Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms ${\displaystyle x+y}$, also einen Ausdruck der Form

${\displaystyle (x+y)^{n},\quad n\in \mathbb {N} }$

als Polynom ${\displaystyle n}$-ten Grades in den Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt die Gleichung:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\quad (1)}$

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ (mit der Konvention ${\displaystyle 0^{0}=1}$).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks s​ind die Binomialkoeffizienten

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{1\cdot 2\dotsm k}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot {k!}}}}$,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit ${\displaystyle n!=1\cdot 2\dotsm n}$ ist hierbei die Fakultät von ${\displaystyle n}$ bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}}$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ an das Ringelement ${\displaystyle x^{n-k}y^{k}}$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall ${\displaystyle n=2}$ heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen

• Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h. ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$ gilt.
• Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

${\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+\left[\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right]+y^{n}}$.

• Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.

Beweis

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ kann durch vollständige Induktion erbracht werden.[1] Für jedes konkrete ${\displaystyle n}$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiele

${\displaystyle (x+y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}y+{\binom {3}{2}}\,xy^{2}+{\binom {3}{3}}\,y^{3}=x^{3}+3\,x^{2}y+3\,xy^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle (x-y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}(-y)+{\binom {3}{2}}\,x(-y)^{2}+{\binom {3}{3}}\,(-y)^{3}=x^{3}-3\,x^{2}y+3\,xy^{2}-y^{3}}$

${\displaystyle {\big (}a+ib{\big )}^{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}i^{k}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}}$, wobei ${\displaystyle i}$ die imaginäre Einheit ist.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten ${\displaystyle \alpha }$ mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn ${\displaystyle \alpha }$ eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet i​n seiner allgemeinen Form:

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=x^{\alpha }\left(1+{\tfrac {y}{x}}\right)^{\alpha }=x^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}\quad (2)}$.

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle x>0}$ und ${\displaystyle \left|{\tfrac {y}{x}}\right|<1}$.

Im Spezialfall ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} }$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die h​ier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten s​ind definiert als

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\dotsm (\alpha -k+1)}{k!}}}$

Im Fall ${\displaystyle k=0}$ entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für ${\displaystyle \alpha =-1}$ und ${\displaystyle x=1}$ ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur

• M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.

Einzelnachweise

1. Wikibooks Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz