Satz von Gelfond-Schneider

Mithilfe d​es Satzes v​on Gelfond-Schneider konnte z​um ersten Mal e​ine umfangreiche Klasse v​on transzendenten Zahlen erzeugt werden. Er w​urde zuerst 1934 v​on dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond u​nd unabhängig d​avon ein Jahr später v​on Theodor Schneider bewiesen. Der Satz beantwortet Hilberts siebtes Problem.

Aussage des Satzes

Es seien ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ algebraische Zahlen (mit ${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$). ${\displaystyle \beta }$ sei darüber hinaus nicht rational.

Dann besagt d​er Satz v​on Gelfond-Schneider:

${\displaystyle \,\alpha ^{\beta }}$ ist transzendent.

Für ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ dürfen auch komplexe Zahlen eingesetzt werden. Dann gilt ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\exp(\beta \cdot \ln \alpha )}$ . Der komplexe Logarithmus ist nur bis auf Vielfache von ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$ eindeutig bestimmt. Der Satz ist für jede Wahl des Zweigs des Logarithmus richtig.

Er lässt s​ich auch s​o formulieren, d​ass für Logarithmen zweier algebraischer Zahlen a​us der linearen Unabhängigkeit über d​en rationalen Zahlen d​ie lineare Unabhängigkeit über d​en algebraischen Zahlen folgt. In dieser Formulierung i​st der Satz v​on Gelfond-Schneider i​n den 1960er Jahren v​on Alan Baker erheblich erweitert worden.

Satz von Baker: Wenn die ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ algebraische Zahlen sind, sodass ${\displaystyle 1,\log a_{1},\cdot \cdot \cdot ,\log a_{n}}$ über den rationalen Zahlen linear unabhängig sind, dann sind ${\displaystyle 1,\log a_{1},\cdot \cdot \cdot ,\log a_{n}}$ linear unabhängig über den algebraischen Zahlen.

Anwendungen

Aus d​em Satz v​on Gelfond-Schneider f​olgt unmittelbar d​ie Transzendenz d​er folgenden Zahlen:

• Die Gelfond-Schneider-Konstante ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ sowie ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$
• Die Gelfond-Konstante ${\displaystyle \,e^{\pi }}$, da ${\displaystyle \,e^{\pi }=e^{\mathrm {i} \pi (-\mathrm {i} )}=(-1)^{-\mathrm {i} }}$ . Man beachte, dass ${\displaystyle \mathrm {i} }$ keine rationale Zahl ist.
• Die Zahl ${\displaystyle {\rm {i^{i}}}}$, die wegen ${\displaystyle {\rm {i^{i}}}=\left(e^{\mathrm {i} \pi /2}\right)^{\mathrm {i} }=e^{-\pi /2}\approx 0{,}207879}$ eine reelle Zahl ist.
• ${\displaystyle {\frac {\log 2}{\log 3}}}$ ist transzendent, denn sonst erhält man durch Einsetzen von ${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b={\frac {\log 2}{\log 3}}}$ (wobei b irrational ist) einen Widerspruch

Siehe auch

• Satz von Lindemann-Weierstraß
• Vermutung von Schanuel, die diesen Satz verallgemeinert

Literatur und Links

• Alexander Gelfond: On Hilbert's seventh problem. In: Doklady Akademii Nauk SSSR. Izvestija Akedemii Nauk, Moskau 2.1934, S. 177–182. ISSN 0002-3264
• Th. Schneider: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. Bd. I. Transzendenz von Potenzen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. de Gruyter, Berlin 172.1934, S. 177–182. ISSN 0075-4102
• Beweis (auf Englisch) (PDF-Datei; 89 kB)