Ganze Funktion

In der Funktionentheorie ist eine ganze Funktion eine Funktion, die in der gesamten komplexen Zahlenebene ${\displaystyle \mathbb {C} }$ holomorph (also analytisch) ist. Typische Beispiele ganzer Funktionen sind Polynome oder die Exponentialfunktion sowie Summen, Produkte und Verknüpfungen davon, etwa die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen.

Eigenschaften

Jede g​anze Funktion k​ann als e​ine überall konvergierende Potenzreihe u​m ein beliebiges Zentrum dargestellt werden. Weder d​er Logarithmus n​och die Wurzelfunktion s​ind ganz.

Eine g​anze Funktion k​ann eine isolierte Singularität, insbesondere s​ogar eine wesentliche Singularität i​m komplexen Punkt i​m Unendlichen (und n​ur da) besitzen.

Eine wichtige Eigenschaft ganzer Funktionen ist der Satz von Liouville: Beschränkte ganze Funktionen sind konstant. Damit lässt sich recht elegant der Fundamentalsatz der Algebra beweisen. Der kleine Satz von Picard ist eine beträchtliche Verschärfung des Satzes von Liouville: Eine nichtkonstante ganze Funktion nimmt alle Werte der komplexen Zahlenebene an, bis auf möglicherweise einen. Letztere Ausnahme illustriert beispielsweise die Exponentialfunktion, die nicht den Wert 0 annimmt.

Weitere Beispiele

Die Airy-Funktion ${\displaystyle \operatorname {Bi} (x+iy)}$ (hier der Realteil) ist eine ganze Funktion.

• der Kehrwert der Gammafunktion ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$
• die Fehlerfunktion ${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$
• der Integralsinus ${\displaystyle \operatorname {Si} (z)}$
• die Airy-Funktionen ${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)}$ und ${\displaystyle \operatorname {Bi} (z)}$
• die Fresnelschen Integrale ${\displaystyle S(z)}$ und ${\displaystyle C(z)}$
• die Riemannsche Xi-Funktion ${\displaystyle \xi (z)}$
• die Besselfunktionen erster Art ${\displaystyle J_{n}(z)}$ für ganzzahlige ${\displaystyle n}$
• die Struve-Funktionen ${\displaystyle H_{n}(z)}$ für ganzzahlige ${\displaystyle n>-2}$
• der größte gemeinsame Teiler bezüglich einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ in der verallgemeinerten Form[1]
  • ${\displaystyle \textstyle \operatorname {ggT} (n,z)=\sum \limits _{m=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {m}{n}}z}\sum \limits _{d|n}{\frac {c_{d}(m)}{d}}\quad {\text{mit}}\quad c_{d}(m)=\!\!\!\!\sum \limits _{k=1 \atop \operatorname {ggT} (k,d)=1}^{d}\!\!\!\!e^{2\pi i{\frac {k}{d}}m}}$ (Ramanujansumme)

Literatur

• Klaus Jänich: Funktionentheorie. Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2004
• Reinhold Remmert: Funktionentheorie I. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2000

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Entire Function. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Wolfgang Schramm: The Fourier transform of functions of the greatest common divisor. In: Integers – The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 8, 2008, A50 (Abstract)