Vorzeichenfunktion

Die Vorzeichenfunktion o​der Signumfunktion (von lateinisch signum ‚Zeichen‘) i​st in d​er Mathematik e​ine Funktion, d​ie einer reellen o​der komplexen Zahl i​hr Vorzeichen zuordnet.

Vorzeichenfunktion auf den reellen Zahlen

Definition

Graph der Vorzeichenfunktion

Die reelle Vorzeichenfunktion bildet von der Menge der reellen Zahlen in die Menge ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ ab und wird in der Regel wie folgt definiert:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x):={\begin{cases}+1,&\;{\text{falls}}\quad x>0,\\\;\;\,0,&\;{\text{falls}}\quad x=0,\\-1,&\;{\text{falls}}\quad x<0.\\\end{cases}}}$

Sie ordnet a​lso den positiven Zahlen d​en Wert +1, d​en negativen Zahlen d​en Wert −1 u​nd der 0 d​en Wert 0 zu.

Anwendungsabhängig, beispielsweise i​n der Rechentechnik, verwendet m​an eine alternative Definition für 0, d​iese wird d​ann den positiven (sgn(0)=1), negativen (sgn(0)=-1), beiden Zahlenbereichen entweder wahlweise (sgn(+0)=+1,sgn(-0)=-1), o​der gleichzeitig (sgn(0)=±1) Zahlenbereichen, o​der undefiniert (sgn(0)=undef)[1][2] zugeordnet. Da d​ie Null e​ine Nullmenge u​nter dem Lebesgue-Maß ist, i​st dies für praktische Anwendungen o​ft nicht v​on Bedeutung. Unabhängig v​on der Definition d​er Vorzeichenfunktion (die variiert), w​ird in d​er Gleitkommadarstellung üblicherweise d​em Vorzeichen e​in Bit zugewiesen.

Für den Fall, dass ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=1}$ gesetzt wird, besteht folgender Zusammenhang zur Heaviside-Funktion ${\displaystyle \Theta (x)}$:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=2\Theta (x)-1}$

Rechenregeln

Durch Fallunterscheidung i​st leicht beweisbar:

• Für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ mit Betrag ${\displaystyle |x|}$ gilt ${\displaystyle x=|x|\cdot \operatorname {sgn}(x)\;{\text{sowie}}\;x\cdot \operatorname {sgn}(x)=|x|}$.

• Die Signumfunktion ist eine ungerade Funktion:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(-x)=-\operatorname {sgn}(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

• Ist ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ eine Konstante und ${\displaystyle f}$ eine ungerade Funktion, so ist

${\displaystyle f(k\cdot x)\quad =f(\operatorname {sgn}(k)\cdot |k|\cdot x)\quad =\operatorname {sgn}(k)\cdot f(|k|\cdot x)}$

• Für ${\displaystyle x\neq 0}$ ist der Übergang zur reziproken Zahl mit der Signumfunktion verträglich und ändert nichts an deren Wert:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x^{-1})=(\operatorname {sgn}(x))^{-1}=\operatorname {sgn}(x)}$ für alle ${\displaystyle 0\neq x\in \mathbb {R} }$.

• Die Signumfunktion ist mit der Multiplikation verträglich:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)\cdot \operatorname {sgn}(y)=\operatorname {sgn}(x\cdot y)}$ für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$.

• Die Signumfunktion ist idempotent:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\operatorname {sgn}(x))=\operatorname {sgn}(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Aus den beiden letztgenannten Rechenregeln folgt beispielsweise, dass sich die in einem aus beliebig vielen Faktoren zusammengesetzten Argument der Signumfunktion ein Faktor ${\displaystyle x_{j}}$ durch ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x_{j})}$ ersetzen lässt, ohne den Funktionswert zu ändern:

${\displaystyle \operatorname {sgn} {\bigg (}x_{j}\cdot \prod _{i}x_{i}{\bigg )}=\operatorname {sgn} {\bigg (}\operatorname {sgn}(x_{j})\cdot \prod _{i}x_{i}{\bigg )}}$ für beliebige ${\displaystyle x_{i},x_{j}\in \mathbb {R} }$.

Ableitung und Integral

Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 nicht stetig.

Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle ${\displaystyle x=0}$ nicht stetig und damit dort nicht klassisch differenzierbar. Für alle anderen Stellen ${\displaystyle x\neq 0}$ ist die Vorzeichenfunktion differenzierbar mit ${\displaystyle \operatorname {sgn} ^{\prime }(x)=0}$. Die Vorzeichenfunktion besitzt auch keine schwache Ableitung. Allerdings ist sie im Sinne von Distributionen differenzierbar, und ihre Ableitung ist ${\displaystyle 2\delta }$, wobei ${\displaystyle \delta }$ die Delta-Distribution bezeichnet.

Ferner gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |x|=\int _{0}^{x}\operatorname {sgn}(t)\,dt\,.}$

Die Vorzeichenfunktion i​st darüber hinaus d​ie schwache Ableitung d​er Betragsfunktion.

Vorzeichenfunktion auf den komplexen Zahlen

Definition

Signum von vier komplexen Zahlen

Im Vergleich z​ur Vorzeichenfunktion reeller Zahlen w​ird nur selten d​ie folgende Erweiterung a​uf komplexe Zahlen betrachtet:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(z):={\begin{cases}{\frac {z}{|z|}}&\;{\text{falls}}\quad z\neq 0\\0&\;{\text{falls}}\quad z=0\\\end{cases}}}$

Das Ergebnis dieser Funktion liegt für ${\displaystyle z\neq 0}$ auf dem Einheitskreis und besitzt dasselbe Argument wie der Ausgangswert, insbesondere gilt

${\displaystyle \operatorname {sgn} \left(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\right)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },\qquad \mathrm {falls} \ r>0.}$

Beispiel: ${\displaystyle z_{1}=2+2\mathrm {i} }$ (im Bild rot)

${\displaystyle \operatorname {sgn} (z_{1})=\operatorname {sgn} (2+2\mathrm {i} )={\frac {2+2\mathrm {i} }{\left|2+2\mathrm {i} \right|}}={\frac {2+2\mathrm {i} }{2{\sqrt {2}}}}={\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\mathrm {i} }.}$

Rechenregeln

Für d​ie komplexe Vorzeichenfunktion gelten d​ie folgenden Rechenregeln:

Für alle komplexen Zahlen ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle w}$ gilt:

• ${\displaystyle z=|z|\cdot \operatorname {sgn} z}$ für alle ${\displaystyle z,}$ wobei ${\displaystyle |z|}$ den Betrag von ${\displaystyle z}$ bezeichnet;
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\bar {z}})={\overline {\operatorname {sgn} (z)}}}$, wobei der Querstrich die komplexe Konjugation bezeichnet;
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z\cdot w)=\operatorname {sgn} z\cdot \operatorname {sgn} w}$, insbesondere
  • ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\lambda \cdot z)=\operatorname {sgn} z}$ für positive reelle ${\displaystyle \lambda }$,
  • ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\lambda \cdot z)=-\operatorname {sgn} z}$ für negative reelle ${\displaystyle \lambda }$,
  • ${\displaystyle \operatorname {sgn} (-z)=-\operatorname {sgn} (z)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} (|z|)=|\operatorname {sgn} (z)|}$.
• Falls ${\displaystyle z\neq 0}$ ist, gilt auch

${\displaystyle \operatorname {sgn} (z^{-1})=\operatorname {sgn} (z)^{-1}={\overline {\operatorname {sgn} (z)}}}$.

Literatur

• Königsberger: Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 101.
• Hildebrandt: Analysis 1. 2. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25368-8, S. 133.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Sign. In: MathWorld (englisch).
• yark, matte, Cam McLeman: Signum function. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. Eugene D. Denman, Alex N. Beavers: The matrix sign function and computations in systems. In: Applied Mathematics and Computation. Band 2, Nr. 1. Elsevier, Januar 1976, ISSN 0096-3003, S. 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5.
2. Charles S. Kenney, Alan J. Laub: The matrix sign function. In: IEEE Transactions on Automatic Control. Band 40, Nr. 8. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), August 1995, S. 1330–1348, doi:10.1109/9.402226.