Freie Faltung

Die freie Faltung ist eine binäre Operation auf Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, welche der Addition von freien Zufallsvariablen entspricht.

Definition

Seien ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ selbstadjungierte Zufallsvariable in einem nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeitsraum, welche frei im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Sei ${\displaystyle \mu }$ die Verteilung von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle \nu }$ die Verteilung von ${\displaystyle y}$. Dann hängt die Verteilung von ${\displaystyle x+y}$ nur von ${\displaystyle \mu }$ und von ${\displaystyle \nu }$ ab (und nicht von der konkreten Realisierung von ${\displaystyle x}$ oder von ${\displaystyle y}$); diese Verteilung von ${\displaystyle x+y}$ wird mit ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$ bezeichnet und ist die freie Faltung von ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$.

Freie harmonische Analysis

Die Untersuchung der Eigenschaften von ${\displaystyle \boxplus }$ wird meist als freie harmonische Analysis bezeichnet. Es gibt eine weitentwickelte Theorie der Eigenschaften von ${\displaystyle \boxplus }$, welche oft (aber nicht immer) parallel zur Theorie der klassischen Faltung verläuft.[1][2]

Literatur

• Alexandru Nica, Roland Speicher: Lectures on the Combinatorics of Free Probability (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 335). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2006, ISBN 0-521-85852-6.
• Fumio Hiai, Dénes Petz: The Semicircle Law, Free Random Variables, and Entropy (= Mathematical Surveys and Monographs. Bd. 77). American Mathematical Society, Providence RI 2000, ISBN 0-8218-2081-8.

Einzelnachweise

1. D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber (eds.): Free Probability and Operator Algebras, Münster Lectures in Mathematics, EMS, 2016, Chapter 6
2. James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Bd. 35, Springer Verlag, New York, 2017, Chapter 3