Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient ${\displaystyle q}$ zweier benachbarter Folgenglieder konstant.

Die geometrische Reihe ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r^{k}}$ für ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle r={\tfrac {1}{3}}}$ oder ${\displaystyle r={\tfrac {1}{4}}}$ konvergiert

Ein Quotient ${\displaystyle q\geq 1}$ ergibt eine divergierende geometrische Reihe, z. B. für ${\displaystyle q=2}$ und Startwert ${\displaystyle 1:1,1+2,1+2+4,1+2+4+8,...}$ zusammengefasst also ${\displaystyle 1,3,7,15,...}$

Für ${\displaystyle |q|<1}$ konvergiert die geometrische Reihe hingegen; es gilt in diesem Fall

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}}$.

Bei identischem Startwert 1 und einem Quotienten von ¹⁄₂ ergibt sich zum Beispiel: 1, 1 + ¹⁄₂, 1 + ¹⁄₂ + ¹⁄₄, 1 + ¹⁄₂ + ¹⁄₄ + ¹⁄₈, …, also 1, ³⁄₂, ⁷⁄₄, ¹⁵⁄₈, … mit dem Grenzwert ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-1/2}}=2}$.

Berechnung der (endlichen) Partialsummen einer geometrischen Reihe

Eine Reihe ist per Definition eine Folge von Partialsummen. Der Wert der Reihe ist der Grenzwert dieser Folge von Partialsummen. Eine endliche Summe ist somit ein Folgenglied aus der Folge der Partialsummen. Die (endliche) Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Glieder einer Reihe bezeichnet man also als ${\displaystyle n}$-te Partialsumme und nicht etwa als „Partialreihe“ o. ä.

Gegeben sei eine geometrische Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$.

${\displaystyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

ist d​ie zugehörige geometrische Reihe.

Wir können daraus e​ine neue Folge

${\displaystyle (s_{n})=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)=\left(\sum _{k=0}^{0}a_{k},\sum _{k=0}^{1}a_{k},\sum _{k=0}^{2}a_{k},\sum _{k=0}^{3}a_{k},\dotsc \right)=\left(a_{0},a_{0}+a_{1},a_{0}+a_{1}+a_{2},a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3},\dotsc \right)}$

konstruieren, deren ${\displaystyle n}$-tes Glied jeweils die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Glieder der Reihe ${\displaystyle s}$ ist, die sogenannte ${\displaystyle n}$-te Partialsumme von ${\displaystyle s}$. Diese Folge heißt die Folge der Partialsummen zu ${\displaystyle s}$. (Genau genommen wird in umgekehrter Reihenfolge die Reihe auf Grundlage von Partialsummen einer Folge definiert. Die obige und übliche Schreibweise für die Reihe gibt das aber nicht her, deshalb müssen wir aus ihr erst die Folge der Partialsummen rekonstruieren.) Falls sie konvergiert, wird über sie der Wert der Reihe ${\displaystyle s}$ definiert. Es gilt für den Wert der Reihe ${\displaystyle s}$ (hier wird nicht mehr von „Grenzwert“ gesprochen):

${\displaystyle s:=\lim _{n\to \infty }s_{n};}$

in Worten: Der Wert der Reihe ${\displaystyle s}$ ist definiert als der Grenzwert der zu ihr gehörigen Partialsummen-Folge, falls diese konvergiert, andernfalls wird die Reihe als divergent bezeichnet. Falls in diesem Falle die Folge der Partialsummen gegen (plus / minus) Unendlich strebt, schreibt man gewöhnlich ${\displaystyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}=\infty }$ oder ${\displaystyle {-}\infty }$ und sagt, die Folge konvergiere gegen den uneigentlichen Grenzwert (plus / minus) Unendlich oder die Reihe habe den uneigentlichen Wert (plus / minus) Unendlich. (Eine Berechnungsformel für den Grenzwert folgt weiter unten.)

Mit ${\displaystyle q}$ bezeichnen wir nun das Verhältnis ${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$ zweier benachbarter Glieder, das für alle ${\displaystyle k}$ gleich ist.

Dann gilt ${\displaystyle a_{k}=a_{0}q^{k}}$ für alle ${\displaystyle k}$.

Für die ${\displaystyle n}$-te Partialsumme ${\displaystyle s_{n}}$ ergibt sich damit:

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}q^{k}}$

Wenn ${\displaystyle q\neq 1}$, dann gilt (Herleitung siehe unten)

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{\frac {q^{n+1}-1}{q-1}}=a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$

Falls ${\displaystyle q=1}$, so gilt

${\displaystyle s_{n}=a_{0}(n+1)}$

Das Obige gilt, w​enn die Folgenglieder Elemente e​ines unitären Ringes sind, a​lso insbesondere, w​enn es reelle Zahlen sind.

Verwandte Summenformel 1

Die Partialsumme

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}q^{k}k}$

hat für ${\displaystyle q\neq 1}$ das Ergebnis

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{\frac {nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^{2}}}}$

und für ${\displaystyle q=1}$ (vgl. Gaußsche Summenformel)

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}1^{k}k=a_{0}\sum _{k=0}^{n}1k=a_{0}\sum _{k=0}^{n}k=a_{0}{\frac {n(n+1)}{2}}}$;

diese Formel ergibt sich auch aus der Formel für ${\displaystyle q\neq 1}$ (mit zweifacher Anwendung der Regel von de L’Hospital) als deren Grenzwert für ${\displaystyle q\to 1}$.

Verwandte Summenformel 2

Die Partialsumme

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}q^{k}k^{2}}$

hat für ${\displaystyle q\neq 1}$ das Ergebnis

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{\frac {n^{2}q^{n+3}-(2n^{2}+2n-1)q^{n+2}+(n+1)^{2}q^{n+1}-q^{2}-q}{(q-1)^{3}}}}$

und für ${\displaystyle q=1}$ (vgl. Potenzsummen)

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Beispiele

Zahlenbeispiel

Gegeben s​ei die geometrische Folge

${\displaystyle a_{0}=5,\ a_{1}=15,\ a_{2}=45,\ a_{3}=135,\ \dotsc }$

mit ${\displaystyle a_{0}=5}$ und ${\displaystyle q=3.}$ Die zugehörige geometrische Reihe ist

${\displaystyle s=5\sum _{k=0}^{\infty }3^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }5\cdot 3^{k}=5+15+45+135+\dotsb =\infty }$

Die zugehörige Folge v​on Partialsummen ergibt s​ich zu

${\displaystyle s_{0}=5=5{\frac {1-3^{1}}{1-3}}}$

${\displaystyle s_{1}=5+15=20=5{\frac {1-3^{2}}{1-3}}}$

${\displaystyle s_{2}=5+15+45=65=5{\frac {1-3^{3}}{1-3}}}$

${\displaystyle s_{3}=5+15+45+135=200=5{\frac {1-3^{4}}{1-3}}}$

usw.

Rentenrechnung

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5 % [d. h. der Zinsfaktor ist: ${\displaystyle 1+(5/100)=1{,}05}$]. Wie viel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das i​m ersten Jahr eingezahlte Geld w​ird fünf Jahre l​ang verzinst, m​an erhält dafür a​m Ende inklusive Zinseszins 2000 · 1,05⁵ €. Das i​m zweiten Jahr eingezahlte Geld w​ird nur n​och vier Jahre verzinst u​nd so weiter. Insgesamt ergibt s​ich dann d​urch die Rentenrechnung e​in angesparter Betrag von

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\,000\cdot 1{,}05^{5}+2\,000\cdot 1{,}05^{4}+2\,000\cdot 1{,}05^{3}+2\,000\cdot 1{,}05^{2}+2\,000\cdot 1{,}05^{1}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot (1{,}05^{4}+1{,}05^{3}+1{,}05^{2}+1{,}05^{1}+1{,}05^{0})\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot \sum _{k=0}^{4}1{,}05^{k}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot {\frac {1{,}05^{4+1}-1}{1{,}05-1}}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot {\frac {1{,}05^{5}-1}{0{,}05}}\\&\quad =11\,603{,}826\end{aligned}}}$

Durch Zinsen h​at sich d​as Kapital s​omit um 1603,83 € erhöht. Beim Nachrechnen v​on Kontoauszügen i​st zu bedenken, d​ass im Bankenwesen n​icht mathematisch gerundet wird.

Zum Vergleich: Würden n​icht Jahr für Jahr j​e 2000 € eingezahlt, sondern gleich v​on Beginn a​n die ganzen 10000 € über 5 Jahre b​ei 5 % Zinsen angelegt, s​o wäre d​er Endbetrag

${\displaystyle 10\,000\cdot 1{,}05^{5}=12\,762{,}8156}$

also e​in Kapitalertrag v​on 2762,82 €.

Allgemein gilt: Beträgt die Einlage am Anfang jedes Jahres ${\displaystyle a_{0}}$, der Zinsfaktor ${\displaystyle q}$ und die Laufzeit ${\displaystyle n}$ Jahre, dann ist der Endwert

${\displaystyle a_{0}\sum _{k=1}^{n}q^{k}=a_{0}q{\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$.

Rentenrechnung mit linearer Dynamik

Zahlt man im Gegensatz zum vorigen Beispiel nicht jährlich einen festen Beitrag ${\displaystyle a_{0}}$, sondern ab dem 2. Jahr jedes Jahr ${\displaystyle d}$ mehr als im Vorjahr (lineare Dynamik) ein, so ist der Endwert

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{n}q^{k}(a_{0}+d(n-k))=\sum _{k=1}^{n}(q^{k}(a_{0}+dn)-q^{k}dk)\\&\qquad =\left(\sum _{k=1}^{n}q^{k}(a_{0}+dn)\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}q^{k}dk\right)\\&\qquad =(a_{0}+dn)\left(\sum _{k=1}^{n}q^{k}\right)-d\left(\sum _{k=1}^{n}q^{k}k\right)\\&\qquad =(a_{0}+dn){\frac {q^{n+1}-q}{q-1}}-d{\frac {nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^{2}}}\end{aligned}}}$

zum Beispiel mit ${\displaystyle a_{0}=2.000}$ € im ersten Jahr, jedes Jahr ${\displaystyle d=100}$ € mehr als im Vorjahr, 5 % Zinsen (also Zinsfaktor ${\displaystyle q=1{,}05}$) und ${\displaystyle n=5}$ Jahren Laufzeit, dann ist der am Ende des 5. Jahres angesparte Betrag

${\displaystyle {\begin{aligned}&(2\,000+100\cdot 5)\cdot {\frac {1{,}05^{5+1}-1{,}05}{1{,}05-1}}-100\cdot {\frac {5\cdot 1{,}05^{5+2}-(5+1)\cdot 1{,}05^{5+1}+1{,}05}{(1{,}05-1)^{2}}}\\&\qquad =2\,500\cdot {\frac {0{,}29}{0{,}05}}-100\cdot {\frac {7{,}03-8{,}04+1{,}05}{0{,}0025}}\\&\qquad =2\,500\cdot 5{,}8-100\cdot {\frac {0{,}0449}{0{,}0025}}\\&\qquad =14\,504{,}78-100\cdot 17{,}97\\&\qquad =12\,707{,}65\end{aligned}}}$

wobei in diesem Beispiel nicht 10.000 €, sondern insgesamt 11.000 € eingezahlt wurden, also beträgt der Gewinn 1.707,65 €. Zahlt man statt ${\displaystyle a_{0}=2.000}$ € im ersten Jahr nur ${\displaystyle a_{0}=1.800}$ € ein und lässt die anderen Faktoren gleich (sodass man wie im vorletzten Beispiel insgesamt 10.000 € einzahlt), dann ist der Endwert nur noch 11.547,27 €, das heißt zahlt man den gleichen Betrag ein, nur zu Beginn weniger, dafür später mehr, dann entgehen einem Gewinne (Opportunitätskosten).

Periodische Dezimalbrüche

Periodische Dezimalbruchentwicklungen enthalten e​ine geometrische Reihe, welche m​it den obigen Formeln wieder i​n einen Bruch umgewandelt werden kann.

Beispiel 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}0{,}2{\overline {67}}&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }({\frac {1}{100}})^{k}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{100}}}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {100}{99}}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{990}}={\frac {265}{990}}={\frac {53}{198}}\end{aligned}}}$

Beispiel 2:

${\displaystyle 0{,}{\overline {9}}={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+\dotsb ={\frac {9}{10}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }({\frac {1}{10}})^{k}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {10}{9}}=1}$

Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe

Konvergenz der geometrischen Reihe für ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}}$

Konvergenz der geometrischen Reihe auf der Zahlengeraden

Eine geometrische Reihe bzw. die Folge ihrer Partialsummen konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl ${\displaystyle q}$ kleiner als Eins oder ihr Anfangsglied ${\displaystyle a_{0}}$ gleich Null ist. Für ${\displaystyle \|q\|<1}$ oder ${\displaystyle a_{0}=0}$ konvergiert die zugrundeliegende geometrische Folge nämlich gegen Null:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{0}q^{k}=0}$.

Nach dem Nullfolgenkriterium ist dies eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Da für ${\displaystyle |q|>1}$ und ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ die Grundfolge divergiert, liegt in diesem Falle somit auch Divergenz der Reihe vor.

Für ${\displaystyle q=1}$ ergibt sich die Divergenz der geometrischen Reihe aus

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{0}q^{k}=\sum _{k=0}^{N}a_{0}\cdot 1=(N+1)\cdot a_{0}}$,

ein Ausdruck, der für ${\displaystyle N\to \infty }$ und ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ divergiert.

Für den Fall ${\displaystyle q>1}$ ergibt sich die Divergenz immer als bestimmte Divergenz (s. o.), für den Fall ${\displaystyle q\leq -1}$ immer als unbestimmte Divergenz. Die geometrische Reihe konvergiert auch absolut, sofern sie auf normale Weise konvergiert.

Der Wert der Reihe im Konvergenzfall ergibt sich aus jener obenstehenden Formel für die ${\displaystyle n}$-ten Partialsummen durch Grenzwertbildung (${\displaystyle n\to \infty }$) für ${\displaystyle |q|<1}$ zu

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{0}q^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{0}q^{k}=\lim _{n\to \infty }a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}={\frac {a_{0}}{1-q}},}$

denn es ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(1-q^{n+1})=1.}$

Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von ${\displaystyle q}$ kleiner als Eins ist; im Kontext linearer Operatoren spricht man auch von der Neumann-Reihe.

Herleitungen

Herleitung der Formel für die Partialsummen

Die ${\displaystyle n}$-te Partialsumme der geometrischen Reihe lässt sich wie folgt berechnen:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{0}q^{k}=a_{0}+a_{0}q+a_{0}q^{2}+\dotsb +a_{0}q^{n}}$

Vereinfacht:

${\displaystyle s_{n}=a_{0}(1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n})}$   (Gleichung 1)

Durch Multiplikation mit ${\displaystyle q}$ ergibt sich:

${\displaystyle qs_{n}=a_{0}(q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{n+1})}$   (Gleichung 2)

Wenn m​an Gleichung 2 v​on Gleichung 1 subtrahiert, erhält man:

${\displaystyle s_{n}-qs_{n}=a_{0}(1-q^{n+1})}$

Ausklammern von ${\displaystyle s_{n}}$:

${\displaystyle s_{n}(1-q)=a_{0}(1-q^{n+1})\ }$

Teilen durch ${\displaystyle (1-q)}$ liefert für ${\displaystyle q\neq 1}$ die gesuchte Formel für die Partialsummen:

${\displaystyle s_{n}=a_{0}{{1-q^{n+1}} \over {1-q}}}$

Herleitung der Varianten

Mithilfe der oben angegebenen Formel lassen sich durch gliedweise Differentiation auch folgende endliche Reihen geschlossen darstellen, für ${\displaystyle q\neq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}kq^{k}&=\sum _{k=0}^{n}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\sum _{k=0}^{n}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\&={\frac {nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(1-q)^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}k^{2}q^{k}&=\sum _{k=0}^{n}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\sum _{k=0}^{n}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\&={\frac {n^{2}q^{n+3}-(2n^{2}+2n-1)q^{n+2}+(n+1)^{2}q^{n+1}-q^{2}-q}{(q-1)^{3}}}\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle |q|<1}$ konvergieren nach Grenzwertbildung der zugehörigen endlichen Reihe auch die unendlichen Reihen (folglich sind diese sogar gliedweise integrierbar):

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kq^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1}{1-q}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{2}q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1}{1-q}}=q{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {q}{(1-q)^{2}}}={\frac {q(1+q)}{(1-q)^{3}}}}$

analog für höhere Potenzen.

Mittels der Euler-Polynome ${\displaystyle A_{s}(q)}$ kann die Reihe auch für beliebige ${\displaystyle s}$ direkt angegeben werden.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{s}q^{n}={\frac {qA_{s}(q)}{(1-q)^{s+1}}}}$

Allgemein stellt d​iese Variante d​ie Definition d​es Polylogarithmus dar.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }k^{s}q^{k}={\text{Li}}_{-s}(q)}$

Siehe auch

• Die Konvergenz bzw. Divergenz der geometrischen Reihe ist die Grundlage für das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.
• Geometrische Verteilung
• Arithmetische Reihe
• Harmonische Reihe

Literatur

• Albrecht Beutelspacher: Mathe-Basics zum Studienbeginn: Survival-Kit Mathematik. Springer, 2016, S. 198–199
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2
• George E. Andrews: The Geometric Series in Calculus. The American Mathematical Monthly, Band 105, Nr. 1 (Jan., 1998), S. 36–40 (JSTOR 2589524)
• Joscelyn A. Jarrett: Regular Polygons and the Geometric Series. The Mathematics Teacher, Band 75, Nr. 3 (März 1982), S. 258–261 (JSTOR 27962874)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Geometric Series. In: MathWorld (englisch).
• Geometrische Folgen und Reihen auf mathematische-basteleien.de
• Unendliche geometrische Reihe