Zusammengesetzte Poisson-Verteilung

Die zusammengesetzte Poisson-Verteilung i​st eine Verallgemeinerung d​er Poisson-Verteilung u​nd spielt e​ine wichtige Rolle b​ei Poisson-Prozessen u​nd der Theorie d​er unendlichen Teilbarkeit. Im Gegensatz z​u vielen anderen Verteilungen i​st bei d​er zusammengesetzten Poisson-Verteilung n​icht a priori festgelegt, o​b sie stetig o​der diskret ist. Sie sollte n​icht mit d​er gemischten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition

Ist ${\displaystyle N}$ eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert ${\displaystyle \lambda }$ und sind ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, so heißt die Zufallsvariable

${\displaystyle Y:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

zusammengesetzt Poisson-verteilt . Sind die ${\displaystyle X_{i}}$ alle auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ definiert, also diskret, so heißt ${\displaystyle Y}$ diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt. In beiden Fällen schreibt man ${\displaystyle Y\sim CPoi_{\mu }}$ wobei ${\displaystyle \mu }$ das Wahrscheinlichkeitsmaß von ${\displaystyle X_{i}}$ ist. Wahrscheinlichkeitsdichten oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen sowie Verteilungsfunktionen lassen sich nur in Spezialfällen geschlossen angeben, aber eventuell mit dem Panjer-Algorithmus approximieren.

Gelegentlich finden s​ich auch i​n der deutschen Literatur d​ie Begriffe d​ie englischen Begriffe Compound Poisson u​nd discrete compound Poisson.

Eigenschaften

Erwartungswert

Für d​en Erwartungswert g​ilt nach d​er Formel v​on Wald:

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\lambda \operatorname {E} (X_{1})}$.

Varianz

Nach d​er Blackwell-Girshick-Gleichung gilt

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\lambda \,(\operatorname {E} (X_{1}))^{2}+\lambda \operatorname {Var} (X_{1})=\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2}),}$

wenn die zweiten Momente von ${\displaystyle X_{i}}$ existieren. Dabei folgt die zweite Gleichheit aus dem Verschiebungssatz.

Schiefe

Mittels d​er Kumulanten ergibt s​ich für d​ie Schiefe

${\displaystyle \operatorname {v} (Y)={\frac {\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{3})}{\left(\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2})\right)^{\frac {3}{2}}}}}$.

Wölbung

Für d​en Exzess ergibt s​ich mittels d​er Kumulanten

${\displaystyle \gamma ={\frac {\operatorname {E} (X_{1}^{4})}{\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2})^{2}}}}$.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=\lambda (M_{X_{1}}(t)-1)}$

wobei ${\displaystyle M_{X_{1}}(t)}$ die Momenterzeugende Funktion von ${\displaystyle X_{1}}$ ist. Damit gilt für alle Kumulanten

${\displaystyle \kappa _{k}=\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{k})}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der momenterzeugenden Funktion der ${\displaystyle X_{i}}$:

${\displaystyle M_{Y}(t)=\exp(\lambda (M_{X_{1}}(t)-1))}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der charakteristischen Funktion der ${\displaystyle X_{i}}$:

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\exp(\lambda (\varphi _{X_{1}}(t)-1))}$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Sind die ${\displaystyle X_{i}}$ diskret, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion definiert, und ergibt sich als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion von ${\displaystyle N}$ und von ${\displaystyle X_{i}}$ zu

${\displaystyle m_{Y}(t)=\exp(\lambda (m_{X_{1}}(t)-1))}$.

Unendliche Teilbarkeit

Eine zusammengesetzt Poisson-verteilte Zufallsvariable ist unendlich teilbar. Es lässt sich zeigen, dass eine Zufallsvariable auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ genau dann unendlich teilbar ist, wenn die Zufallsvariable diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt ist.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Ist ${\displaystyle X_{i}=1}$ fast sicher, so fallen Poisson-Verteilung und zusammengesetzte Poisson-Verteilung zusammen.

Beziehung zur geometrischen Verteilung und zur negativen Binomialverteilung

Da sowohl die geometrische Verteilung als auch die negative Binomialverteilung unendlich teilbar sind, handelt es sich um zusammengesetzte Poisson-Verteilungen. Sie entstehen bei Kombination mit der logarithmischen Verteilung. Die Parameter der negativen Binomialverteilung errechnen sich als ${\displaystyle p_{\text{log}}=1-p_{\text{neg}}}$ und ${\displaystyle r={\frac {-\lambda }{\ln(1-p_{\text{log}})}}}$.

Weblinks

• A.V. Prokhorov: Poisson distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.