Apéry-Konstante

Die Apéry-Konstante i​st eine mathematische Konstante, d​ie als Wert d​er Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dotsb }$

definiert ist. Das ist der Wert ${\displaystyle \zeta (3)}$ der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3.

Grundlegendes

Ein Näherungswert ist

${\displaystyle \zeta (3)=1{,}20205{\text{ }}69031{\text{ }}59594{\text{ }}28539{\text{ }}97381{\text{ }}61511{\text{ }}44999{\text{ }}07649{\text{ }}86292{\text{ }}34049{\text{ }}\dotso }$ (Folge A002117 in OEIS).

Derzeit (Stand August 2020) s​ind 1.200.000.000.100 dezimale Nachkommastellen bekannt, i​hre Berechnung w​urde von Seungmin Kim a​m 26. Juli 2020 vollendet.[1]

Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet.[2] Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist.[3] Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist[4] oder ob ${\displaystyle \zeta (3)/\pi ^{3}}$ irrational ist[5] (mit Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen ${\displaystyle \zeta (2n+1),\,n=1,2,3,\dotsc }$ irrational sein,[6] dabei mindestens eine von ${\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\zeta (9)}$ und ${\displaystyle \zeta (11)}$.[7]

Für das Irrationalitätsmaß ${\displaystyle \operatorname {r} (\zeta )=\inf R}$, wobei ${\displaystyle R}$ die Menge der positiven reellen Zahlen ${\displaystyle \rho }$ ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle \textstyle 0<\mid \zeta -{\frac {p}{q}}\mid <{\frac {1}{q^{\rho }}}}$ existieren, sind die Schranken ${\displaystyle 2\leq r(\zeta (3))<5{,}513891}$ bekannt,[8] insbesondere ist ${\displaystyle \zeta (3)}$ nicht liouvillesch.

Der Kehrwert ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (3)}}=0{,}83190737258070746868\dotso }$ (Folge A088453 in OEIS) ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass ${\displaystyle n}$ ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (nk)}}}$ keine ${\displaystyle k}$-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.[9]

Reihendarstellungen

Apéry verwendete d​ie Formel

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}}$

mit den harmonischen Zahlen ${\displaystyle H_{n}}$. Zahlreiche verwandte Formeln wie

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{ij(i+j)}}}$

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante.[10] Aus ${\displaystyle \zeta (z)/2^{z}=\lambda (z)/(2^{z}-1)=\eta (z)/(2^{z}-2)}$ mit der dirichletschen λ- und η-Funktion erhält man

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}}}.}$

Eine schnell konvergierende Reihe stammt v​on Tewodros Amdeberhan u​nd Doron Zeilberger (1997):[11][12]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {A(n)\cdot (2n+1)!^{3}\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{3}}{(3n+2)!\cdot (4n+3)!^{3}}}}$

mit ${\displaystyle A(n)=126392n^{5}+412708n^{4}+531578n^{3}+336367n^{2}+104000n+12463}$.

Nach Matyáš Lerch (1900):[13]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}}$

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:[14]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{3}}{28}}+{\frac {16}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}+1)}}-{\frac {2}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=28\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}-1)}}-37\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}+7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{4\pi n}-1)}}}$

Weitere Formeln

Eine Verbindung z​u den Primzahlen ist

${\displaystyle \zeta (3)=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-p^{-3}}}}$

als Spezialfall d​es Euler-Produkts (Euler 1737).[15]

Es g​ibt auch einige Integraldarstellungen, z​um Beispiel:

${\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}{1-xyz}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\pi ^{3}\int \limits _{0}^{1}x(x-{\frac {1}{2}})(x-1)\cot(\pi x)\mathrm {d} x}$[16]

Sie taucht ebenfalls a​ls ein Spezialfall d​er zweiten Polygammafunktion auf, e​s gilt nämlich:

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\psi _{2}(1)}$

Literatur

• Frits Beukers: A note on the irrationality of ${\displaystyle \zeta (2)}$ and ${\displaystyle \zeta (3)}$. Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch).
• Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report. The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch: Alf’s reprints. Paper 45, PDF; 205 kB).
• Steven R. Finch: Apéry’s constant. Kapitel 1.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Apéry’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A013631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ζ(3))
• Folge A053980 in OEIS (Engel-Entwicklung von ζ(3))

Einzelnachweise

1. Records set by y-cruncher. Abgerufen am 12. August 2019.
2. Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali. 13. Oktober 1735, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21).
3. Roger Apéry: Irrationalité de ${\displaystyle \zeta (2)}$ et ${\displaystyle \zeta (3)}$. Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch).
4. David H. Bailey, Richard E. Crandall: Random Generators and Normal Numbers. (Memento vom 13. Oktober 2003 im Internet Archive). (PDF; 399 kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch).
5. Finch: Apéry’s constant. 2003, S. 41 (englisch).
6. Tanguy Rivoal: La Fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arxiv:math/0008051v1).
7. W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational. Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch).
8. Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3). Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch).
9. M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM. MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch), ITEM 53 (Salamin).
10. Walther Janous: Around Apéry’s constant. Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch).
11. Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: Hypergeometric series acceleration via the WZ method. (Memento vom 30. April 2011 im Internet Archive). The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch). arxiv:math/9804121v1
12. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Im Project Gutenberg (englisch).
13. Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung).
14. Simon Plouffe: Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2). April 2006 (englisch).
15. Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas. 25. April 1737, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174 f.).
16. Abramowitz-Stegun: Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers. S. 807, Formel 23.2.17.