Zufallsvariable

In d​er Stochastik i​st eine Zufallsvariable o​der Zufallsgröße (auch zufällige Größe,[1] Zufallsveränderliche, selten stochastische Variable o​der stochastische Größe) e​ine Größe, d​eren Wert v​om Zufall abhängig ist.[2] Formal i​st eine Zufallsvariable e​ine Zuordnungsvorschrift, d​ie jedem möglichen Ergebnis e​ines Zufallsexperiments e​ine Größe zuordnet.[1] Ist d​iese Größe e​ine Zahl, s​o spricht m​an von e​iner Zufallszahl. Beispiele für Zufallszahlen s​ind die Augensumme v​on zwei geworfenen Würfeln u​nd die Gewinnhöhe i​n einem Glücksspiel. Zufallsvariablen können a​ber auch komplexere mathematische Objekte sein, w​ie Zufallsbewegungen, Zufallspermutationen o​der Zufallsgraphen.

Über verschiedene Zuordnungsvorschriften können e​inem Zufallsexperiment a​uch verschiedene Zufallsvariablen zugeordnet werden.[1] Den einzelnen Wert, d​en eine Zufallsvariable b​ei der Durchführung e​ines Zufallsexperiments annimmt, n​ennt man Realisierung[3] o​der im Falle e​ines stochastischen Prozesses e​inen Pfad.

Während früher d​er von A. N. Kolmogorow eingeführte Begriff zufällige Größe d​er übliche deutsche Begriff war, h​at sich h​eute (ausgehend v​om englischen random variable) d​er etwas irreführende Begriff Zufallsvariable durchgesetzt.[4]

Motivation des formalen Begriffs

Die Funktionswerte ${\displaystyle X(\omega )}$ einer Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ sind abhängig von einer den Zufall repräsentierenden Größe ${\displaystyle \omega }$. Zum Beispiel kann ${\displaystyle \omega }$ das zufällige Ergebnis eines Münzwurfs sein. Dann kann zum Beispiel eine Wette auf den Ausgang eines Münzwurfs mithilfe einer Zufallsvariablen modelliert werden. Angenommen, es wurde auf Zahl gewettet, und wenn richtig gewettet wurde, wird 1 EUR ausgezahlt, sonst nichts. Sei ${\displaystyle X}$ die Auszahlungssumme. Da der Wert von ${\displaystyle X}$ vom Zufall abhängt, ist ${\displaystyle X}$ eine Zufallsvariable, insbesondere eine reelle Zufallsvariable. Sie bildet die Menge der Wurfergebnisse ${\displaystyle \{{\text{Kopf}},{\text{Zahl}}\}}$ auf die Menge der möglichen Auszahlungsbeträge ${\displaystyle \{0,1\}}$ ab:

${\displaystyle X(\omega )={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}\omega ={\text{Kopf}},\\1,&{\text{wenn }}\omega ={\text{Zahl}}.\end{cases}}}$

Wettet man bei zwei Münzwürfen beide Male auf Kopf und bezeichnet die Kombination der Ausgänge der Münzwürfe mit ${\displaystyle \omega =\left(\omega _{1},\omega _{2}\right)}$, so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariablen untersuchen:

1. ${\displaystyle X_{1}(\omega ):=X(\omega _{1})\in \{0,1\}}$ als Auszahlung nach der ersten Wette,
2. ${\displaystyle X_{2}(\omega ):=X(\omega _{2})\in \{0,1\}}$ als Auszahlung nach der zweiten Wette,
3. ${\displaystyle S(\omega ):=X(\omega _{1})+X(\omega _{2})\in \{0,1,2\}}$ als Summe der beiden Auszahlungen.

Zufallsvariablen selbst werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier ${\displaystyle X_{1},X_{2},S}$), während man für die Realisierungen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (so beispielsweise für ${\displaystyle \omega =\left({\text{Zahl}},{\text{Kopf}}\right)}$ die Realisierungen ${\displaystyle x_{1}=1}$, ${\displaystyle x_{2}=0}$, ${\displaystyle s=1}$).

Im Beispiel hat die Menge ${\displaystyle \Omega =\{{\text{Kopf}},{\text{Zahl}}\}}$ eine konkrete Interpretation. In der weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es oft zweckmäßig, die Elemente von ${\displaystyle \Omega }$ als abstrakte Repräsentanten des Zufalls zu betrachten, ohne ihnen eine konkrete Bedeutung zuzuweisen, und dann sämtliche zu modellierende Zufallsvorgänge als Zufallsvariable zu erfassen.

Definition

Als Zufallsvariable bezeichnet m​an eine messbare Funktion v​on einem Wahrscheinlichkeitsraum i​n einen Messraum.

Eine formale mathematische Definition lässt s​ich wie f​olgt geben:[5]

Es seien ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}$ ein Messraum. Eine ${\displaystyle (\Sigma ,\Sigma ')}$-messbare Funktion ${\displaystyle X\colon \Omega \to \Omega '}$ heißt dann eine ${\displaystyle \Omega '}$-Zufallsvariable auf ${\displaystyle \Omega }$.

Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf

Summe von zwei Würfeln:${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P){\xrightarrow {S}}(\Omega ',\Sigma ',P^{S})}$

Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ modellieren:

• ${\displaystyle \Omega }$ ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse ${\displaystyle \Omega =\{(1,1),(1,2),\dotsc ,(6,5),(6,6)\}}$
• ${\displaystyle \Sigma }$ ist die Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$
• Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ als ${\displaystyle P\left(\{(n_{1},n_{2})\}\right)={\tfrac {1}{36}}}$ für ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \{1,2,3,4,5,6\}}$.

Die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ (gewürfelte Zahl des ersten Würfels), ${\displaystyle X_{2}}$ (gewürfelte Zahl des zweiten Würfels) und ${\displaystyle S}$ (Augensumme des ersten und zweiten Würfels) werden als folgende Funktionen definiert:

1. ${\displaystyle X_{1}\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1},}
2. ${\displaystyle X_{2}\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{2},} und
3. ${\displaystyle S\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1}+n_{2},}

wobei für ${\displaystyle \Sigma '}$ die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen gewählt wird.

Bemerkungen

In der Regel wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf ${\displaystyle \Omega }$ und welcher Messraum auf ${\displaystyle \Omega '}$ gemeint ist.

Bei einer endlichen Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ wird ${\displaystyle \Sigma }$ meistens als die Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$ gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ überabzählbar viele Elemente enthält.

Einige Klassen v​on Zufallsvariablen m​it bestimmten Wahrscheinlichkeits- u​nd Messräumen werden besonders häufig verwendet. Diese werden teilweise m​it Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, d​ie keine Kenntnisse d​er Maßtheorie voraussetzen:

Reelle Zufallsvariable

Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen versehen mit der borelschen ${\displaystyle \sigma }$-Algebra. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen:

Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$, die jedem Ergebnis ${\displaystyle \omega }$ aus einer Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ eine reelle Zahl ${\displaystyle X(\omega )}$ zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R}$ :\ \lbrace \omega \mid X(\omega )\leq x\rbrace \in \Sigma }

Das bedeutet, d​ass die Menge a​ller Ergebnisse, d​eren Realisierung unterhalb e​ines bestimmten Wertes liegt, e​in Ereignis bilden muss.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ und ${\displaystyle S}$ jeweils reelle Zufallsvariablen.

Mehrdimensionale Zufallsvariable

→ Hauptartikel: Zufallsvektor

Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ für eine Dimension ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist ${\displaystyle X=(X_{1},\dotsc ,X_{n})}$ gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} }$, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Die Verteilung von ${\displaystyle X}$ wird als multivariat bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten ${\displaystyle X_{i}}$ nennt man auch Randverteilungen. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind der Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns ist ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2})}$ eine zweidimensionale Zufallsvariable.

Zufallsvektoren sollten nicht mit Wahrscheinlichkeitsvektoren (auch stochastische Vektoren genannt) verwechselt werden. Diese sind Elemente des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, deren Komponenten positiv sind und deren Summe 1 ergibt. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeitsmaße auf Mengen mit ${\displaystyle n}$ Elementen.

Komplexe Zufallsvariable

Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ „geerbten“ borelschen σ-Algebra. ${\displaystyle X}$ ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil ${\displaystyle \operatorname {Re} (X)}$ und Imaginärteil ${\displaystyle \operatorname {Im} (X)}$ jeweils reelle Zufallsvariablen sind.

Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz

→ Hauptartikel: Verteilung einer Zufallsvariablen

Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von ${\displaystyle X\;}$ induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. Formal wird die Verteilung ${\displaystyle \;P^{X}}$ einer Zufallsvariablen ${\displaystyle X\;}$ als das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P\;}$ definiert, also

${\displaystyle \;P^{X}(A)=P\left(X^{-1}(A)\right)}$ für alle ${\displaystyle A\in \Sigma '}$, wobei ${\displaystyle \Sigma '}$ die auf dem Bildraum der Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ gegebene σ-Algebra ist.

Statt ${\displaystyle \;P^{X}}$ werden in der Literatur für die Verteilung von ${\displaystyle X\;}$ auch die Schreibweisen ${\displaystyle P_{X},X(P)\;}$ oder ${\displaystyle P\circ X^{-1}}$ verwendet.

Spricht m​an also beispielsweise v​on einer normalverteilten Zufallsvariablen, s​o ist d​amit eine Zufallsvariable m​it Werten i​n den reellen Zahlen gemeint, d​eren Verteilung e​iner Normalverteilung entspricht.

Eigenschaften, welche s​ich allein über gemeinsame Verteilungen v​on Zufallsvariablen ausdrücken lassen, werden a​uch wahrscheinlichkeitstheoretisch genannt.[6] Für Behandlung solcher Eigenschaften i​st es n​icht notwendig, d​ie konkrete Gestalt d​es (Hintergrund-)Wahrscheinlichkeitsraumes z​u kennen, a​uf dem d​ie Zufallsvariablen definiert sind.

Häufig wird deswegen von einer Zufallsvariablen lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum offen gelassen. Dies ist vom Standpunkt der Mathematik erlaubt, sofern es tatsächlich einen Wahrscheinlichkeitsraum gibt, der eine Zufallsvariable mit der gegebenen Verteilung erzeugen kann. Ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ lässt sich aber zu einer konkreten Verteilung leicht angeben, indem beispielsweise ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$, ${\displaystyle \Sigma }$ als die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen und ${\displaystyle P}$ als das durch die Verteilungsfunktion induzierte Lebesgue-Stieltjes-Maß gewählt wird. Als Zufallsvariable kann dann die identische Abbildung ${\displaystyle X\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle X(\omega )=\omega }$ gewählt werden.[7]

Wenn e​ine Familie v​on Zufallsvariablen betrachtet wird, reicht e​s aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Perspektive genauso, d​ie gemeinsame Verteilung d​er Zufallsvariablen anzugeben, d​ie Gestalt d​es Wahrscheinlichkeitsraums k​ann wiederum o​ffen gelassen werden.

Die Frage n​ach der konkreten Gestalt d​es Wahrscheinlichkeitsraumes t​ritt also i​n den Hintergrund, e​s ist jedoch v​on Interesse, o​b zu e​iner Familie v​on Zufallsvariablen m​it vorgegebenen endlichdimensionalen gemeinsamen Verteilungen e​in Wahrscheinlichkeitsraum existiert, a​uf dem s​ie sich gemeinsam definieren lassen. Diese Frage w​ird für unabhängige Zufallsvariablen d​urch einen Existenzsatz v​on É. Borel gelöst, d​er besagt, d​ass man i​m Prinzip a​uf den v​on Einheitsintervall u​nd Lebesgue-Maß gebildeten Wahrscheinlichkeitsraum zurückgreifen kann. Ein möglicher Beweis nutzt, d​ass sich d​ie binären Nachkommastellen d​er reellen Zahlen i​n [0,1] a​ls ineinander verschachtelte Bernoulli-Folgen betrachten lassen (ähnlich Hilberts Hotel).[8]

Mathematische Attribute für Zufallsvariablen

Verschiedene mathematische Attribute, d​ie in d​er Regel d​enen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden b​ei Zufallsvariablen Anwendung. Die häufigsten werden i​n der folgenden Zusammenstellung k​urz erklärt:

Diskret

Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt oder etwas allgemeiner, wenn ihre Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.[9] Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ und ${\displaystyle S}$ diskret. Ein weiteres Beispiel für diskrete Zufallsvariablen sind zufällige Permutationen.

Konstant

Eine Zufallsvariable wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: ${\displaystyle X(\omega )=c}$ für alle ${\displaystyle \omega }$. Sie ist ein Spezialfall einer diskreten Zufallsvariable.

Unabhängig

→ Hauptartikel: Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen

Zwei reelle Zufallsvariablen ${\displaystyle X,Y}$ heißen unabhängig, wenn für je zwei Intervalle ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$ und ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$ die Ereignisse ${\displaystyle E_{X}:=\{\omega |X(\omega )\in [a_{1},b_{1}]\}}$ und ${\displaystyle E_{Y}:=\{\omega |Y(\omega )\in [a_{2},b_{2}]\}}$ stochastisch unabhängig sind. Das sind sie, wenn gilt: ${\displaystyle P(E_{X}\cap E_{Y})=P(E_{X})P(E_{Y})}$.

In obigem Beispiel sind ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle S}$ hingegen nicht.

Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P_{X}}$ des Zufallsvektors ${\displaystyle X=\left(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}\right)}$ dem Produktmaß der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von ${\displaystyle P_{X_{1}},P_{X_{2}},\dotsc ,P_{X_{n}}}$ entspricht.[10] So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ mit

${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}^{3}}$,

${\displaystyle \Sigma }$ der Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$ und

${\displaystyle P\left(\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)\right)={\frac {1}{6^{3}}}={\frac {1}{216}}}$

modellieren; die Zufallsvariable "Ergebnis des ${\displaystyle k}$-ten Wurfes" ist dann

${\displaystyle X_{k}\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)=n_{k}}$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3\}}$.

Die Konstruktion e​ines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für e​ine beliebige Familie unabhängiger Zufallsvariable m​it gegebenen Verteilungen i​st ebenfalls möglich.[11]

Identisch verteilt

Zwei oder mehr Zufallsvariablen heißen identisch verteilt (bzw. i.d. für identically distributed), wenn ihre induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ identisch verteilt; die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle S}$ hingegen nicht.

Unabhängig und identisch verteilt

→ Hauptartikel: Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen

Häufig werden Folgen v​on Zufallsvariablen untersucht, d​ie sowohl unabhängig a​ls auch identisch verteilt sind; demnach spricht m​an von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen, üblicherweise m​it u.i.v. bzw. i.i.d. (für independent a​nd identically distributed) abgekürzt.

In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ und ${\displaystyle X_{3}}$ i.i.d. Die Summe der ersten beiden Würfe ${\displaystyle S_{1,2}=X_{1}+X_{2}}$ und die Summe des zweiten und dritten Wurfs ${\displaystyle S_{2,3}=X_{2}+X_{3}}$ sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. Dagegen sind ${\displaystyle S_{1,2}}$ und ${\displaystyle X_{3}}$ unabhängig, aber nicht identisch verteilt.

Austauschbar

Austauschbare Familien v​on Zufallsvariablen s​ind Familien, d​eren Verteilung s​ich nicht ändert, w​enn man endlich v​iele Zufallsvariablen i​n der Familie vertauscht. Austauschbare Familien s​ind stets identisch verteilt, a​ber nicht notwendigerweise unabhängig.

Mathematische Attribute für reelle Zufallsvariablen

Kenngrößen

Zur Charakterisierung v​on Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, d​ie wesentliche mathematische Eigenschaften d​er jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen i​st die Verteilungsfunktion, d​ie Auskunft darüber gibt, m​it welcher Wahrscheinlichkeit d​ie Zufallsvariable e​inen Wert b​is zu e​iner vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise d​ie Wahrscheinlichkeit, höchstens e​ine Vier z​u würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen w​ird diese d​urch die Wahrscheinlichkeitsdichte ergänzt, m​it der d​ie Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, d​ass die Werte e​iner Zufallsvariablen innerhalb e​ines bestimmten Intervalls liegen. Des Weiteren s​ind Kennzahlen w​ie der Erwartungswert, d​ie Varianz o​der höhere mathematische Momente v​on Interesse.

Stetig oder kontinuierlich

Das Attribut stetig w​ird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet.

• Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist).[12]
• Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Verteilungsfunktion besitzt.[13] Insbesondere bedeutet das, dass ${\displaystyle P(\{X=x\})=0}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gilt.

Messbarkeit, Verteilungsfunktion und Erwartungswert

Wenn eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ auf dem Ergebnisraum ${\displaystyle \Omega }$ und eine messbare Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ gegeben ist, dann ist auch ${\displaystyle Y=g(X)}$ eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. ${\displaystyle g(X)}$ wird auch als Transformation der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ unter ${\displaystyle g}$ bezeichnet. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ nach ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),P^{X})}$ gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von ${\displaystyle Y}$ zu erhalten.

Die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle Y}$ lautet

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)}$.

Der Erwartungswert einer quasi-integrierbaren Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ von ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ nach ${\displaystyle ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}$ berechnet sich folgend:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X(\omega )\mathrm {d} P(\omega )\,}$.

Integrierbar und quasi-integrierbar

Eine Zufallsvariable heißt integrierbar, w​enn der Erwartungswert d​er Zufallsvariable existiert u​nd endlich ist. Die Zufallsvariable heißt quasi-integrierbar, w​enn der Erwartungswert existiert, möglicherweise a​ber unendlich ist. Jede integrierbare Zufallsvariable i​st folglich a​uch quasi-integrierbar.

Beispiel

Es sei ${\displaystyle X}$ eine reelle stetig verteilte Zufallsvariable und ${\displaystyle Y=X^{2}}$.

Dann ist

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

Fallunterscheidung nach ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle y<0:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&&\operatorname {P} (X^{2}\leq y)&=0\\&\Rightarrow &F_{Y}(y)&=0\end{alignedat}}}$

${\displaystyle y\geq 0:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&&\operatorname {P} \left(X^{2}\leq y\right)&=\operatorname {P} \left(|X|\leq {\sqrt {y}}\right)\\&&&=\operatorname {P} \left(-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}\right)\\&\Rightarrow &F_{Y}\left(y\right)&=F_{X}\left({\sqrt {y}}\right)-F_{X}\left(-{\sqrt {y}}\right)\end{alignedat}}}$

Standardisierung

→ Hauptartikel: Standardisierung (Statistik)

Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr Erwartungswert 0 und ihre Varianz 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ in eine standardisierte Zufallsvariable

${\displaystyle Z={\frac {Y-\operatorname {E} (Y)}{\sqrt {\operatorname {Var} (Y)}}}}$

bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$.

Sonstiges

• Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können auch als stochastischer Prozess aufgefasst werden
• Eine Folge von Realisierungen einer Zufallsvariable nennt man auch Zufallssequenz
• Eine Zufallsvariable ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ erzeugt eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}({\mathcal {B}}):=\{X^{-1}(B)|B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\}}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ die Borelsche σ-Algebra des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist.

Literatur

• Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1980, ISBN 3-540-07309-4.
• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9.
• Michel Loève: Probability Theory I. 4. Auflage. Springer, 1977, ISBN 0-387-90210-4.

Einzelnachweise

1. Jörg Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen. 6. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1923-9, S. 39, doi:10.1007/978-3-8348-2319-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 12.
3. David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 456–457, doi:10.1007/b137972.
4. Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Abschnitt R.
5. Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft)
6. Loève: Probability Theory. 4. Auflage. Band 1, Springer 1977, ISBN 0-387-90210-4, S. 172f.
7. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, Definition 5.6.2.
8. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 55.
9. David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 90, doi:10.1007/b137972.
10. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.8.1)
11. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, Kapitel 11.4.
12. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Definition 2.3.3.
13. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 210.