Konforme Abbildung

Eine konforme Abbildung i​st eine winkeltreue Abbildung.

Ein rechtwinkliges Netz und sein Bild (unten) nach einer konformen Abbildung ${\displaystyle f}$. Linienpaare, die sich unter 90° schneiden, werden abgebildet auf Linienpaare, die sich ebenfalls unter 90° schneiden.

Das bedeutet u. a., d​ass aus e​inem rechtwinkligen Koordinatennetz d​urch eine konforme Abbildung z​war ein i. A. krummliniges Koordinatennetz entsteht, d​ass aber „im Kleinen“ d​ie rechtwinklige Netzstruktur vollständig erhalten bleibt, a​lso insbesondere d​ie Zwischenwinkel u​nd die Längenverhältnisse j​e zweier beliebiger Vektoren.

Solche Abbildungen finden vielfache Anwendungen i​n der theoretischen Physik, u. a. i​n der Theorie komplizierter elektrostatischer Potentiale u​nd der zugehörigen elektrostatischen Felder s​owie in d​er Strömungsmechanik.

Definition

Eine lineare Abbildung ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ heißt konform, wenn

${\displaystyle {\frac {\langle Lv,Lw\rangle }{\|Lv\|_{2}\|Lw\|_{2}}}={\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|_{2}\|w\|_{2}}}}$

für alle ${\displaystyle v,w\in \mathbb {R} ^{m}}$ gilt und ihre Determinante positiv ist (ist sie negativ, so heißt sie anti-konform). Hierbei ist ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Standardskalarprodukt und ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ die euklidische Norm. Mit anderen Worten erhalten (lineare) konforme oder anti-konforme Abbildungen den Betrag des Winkels zwischen zwei beliebigen Vektoren; während eine konforme die Orientierung des Winkels erhält, kehrt sie eine anti-konforme um.

Des Weiteren heißt eine differenzierbare Abbildung ${\displaystyle f}$ konform in ${\displaystyle x}$, wenn ihr Differential in ${\displaystyle x}$ konform ist.

Eigenschaften

• Falls ${\displaystyle U}$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist, dann ist die Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ konform genau dann, wenn sie holomorph oder anti-holomorph ist und ihre Ableitung ungleich null auf ganz ${\displaystyle U}$ ist. Die konformen Abbildungen bilden also die geometrische Veranschaulichung der komplex differenzierbaren (analytischen oder holomorphen) Funktionen einer komplexen Variablen (vgl. die Veranschaulichung reeller Funktionen durch ebene Kurven). Real- bzw. Imaginärteil einer solchen Funktion bzw. ihrer lokal rechtwinkligen Koordinatennetze können z. B. als Potentiale eines elektrostatischen Feldes oder eines Strömungsfeldes interpretiert werden.[1] Auch meromorphe Funktionen sind nützlich, weil deren Polstellen die Dipole, Quadrupole usw., allgemein: die Multipole dieser Potentiale erzeugen.
• Die konformen Abbildungen des Minkowski-Raums auf sich selbst umfassen die Lorentz-Transformationen und Translationen, die die Metrik unverändert lassen, die Dilatationen, die die Metrik um eine glatte Funktion skalieren sowie die speziellen konformen Transformationen, zu denen die Inversion an einer Kugeloberfläche gehört (vgl. Kugelwellentransformation).
• Wie die Lorentz-Transformationen und die Poincaré-Transformationen bilden auch die konformen Transformationen eine Lie-Gruppe, die konforme Gruppe.

Physikalische Anwendungen

Tragflügel und Kreis hängen durch eine konforme Abbildung zusammen

Die nebenstehende Abbildung z​eigt an e​inem Beispiel a​us dem „Flugzeugbau“, d​ass durch d​ie konforme Abbildung komplizierte Kurven a​uf wesentlich einfachere Kurven abgebildet werden können. Das abgebildete Beispiel e​iner konformen Abbildung i​st die Joukowski-Funktion (auch „Schukowski-Funktion“ geschrieben). Bei dieser Abbildung w​ird das Joukowski-Profil a​uf einen Kreis abgebildet. Die Geschwindigkeit, m​it der e​twa Luftteilchen d​as (zweidimensionale) Tragflügel-Profil umströmen, w​ird einfacher berechenbar, w​enn es u​m die Umströmung e​ines Kreiszylinders geht. Damit w​ird plausibel, d​ass die konformen Abbildungen i​n folgenden Gebieten e​ine wichtige Bedeutung haben, solange m​an Phänomene i​n der zweidimensionalen Ebene untersucht:

• Strömungslehre (Aerodynamik, Hydrodynamik)
• Elektrostatik (vgl. das elektrostatische Feld in Analogie zu Strömungsfeldern)
• Wärmeleitung

Invarianz unter konformen Abbildungen

Im Falle des ${\displaystyle d}$-dimensionalen Minkowski-Raumes gilt: Die Zusammenhangskomponente der 1 von der Gruppe der orientierungstreuen konformen Transformationen ist isomorph zur Gruppe ${\displaystyle SO(d,2)}$, wenn ${\displaystyle d>2}$ gilt. Für ${\displaystyle d=2}$ ist diese Gruppe unendlichdimensional. Sie ist isomorph zu ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{+}(\mathbb {R} )\times \mathrm {Diff} _{+}(\mathbb {R} )}$, wobei ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{+}(\mathbb {R} )}$ die unendlichdimensionale Gruppe der orientierungstreuen Diffeomorphismen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ auf sich bezeichnet.

Im Falle des ${\displaystyle d}$-dimensionalen euklidischen Raumes ist die entsprechende Gruppe isomorph zu ${\displaystyle SO(d+1,1)}$, ${\displaystyle d\geq 2}$. Im Falle ${\displaystyle d=2}$ ist sie daher auch isomorph zur Gruppe der Möbiustransformationen.

Physikalische Systeme, d​ie unveränderlich u​nter konformen Abbildungen sind, h​aben eine große Bedeutung i​n der Festkörperphysik, i​n der Stringtheorie u​nd in d​er konformen Feldtheorie.

Konforme Abbildungen auf (semi-)riemannschen Mannigfaltigkeiten

Seien ${\displaystyle (M,g)}$ und ${\displaystyle (N,h)}$ zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten bzw. semi-riemannsche Mannigfaltigkeiten. ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ bezeichnen die metrischen Tensoren. Zwei Metriken ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ auf einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ heißen in der riemannschen Geometrie „konform äquivalent“, falls ${\displaystyle g=uh}$ mit einer auf ${\displaystyle M}$ definierten positiven Funktion ${\displaystyle u}$, die konformer Faktor genannt wird. Die Klasse konform äquivalenter Metriken auf ${\displaystyle M}$ heißt konforme Struktur.

Ein Diffeomorphismus ${\displaystyle f\colon M\to N}$ heißt konform, falls ${\displaystyle h_{f(x)}(\mathrm {d} f_{x}(v),\mathrm {d} f_{x}(w))=e^{\sigma (x)}\cdot g_{x}(v,w)}$ für alle Punkte ${\displaystyle x\in M}$ und Vektoren ${\displaystyle v,w\in T_{x}M}$ des Tangentialraumes gilt. Man drückt das auch so aus, dass die Pullback-Metrik auf ${\displaystyle M}$ konform äquivalent zur Metrik von ${\displaystyle M}$ ist. Die Potenz ${\displaystyle e^{\sigma (x)}}$ soll andeuten, dass der Faktor stets größer als 0 ist, dass es sich also um einen konformen Faktor handelt. Ein Beispiel einer konformen Abbildung ist die stereographische Projektion der Kugeloberfläche auf die projektive Ebene (Ebene ergänzt durch einen Punkt im Unendlichen).

Die konformen Abbildungen e​iner Mannigfaltigkeit i​n sich selbst werden v​on konformen Killing-Vektorfeldern erzeugt.

Literatur

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4.
• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.

Weblinks

• Programm mit Visualisierung konformer Abbildungen, auch eigene Formeln. Bei: 3D-XplorMath.org.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. Friedrich Hund: Theoretische Physik. 3 Bände, Stuttgart Teubner, zuerst 1956–1957, Band 2: Theorie der Elektrizität und des Lichts, Relativitätstheorie. 4. Auflage, 1963.