Satz von Rouché

Der Satz v​on Rouché (nach Eugène Rouché) i​st ein Satz a​us der Funktionentheorie.

Er m​acht eine Aussage darüber, m​it welchen Funktionen m​an eine holomorphe Funktion stören kann, o​hne dass s​ich die Anzahl d​er Nullstellen ändert. Die Version für meromorphe Funktionen m​acht eine ähnliche Aussage für d​ie Differenz v​on Nullstellen u​nd Polstellen.

Der Satz von Rouché für holomorphe Funktionen

Seien ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}(G)}$ zwei auf dem Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen. Außerdem sei die Kreisscheibe ${\displaystyle B(z_{0},r)\cup \partial B(z_{0},r)}$ samt ihrem Rand in ${\displaystyle G}$ enthalten und für alle Punkte ${\displaystyle z\in \partial B(z_{0},r)}$ des Randes gelte:

${\displaystyle {\big |}g(z){\big |}<{\big |}f(z){\big |}}$.

Dann haben die Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f+g}$ gleich viele Nullstellen (entsprechend der Vielfachheit gezählt) auf ${\displaystyle B(z_{0},r)}$.

Anmerkung: ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ bezeichnet die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt ${\displaystyle z_{0}}$ und Radius r.

Symmetrische Version

Unter Abschwächung der Voraussetzungen gilt, dass zwei holomorphe Funktionen ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}(G)}$ dieselbe Anzahl von Nullstellen innerhalb eines beschränkten Gebietes ${\displaystyle K\subset G}$ mit stetigem Rand ${\displaystyle \partial K}$ haben, wenn auf dem Rand die strenge Dreiecksungleichung

${\displaystyle |f(z)+g(z)|<|f(z)|+|g(z)|,\qquad \forall z\in \partial K}$

gilt. Theodor Estermann zeigte d​iese allgemeinere Formulierung erstmals i​n seinem Buch Complex Numbers a​nd Functions.

Anwendung: Schranken für Polynomnullstellen

Es sei ${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$ ein Polynom mit komplexen Koeffizienten. Das Gebiet G ist die gesamte komplexe Zahlenebene. Es sei ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ ein Index, für den die Ungleichung

${\displaystyle |a_{k}|r^{k}>\sum _{j\neq k}|a_{j}|r^{j}}$

für wenigstens ein ${\displaystyle r>0}$ erfüllt ist. Dann erfüllen die Funktionen ${\displaystyle f(x)=a_{k}x^{k}}$ und ${\displaystyle g(x)=p(x)-f(x)}$ die Voraussetzungen des Satzes von Rouché für den Kreis ${\displaystyle B(0,r)}$. ${\displaystyle f}$ ist von Null verschieden und hat daher genau eine Nullstelle der Vielfachheit ${\displaystyle k}$ im Ursprung. Daraus folgt, dass auch ${\displaystyle p=f+g}$ genau ${\displaystyle k}$ Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt) im Kreis ${\displaystyle B(0,r)}$ besitzt.

Der Satz von Rouché für meromorphe Funktionen

Seien ${\displaystyle f,g}$ zwei auf dem Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ meromorphe Funktionen. Außerdem gelte ${\displaystyle B(z_{0},r)\cup \partial B(z_{0},r)\subset G}$, sowie dass ${\displaystyle f,g}$ keine Null- oder Polstellen auf dem Rand ${\displaystyle \partial B(z_{0},r)}$ haben; und für alle ${\displaystyle z\in \partial B(z_{0},r)}$ gelte:

${\displaystyle {\big |}g(z){\big |}<{\big |}f(z){\big |}}$.

Dann stimmen für ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f+g}$ die Differenzen

Anzahl der Nullstellen – Anzahl der Polstellen

(entsprechend der Vielfachheit bzw. Polordnung gezählt) auf ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ überein.

Beweis für meromorphe Funktionen

Definiere ${\displaystyle h(z)=f(z)+g(z)}$.

Nach Voraussetzung gilt:

${\displaystyle \left|{\frac {g(z)}{f(z)}}\right|<1,\quad \forall z\in \partial B(z_{0},r)}$.

Da die Kreislinie kompakt ist, gibt es sogar eine offene Umgebung ${\displaystyle U=\partial B(z_{0},r)+B(0,\epsilon )}$ dieser, so dass die Ungleichung auch auf U erfüllt ist. Der Bruch ${\displaystyle f/g}$ nimmt auf ${\displaystyle U}$ seine Werte innerhalb des Einheitskreises ${\displaystyle B(0,1)}$ an, daher gilt auch:

${\displaystyle {\frac {h(z)}{f(z)}}={\frac {f(z)+g(z)}{f(z)}}=1+{\frac {g(z)}{f(z)}}\in B(1,1),\quad \forall z\in U}$.

Die offene Kreisscheibe ${\displaystyle B(1,1)}$ ist im Definitionsbereich des Hauptastes des holomorphen Logarithmus enthalten, und es gilt:

${\displaystyle \left(\log \left({\frac {h}{f}}\right)\right)'={\frac {h'}{h}}-{\frac {f'}{f}}}$.

Nun betrachtet m​an folgendes Integral:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B(z_{0},r)}\left({\frac {h'}{h}}-{\frac {f'}{f}}\right)dz}$.

Der Integrand h​at eine Stammfunktion, a​lso gilt:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B(z_{0},r)}\left({\frac {h'}{h}}-{\frac {f'}{f}}\right)dz=0}$.

Nach d​em Argumentprinzip g​ilt in Erweiterung d​es Residuensatzes a​ber auch:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B(z_{0},r)}\left({\frac {h'}{h}}-{\frac {f'}{f}}\right)dz=(z_{h}-p_{h})-(z_{f}-p_{f})}$

wobei ${\displaystyle z_{f}}$ die Anzahl der Nullstellen von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ und ${\displaystyle p_{f}}$ die Anzahl der Polstellen von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ bezeichnen.

Daraus f​olgt die Behauptung:

${\displaystyle \,(z_{h}-p_{h})-(z_{f}-p_{f})=0}$ bzw. ${\displaystyle \,(z_{h}-p_{h})=(z_{f}-p_{f})}$

Literatur

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl. Springer, Berlin 2006, ISBN 3540317643.
• Michael Filaseta: Rouché's theorem for polynomials. Amer. Math. Monthly 97 (1990) No. 9, 834–835