyp einer überabzählbaren Ergebnismenge ist die Menge der reellen Zahlen. In vielen Modellen ist es nicht möglich, allen Teilmengen der reellen Zahlen sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Als Ereignissystem wählt man statt der Potenzmenge der reellen Zahlen hier meist die Borelsche σ-Algebra, das ist die kleinste σ-Algebra, die alle Intervalle von reellen Zahlen als Elemente enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra nennt man Borelsche Mengen oder auch (Borel-)messbar. Wenn die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(A)}$ jeder Borelschen Menge ${\displaystyle A}$ als Integral

${\displaystyle P(A)=\int _{A}f(x)\,\mathrm {d} x}$

über eine Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle f}$ geschrieben werden kann, wird ${\displaystyle P}$ absolut stetig genannt. In diesem Fall (aber nicht nur in diesem) haben alle Elementarereignisse {x} die Wahrscheinlichkeit 0. Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P}$ ist nur fast überall eindeutig bestimmt, d. h., sie kann auf einer beliebigen Lebesgue-Nullmenge, also einer Menge vom Lebesgue-Maß 0, abgeändert werden, ohne dass ${\displaystyle P}$ verändert wird. Wenn die erste Ableitung der Verteilungsfunktion von ${\displaystyle P}$ existiert, so ist sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von P. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte werden jedoch nicht als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Spezielle Eigenschaften im Fall diskreter Wahrscheinlichkeitsräume

Laplace-Experimente

Wenn man annimmt, dass nur endlich viele Elementarereignisse möglich und alle gleichberechtigt sind, d. h. mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten (wie zum Beispiel beim Werfen einer idealen Münze, wobei {Zahl} und {Kopf} jeweils die Wahrscheinlichkeit 0,5 besitzen), so spricht man von einem Laplace-Experiment. Dann lassen sich Wahrscheinlichkeiten einfach berechnen: Wir nehmen eine endliche Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ an, die die Mächtigkeit ${\displaystyle |\Omega |=n}$ besitzt, d. h., sie hat ${\displaystyle n}$ Elemente. Dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses einfach ${\displaystyle P={\tfrac {1}{n}}}$.

Beweis: Wenn ${\displaystyle |\Omega |=n}$ ist, dann gibt es ${\displaystyle n}$ Elementarereignisse ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{n}}$. Es ist dann einerseits ${\displaystyle \Omega =E_{1}\cup \cdots \cup E_{n}}$ und andererseits sind je zwei Elementarereignisse disjunkt (inkompatibel: wenn das eine eintritt, kann das andere nicht eintreten). Also sind die Voraussetzungen für Axiom (3) erfüllt, und es gilt:

${\displaystyle P(E_{1})+\cdots +P(E_{n})=P(\Omega )=1.}$

Da nun andererseits ${\displaystyle P(E_{1})=\cdots =P(E_{n})=P}$ sein soll, ist ${\displaystyle n\cdot P=1}$ und daher umgestellt: ${\displaystyle P={\tfrac {1}{n}}}$, wie behauptet.

Als Konsequenz folgt, dass für Ereignisse, die sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzen, die entsprechend vielfache Wahrscheinlichkeit gilt. Ist ${\displaystyle A}$ ein Ereignis der Mächtigkeit ${\displaystyle |A|=m}$, so ist ${\displaystyle A}$ die Vereinigung von ${\displaystyle m}$ Elementarereignissen. Jedes davon hat die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P={\tfrac {1}{n}}}$, also ist ${\displaystyle P(A)=m\cdot {\tfrac {1}{n}}={\tfrac {m}{n}}}$. Man erhält also den einfachen Zusammenhang

${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}.}$

Bei Laplace-Versuchen i​st die Wahrscheinlichkeit e​ines Ereignisses gleich d​er Zahl d​er für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse, dividiert d​urch die Zahl d​er insgesamt möglichen Ergebnisse.

Nachstehend e​in Beispiel b​eim Würfeln m​it einem idealen Würfel.

${\displaystyle \Omega =\{}$⚀⚁⚂⚃⚄⚅${\displaystyle \}}$

${\displaystyle H=\{}$⚄⚅${\displaystyle \}}$

${\displaystyle P(H)={\frac {|H|}{|\Omega |}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}}$

Das Ereignis ${\displaystyle H}$ = Hohe Augenzahl (5 oder 6) hat die Wahrscheinlichkeit 1/3.

Ein typischer Laplace-Versuch ist auch das Ziehen einer Karte aus einem Spiel mit ${\displaystyle n}$ Karten oder das Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit ${\displaystyle n}$ Kugeln. Hier hat jedes Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit. Um die Anzahl der Elementarereignisse bei Laplace-Versuchen zu bestimmen, werden häufig Methoden der Kombinatorik verwendet.

Das Konzept d​er Laplace-Experimente lässt s​ich auf d​en Fall e​iner stetigen Gleichverteilung verallgemeinern.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ${\displaystyle A}$ unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses ${\displaystyle B}$ bereits bekannt ist. Natürlich muss ${\displaystyle B}$ eintreten können, es darf also nicht das unmögliche Ereignis sein. Man schreibt dann ${\displaystyle P(A|B)}$ oder seltener ${\displaystyle P_{B}(A)}$ für „Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle A}$ unter der Voraussetzung ${\displaystyle B}$“, kurz „${\displaystyle P}$ von ${\displaystyle A}$, vorausgesetzt ${\displaystyle B}$“.

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatblatt eine Herz-Karte zu ziehen (Ereignis ${\displaystyle A}$), beträgt 1/4, denn es gibt 32 Karten und darunter 8 Herz-Karten. Dann ist ${\displaystyle P({\text{Herz}})={\tfrac {8}{32}}={\tfrac {1}{4}}}$. Das Gegenereignis ist dann Karo, Pik oder Kreuz und hat deshalb die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {\tfrac {24}{32}}={\tfrac {3}{4}}}$.

Ergebnismenge beim Ziehen einer Karte aus einem Skatspiel

Wenn nun aber bereits das Ereignis ${\displaystyle B}$ „Die Karte ist rot“ eingetreten ist (es wurde eine Herz- oder Karo-Karte gezogen, es ist aber nicht bekannt, welche der beiden Farben), man also nur noch die Auswahl unter den 16 roten Karten hat, dann ist ${\displaystyle P(A|B)={\tfrac {8}{16}}={\tfrac {1}{2}}}$ die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dann um das Herz-Blatt handelt.

Diese Überlegung galt für einen Laplaceversuch. Für den allgemeinen Fall definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von „${\displaystyle A}$, vorausgesetzt ${\displaystyle B}$“ als

${\displaystyle P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.}$

Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt sich daran, dass die so definierte Wahrscheinlichkeit den Axiomen von Kolmogorow genügt, wenn man sich auf ${\displaystyle B}$ als neue Ergebnismenge beschränkt; d. h., dass gilt:

1. ${\displaystyle 0\leq P(A\vert B)\leq 1}$
2. ${\displaystyle P(B\vert B)=1}$
3. Wenn ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ paarweise disjunkt sind, so ist ${\displaystyle P(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}\vert B)=P(A_{1}\vert B)+\cdots +P(A_{k}\vert B)}$

Beweis:

1. ${\displaystyle P(A\vert B)}$ ist Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten, für welche nach Axiom (1) gilt ${\displaystyle P(A\cap B)\geq 0}$ und ${\displaystyle P(B)\geq 0}$. Da ${\displaystyle B}$ nicht das unmögliche Ereignis sein soll, ist sogar ${\displaystyle P(B)>0}$. Also gilt auch für den Quotienten ${\displaystyle P(A\vert B)\geq 0}$. Ferner sind ${\displaystyle A\cap B}$ und ${\displaystyle B\setminus A}$ disjunkt, und ihre Vereinigung ist ${\displaystyle B}$. Also ist nach Axiom (3): ${\displaystyle P(A\cap B)=P(B)-P(B\setminus A)}$.
   Da ${\displaystyle P(B\setminus A)\geq 0}$ ist, folgt ${\displaystyle P(A\cap B)\leq P(B)}$ und daher ${\displaystyle P(A\vert B)\leq 1}$.
2. Es ist ${\displaystyle P(B\vert B)={\frac {P(B\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B)}{P(B)}}=1.}$
3. Des Weiteren ergibt sich:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}\vert B)&={\frac {P((A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})\cap B)}{P(B)}}\\&={\frac {P((A_{1}\cap B)\cup \cdots \cup (A_{k}\cap B))}{P(B)}}\\&={\frac {P(A_{1}\cap B)+\cdots +P(A_{k}\cap B)}{P(B)}}\\&={\frac {P(A_{1}\cap B)}{P(B)}}+\cdots +{\frac {P(A_{k}\cap B)}{P(B)}}\\\\&=P(A_{1}\vert B)+\cdots +P(A_{k}\vert B).\end{aligned}}}$

Dies war zu zeigen.

Beispiel: Es sei wie oben ${\displaystyle A}$ das Ereignis „Ziehen einer Herz-Karte“ und ${\displaystyle B}$ das Ereignis „Es ist eine rote Karte“. Dann ist:

${\displaystyle P(A\cap B)={\frac {8}{32}}={\frac {1}{4}}}$

und

${\displaystyle P(B)={\frac {16}{32}}={\frac {1}{2}}.}$

Folglich gilt:

${\displaystyle P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {\frac {1}{4}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}.}$

Aus d​er Definition d​er bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben s​ich folgende Konsequenzen:

Verbundwahrscheinlichkeit (Schnittmengen von Ereignissen)

Das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ entspricht mengentheoretisch dem Eintreten des Verbund-Ereignisses ${\displaystyle A\cap B}$. Die Wahrscheinlichkeit hiervon berechnet sich zur gemeinsamen Wahrscheinlichkeit oder Verbundwahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)=P(B)\cdot P(A\vert B).}$

Beweis: Nach Definition d​er bedingten Wahrscheinlichkeit i​st einerseits

${\displaystyle P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

und andererseits auch

${\displaystyle P(B\vert A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}.}$

Umstellen nach ${\displaystyle P(A\cap B)}$ liefert dann sofort die Behauptung.

Beispiel: Es wird eine Karte aus 32 Karten gezogen. ${\displaystyle A}$ sei das Ereignis: „Es ist ein König“. ${\displaystyle B}$ sei das Ereignis: „Es ist eine Herz-Karte“. Dann ist ${\displaystyle A\cap B}$ das gleichzeitige Eintreten von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$, also das Ereignis: „Die gezogene Karte ist ein Herz-König“. Offenbar ist ${\displaystyle P(A)={\tfrac {4}{32}}={\tfrac {1}{8}}}$. Ferner ist ${\displaystyle P(B|A)={\tfrac {1}{4}}}$, denn es gibt nur eine Herz-Karte unter den vier Königen. Und in der Tat ist dann ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)={\tfrac {1}{8}}\cdot {\tfrac {1}{4}}={\tfrac {1}{32}}}$ die Wahrscheinlichkeit für den Herz-König.

Satz von Bayes

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle A}$ unter der Bedingung ${\displaystyle B}$ lässt sich durch die bedingte Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle B}$ unter der Bedingung ${\displaystyle A}$ durch

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}}}$

ausdrücken, wenn man die totalen Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle P(B)}$ und ${\displaystyle P(A)}$ kennt (Satz von Bayes).

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen

Ereignisse n​ennt man unabhängig voneinander, w​enn das Eintreten d​es einen d​ie Wahrscheinlichkeit d​es anderen n​icht beeinflusst. Im umgekehrten Fall n​ennt man s​ie abhängig. Man definiert:

Zwei Ereignisse ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind unabhängig, wenn ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$ gilt.

Ungenau, aber einprägsam formuliert: Bei unabhängigen Ereignissen kann man die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.

Dass dies dem Begriff „Unabhängigkeit“ gerecht wird, erkennt man durch Umstellen nach ${\displaystyle P(A)}$:

${\displaystyle P(A)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}=P(A\vert B).}$

Das bedeutet: Die totale Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle A}$ ist ebenso groß wie die Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle A}$, vorausgesetzt ${\displaystyle B}$; das Eintreten von ${\displaystyle B}$ beeinflusst also die Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle A}$ nicht.

Beispiel: Es wird eine aus 32 Karten gezogen. ${\displaystyle A}$ sei das Ereignis „Es ist eine Herz-Karte“. ${\displaystyle B}$ sei das Ereignis „Es ist eine Bild-Karte“. Diese Ereignisse sind unabhängig, denn das Wissen, dass man eine Bild-Karte zieht, beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Herz-Karte ist (Der Anteil der Herz-Karten unter den Bilder-Karten ist ebenso groß wie der Anteil der Herz-Karten an allen Karten). Offenbar ist ${\displaystyle P(A)={\tfrac {8}{32}}={\tfrac {1}{4}}}$ und ${\displaystyle P(B)={\tfrac {12}{32}}={\tfrac {3}{8}}}$. ${\displaystyle A\cap B}$ ist das Ereignis „Es ist eine Herz-Bildkarte“. Da es davon drei gibt, ist ${\displaystyle P(A\cap B)={\tfrac {3}{32}}}$. Und in der Tat stellt man fest, dass ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\cdot {\tfrac {3}{8}}={\tfrac {3}{32}}}$ ist.

Ein weiteres Beispiel für s​ehr kleine u​nd sehr große Wahrscheinlichkeiten findet s​ich in Infinite-Monkey-Theorem.

Maßtheoretische Sichtweise

Die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet n​ur Wahrscheinlichkeiten a​uf diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen u​nd stetige Modelle m​it Dichtefunktionen. Diese beiden Ansätze lassen s​ich durch d​ie moderne Formulierung d​er Wahrscheinlichkeitstheorie, d​ie auf d​en Konzepten u​nd Ergebnissen d​er Maß- u​nd Integrationstheorie beruht, vereinheitlichen u​nd verallgemeinern.

Wahrscheinlichkeitsräume

→ Hauptartikel: Wahrscheinlichkeitsraum

In dieser Sichtweise ist ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ ein Maßraum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$. Das bedeutet, die Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ ist eine beliebige Menge, der Ereignisraum ${\displaystyle \Sigma }$ ist eine σ-Algebra mit Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle P\colon \Sigma \to [0,1]}$ ist ein Maß, das durch ${\displaystyle P(\Omega )=1}$ normiert ist.

Wichtige Standardfälle v​on Wahrscheinlichkeitsräumen sind:

• ${\displaystyle \Omega }$ ist eine abzählbare Menge und ${\displaystyle \Sigma }$ ist die Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$. Dann ist jedes Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ eindeutig festgelegt durch seine Werte ${\displaystyle P(\{\omega \})}$ auf den einelementigen Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }$ und für alle ${\displaystyle A\in \Sigma }$ gilt

${\displaystyle P(A)=\sum _{\omega \in A}P(\{\omega \})}$.

• ${\displaystyle \Omega }$ ist eine Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \Sigma }$ ist die Borelsche σ-Algebra auf ${\displaystyle \Omega }$. Ist das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes, dann besitzt ${\displaystyle P}$ nach dem Satz von Radon-Nikodým eine Lebesgue-Dichte ${\displaystyle f}$, d. h., für alle ${\displaystyle A\in \Sigma }$ gilt

${\displaystyle P(A)=\int _{A}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Umgekehrt wird für eine nichtnegative messbare Funktion ${\displaystyle f}$, welche die Normierungsbedingung ${\displaystyle \textstyle \int _{\Omega }f(x)\,dx=1}$ erfüllt, durch diese Formel ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle \Omega }$ definiert.

• ${\displaystyle \textstyle \Omega =\prod _{i\in I}\Omega _{i}}$ ist ein kartesisches Produkt und ${\displaystyle \textstyle \Sigma =\bigotimes _{i\in I}\Sigma _{i}}$ ist die Produkt-σ-Algebra von σ-Algebren ${\displaystyle \Sigma _{i}}$ auf ${\displaystyle \Omega _{i}}$. Sind Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P_{i}}$ auf ${\displaystyle \Omega _{i}}$ gegeben, dann wird durch das Produktmaß ${\displaystyle \textstyle P=\bigotimes _{i\in I}P_{i}}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle \Omega }$ definiert, das die unabhängige Hintereinanderausführung der Einzelexperimente ${\displaystyle (\Omega _{i},\Sigma _{i},P_{i})_{i\in I}}$ modelliert.

Zufallsvariable

→ Hauptartikel: Zufallsvariable

Eine Zufallsvariable ist das mathematische Konzept für eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist. Aus maßtheoretischer Sicht handelt es sich um eine messbare Funktion ${\displaystyle X}$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ in einen Messraum ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}$ bestehend aus einer Menge ${\displaystyle \Omega '}$ und einer σ-Algebra ${\displaystyle \Sigma '}$ auf ${\displaystyle \Omega '}$. Messbarkeit bedeutet dabei, dass für alle ${\displaystyle A'\in \Sigma '}$ das Urbild ${\displaystyle X^{-1}(A')}$ ein Element der σ-Algebra ${\displaystyle \Sigma }$ ist. Die Verteilung von ${\displaystyle X}$ ist dann nichts anderes als das Bildmaß

${\displaystyle P_{X}:=P\circ X^{-1}:\Sigma '\to [0,1],\quad P\circ X^{-1}(A')=P(X^{-1}(A'))}$,

das von ${\displaystyle X}$ auf dem Messraum ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}$ induziert wird und diesen zu einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ',P_{X})}$ macht.

Der Erwartungswert einer reellwertigen Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mittelt die möglichen Ergebnisse. Er lässt sich abstrakt definieren als Integral von ${\displaystyle X}$ bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P}$.

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Wahrscheinlichkeitstheorie u​nd mathematische Statistik werden zusammenfassend a​uch als Stochastik bezeichnet. Beide Gebiete stehen i​n enger wechselseitiger Beziehung:

• Statistische Verteilungen werden regelmäßig unter der Annahme modelliert, dass sie das Resultat zufälliger Prozesse sind.
• Statistische Verfahren können auf numerische Weise Anhaltspunkte für das Verhalten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen liefern.

Anwendungsgebiete

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand a​us dem Problem d​er gerechten Verteilung d​es Einsatzes b​ei abgebrochenen Glücksspielen. Auch andere frühe Anwendungen stammen a​us dem Bereich d​es Glücksspiels.

Heute i​st die Wahrscheinlichkeitstheorie e​ine Grundlage d​er Statistik. Die angewandte Statistik n​utzt Ergebnisse d​er Wahrscheinlichkeitstheorie, u​m Umfrageergebnisse z​u analysieren o​der Wirtschaftsprognosen z​u erstellen.

Große Bereiche d​er Physik w​ie die Thermodynamik u​nd die Quantenmechanik nutzen d​ie Wahrscheinlichkeitstheorie z​ur theoretischen Beschreibung i​hrer Resultate.

Sie i​st ferner d​ie Grundlage für mathematische Disziplinen w​ie die Zuverlässigkeitstheorie, d​ie Erneuerungstheorie u​nd die Warteschlangentheorie u​nd das Werkzeug z​ur Analyse i​n diesen Bereichen.

Auch i​n der Mustererkennung i​st die Wahrscheinlichkeitstheorie v​on zentraler Bedeutung.

Wahrscheinlichkeitstheorie in der Schule

Aufgrund i​hrer vielseitigen Anwendungsbereiche u​nd des Alltagsbezugs bereits junger Schüler w​ird die Wahrscheinlichkeitstheorie a​b Klasse 1 i​n allen Schulformen i​m Rahmen d​es Mathematikunterrichts gelehrt. Geht e​s in d​er Grundschule n​och darum, Grundbegriffe d​er Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenzulernen u​nd erste Zufallsexperimente hinsichtlich i​hrer Gewinnchancen z​u bewerten[1], w​ird in d​er Sekundarstufe I zunehmend d​er Wahrscheinlichkeitsbegriff analytisch i​n seiner Vielseitigkeit betrachtet u​nd es stehen zunehmend komplexere Zufallsexperimente i​m Zentrum d​es Interesses[2]. In d​er Sekundarstufe II werden d​ie Vorkenntnisse u​m spezifische Aspekte w​ie Bernoulliketten, bedingte Wahrscheinlichkeit u​nd Laplace-Experimente erweitert[3].

Siehe auch

• Bayesianische Erkenntnistheorie
• Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Literatur (Auswahl)

• Robert B. Ash: Real Analysis and Probability (= Probability and Mathematical statistics. Band 11.). Academic Press, Inc., New York (u. a.) 1972, ISBN 0-12-065201-3. MR0474442
• Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory. Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-32903-1. MR2247694
• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie. 4. Auflage. de Gruyter, Berlin 1991, ISBN 3-11-012191-3.
• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4. MR1902050
• Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, San Diego (u. a.) 2001, ISBN 0-12-174151-6. MR1796326
• Bruno de Finetti: Wahrscheinlichkeitstheorie. Einführende Synthese mit kritischem Anhang. 4. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München (u. a.) 1981, ISBN 3-486-44701-7. MR0742141
• Harald Cramér: Mathematical Methods of Statistics (= Princeton Mathematical Series). 11. Auflage. Princeton University Press, Princeton 1966.
• Richard M. Dudley: Real Analysis and Probability (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 74). Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00754-2. MR1932358
• P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext. Band 91). Springer Verlag, Berlin Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5. MR0501219
• Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 40). 8. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976.
• Boris Wladimirowitsch Gnedenko: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1997, ISBN 3-8171-1531-8.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 5. Auflage. de Gruyter, 2015, ISBN 978-3-11-035969-5.
• J. Hoffmann-Jørgensen: Probability with a View toward Statistics. Volume I (= Chapman & Hall Probability Series. Band 91). Chapman and Hall, New York 1994, ISBN 0-412-05221-0. MR1278485
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-6.
• Oleg Klesov: Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables. Springer Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-662-44387-3, doi:10.1007/978-3-662-44388-0. MR3244237
• A. Kolmogoroff: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Reprint (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 3). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1973, ISBN 3-540-06110-X. MR0494348
• A. Kolmogoroff: Über die Summen durch den Zufall bestimmter unabhängiger Größen. In: Mathematische Annalen. Band 99, 1928, S. 309–319, doi:10.1007/BF01459098. MR1512588
• A. J. Khintchine und A. N. Kolmogoroff: Über Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden. In: Recueil mathématique de la Société mathématique de Moscou [Matematicheskii Sbornik]. Band 32, 1925, S. 668–677.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt (= Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik). 8. erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-322-96418-2.
• R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X. MR0534143
• Michel Ledoux, Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. Isoperimetry and Processes (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). Band 23). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1991, ISBN 3-540-52013-9. MR1102015
• Richard von Mises: Probability, Statistics and Truth. Reprint of the 1957 English edition. Dover Publications, Inc., New York 1981, ISBN 0-486-24214-5. MR0668875
• Jacques Neveu: Mathematische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Aus dem Französischen übersetzt von Karl Bosch. R. Oldenbourg Verlag, München, Wien 1969. MR0245056
• Alfréd Rényi: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit einem Anhang über Informationstheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 54). 5. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1977. MR0474442
• A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9. MR0967761
• Vladimir Spokoiny, Thorsten Dickhaus: Basics of Modern Mathematical Statistics (= Springer Texts in Statistics). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-642-39908-4. MR3289985
• J. V. Uspensky: Introduction to Mathematical Probability. MacGraw-Hill Book Company, Inc., New York, London 1937.
• N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces (= Mathematics and its Applications (Soviet Series). Band 14). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Boston, Lancaster, Tokio 1987, ISBN 90-277-2496-2.
• Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Studia Mathematica. Band XXII). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1970. MR0286145

Einzelnachweise

1. https://kultusministerium.hessen.de/schulsystem/bildungsstandards-kerncurricula-und-lehrplaene/kerncurricula/primarstufe/mathematik
2. https://kultusministerium.hessen.de/schulsystem/bildungsstandards-kerncurricula-und-lehrplaene/kerncurricula/sekundarstufe-i/mathematik
3. https://kultusministerium.hessen.de/schulsystem/bildungsstandards-kerncurricula-und-lehrplaene/kerncurricula/gymnasiale-oberstufe-12