Besselsche Differentialgleichung

Die Besselsche Differentialgleichung i​st eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Benannt w​urde sie n​ach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel. Ihre Lösungen heißen Bessel-Funktionen o​der Zylinderfunktionen.

Besselsche Differentialgleichung

Die Besselsche Differentialgleichung i​st eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, d​ie durch

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)f=0}$

definiert ist, wobei ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle \nu }$ reelle oder komplexe Zahlen sind. Die Lösungen heißen Bessel-Funktionen ${\displaystyle \nu }$-ter Ordnung.

Entsprechend i​st der Bessel-Operator e​in Differentialoperator zweiter Ordnung. Er i​st definiert durch

${\displaystyle B_{\nu }:=x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)\,.}$

Mit i​hm kann m​an die Besselsche Differentialgleichung k​urz ausdrücken durch[1]

${\displaystyle B_{\nu }f=0}$

Bessel-Funktionen

Allgemein

Die Bessel-Funktionen erster Gattung ${\displaystyle J_{0},J_{1}}$ und ${\displaystyle J_{2}}$

Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung ${\displaystyle Y_{0},Y_{1}}$ und ${\displaystyle Y_{2}}$

Die Lösungen d​er Besselschen Differentialgleichung heißen Bessel-Funktionen. Sie spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Physik, d​a die Besselsche Differentialgleichung d​en radialen Anteil d​er Laplace-Gleichung b​ei zylindrischer Symmetrie darstellt. Auf d​ie Bessel-Funktionen trifft m​an unter anderem b​ei der Untersuchung v​on Eigenschwingungen e​iner kreisförmigen Membran o​der einer Orgelpfeife, d​er Ausbreitung v​on Wasserwellen i​n runden Behältern, d​er Wärmeleitung i​n Stäben, d​er Analyse d​es Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale, d​er Feldverteilung i​m Querschnitt v​on Rundhohlleitern, d​en stationären Zuständen v​on Kastenpotentialen, d​er Leistungsverteilung i​n Kernreaktoren, d​er Intensität v​on Lichtbeugung a​n kreisförmigen Löchern s​owie bei Filtern i​n der Elektrotechnik (Bessel-Filter). Man zählt d​ie Bessel-Funktionen w​egen ihrer vielfältigen Anwendungen i​n der mathematischen Physik z​u den speziellen Funktionen.

Als Differentialgleichung zweiter Ableitungsordnung besitzt d​ie Besselsche Differentialgleichung z​wei linear unabhängige Lösungen. Sie lassen s​ich in verschiedenen Varianten beschreiben.

Bessel-Funktionen erster Gattung

Die Bessel-Funktionen ${\displaystyle J_{\nu }}$ erster Gattung ${\displaystyle \nu }$-ter Ordnung sind definiert als

${\displaystyle J_{\nu }(x)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2r+\nu }}{\Gamma (\nu +r+1)r!}}\,}$,

wobei ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gammafunktion ist. Im Ursprung (${\displaystyle x=0}$) sind diese Funktionen für ganzzahlige ${\displaystyle \nu }$ endlich.

Für nicht-ganzzahlige ${\displaystyle \nu }$ sind ${\displaystyle J_{\nu }}$ und ${\displaystyle J_{-\nu }}$ linear unabhängige Lösungen.

Für ganzzahlige ${\displaystyle \nu }$ gilt die Beziehung

${\displaystyle J_{-\nu }(x)=(-1)^{\nu }J_{\nu }(x)=J_{\nu }(-x)\,}$.

In diesem Fall i​st die zweite unabhängige Lösung d​ie Bessel-Funktion zweiter Gattung, d​ie weiter u​nten diskutiert wird.

Integraldarstellungen

Für ganzzahlige ${\displaystyle \nu }$ kann man die Bessel-Funktion erster Gattung auch als Integral darstellen:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(x\sin \varphi -\nu \varphi )\,\mathrm {d} \varphi \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{\mathrm {i} \,(x\sin \varphi -\nu \varphi )}\,\mathrm {d} \varphi \,.\end{aligned}}}$

Damit ist ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$ der ${\displaystyle \nu }$-te Fourier-Koeffizient der Funktion ${\displaystyle \varphi \mapsto e^{ix\sin \varphi }}$.

Hypergeometrische Funktion

Die Bessel-Funktion erster Gattung k​ann durch d​ie verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

${\displaystyle J_{\nu }(x)={\frac {(x/2)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\;_{0}F_{1}(;\nu +1;-x^{2}/4).}$

Dieser Ausdruck hängt m​it der Entwicklung d​er Bessel-Funktion i​n Abhängigkeit z​ur Bessel-Clifford-Funktion zusammen.

Bessel-Funktionen zweiter Gattung

Auch die Bessel-Funktionen zweiter Gattung ${\displaystyle Y_{\nu }(x)}$ (auch Weber-Funktionen oder Neumann-Funktionen genannt) lösen die Besselsche Differentialgleichung. Eine alternative Bezeichnung ist ${\displaystyle N_{\nu }(x)}$. Für nicht-ganzzahlige ${\displaystyle \nu }$ kann man die ${\displaystyle Y_{\nu }(x)}$ definieren durch

${\displaystyle Y_{\nu }(x)={\frac {J_{\nu }(x)\cos(\nu \pi )-J_{-\nu }(x)}{\sin(\nu \pi )}}.}$

Für ganzzahlige ${\displaystyle n}$ ist die durch den Grenzübergang ${\displaystyle \nu \rightarrow n}$ gebildete Funktion

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\nu \to n}Y_{\nu }(x)}$

weiterhin e​ine Lösung d​er Besselschen Differentialgleichung.

Wie für d​ie Bessel-Funktionen erster Gattung g​ilt auch für d​ie Besselfunktionen zweiter Gattung folgende Beziehung:

${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)}$.

Nach Ausführung d​es Grenzüberganges m​it der Regel v​on de L’Hospital ergibt sich

${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\left[{\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!\nu }J_{\nu }(x){\Big |}_{\nu =n}+(-1)^{n}{\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!\nu }J_{\nu }(x){\Big |}_{\nu =-n}\right].}$

Explizit findet man

${\displaystyle Y_{n}(x)=\,{\frac {2}{\pi }}\left(\gamma +\ln {\frac {x}{2}}\right)J_{n}(x)-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k-n}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {H_{k}+H_{k+n}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2k+n}}$

für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$. Hierbei ist ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante und ${\displaystyle H_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te harmonische Zahl.

Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung haben also bei ${\displaystyle x=0}$ eine logarithmische Singularität und einen Pol ${\displaystyle n}$-ter Ordnung.

Für alle ${\displaystyle \nu }$ ist neben der Bessel-Funktion erster Gattung ${\displaystyle J_{\nu }}$ die Bessel-Funktion zweiter Gattung ${\displaystyle Y_{\nu }}$ eine zweite, linear unabhängige Lösung.

Bessel-Funktionen dritter Gattung

Die Bessel-Funktionen dritter Gattung ${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}}$, ${\displaystyle H_{\nu }^{(2)}}$ (auch bekannt als Hankel-Funktionen) sind Linearkombinationen der Bessel-Funktionen erster und zweiter Gattung

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\nu }^{(1)}(x)&=J_{\nu }(x)+\mathrm {i} \cdot Y_{\nu }(x)\,,\\H_{\nu }^{(2)}(x)&=J_{\nu }(x)-\mathrm {i} \cdot Y_{\nu }(x)\,,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Auch diese beiden Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.

Beziehungen von Ordnungen einer Gattung

• Für die Bessel-Funktionen ${\displaystyle J_{\nu }}$, ${\displaystyle Y_{\nu }}$, ${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}}$ und ${\displaystyle H_{\nu }^{(2)}}$ gelten die Rekursionsbeziehungen:

${\displaystyle {\frac {\nu }{x}}\Omega _{\nu }={\frac {1}{2}}(\Omega _{\nu -1}+\Omega _{\nu +1})}$,

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Omega _{\nu }={\frac {1}{2}}(\Omega _{\nu -1}-\Omega _{\nu +1})}$.

• Für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gilt ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)^{2}=1}$.

• Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{x}}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)^{n}J_{0}(x)={\frac {J_{n}(x)}{x^{n}}}}$.

Asymptotisches Verhalten

Seien ${\displaystyle x,\nu \in \mathbb {R} ,\nu \geq 0}$, dann gelten für ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\nu +1}}}$ die asymptotischen Darstellungen

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(x)&\approx {\frac {1}{\Gamma (\nu +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\nu }\\Y_{\nu }(x)&\approx {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\frac {x}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{wenn }}\nu =0\\\\-{\frac {\Gamma (\nu )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\nu }&{\text{wenn }}\nu >0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Für große Argumente ${\displaystyle x\gg |\nu ^{2}-1/4|}$ findet man

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(x)&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\nu \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\\Y_{\nu }(x)&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\nu \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).\end{aligned}}}$

Diese Formeln sind für ${\displaystyle \nu =1/2}$ exakt. Vergleiche hierfür mit den sphärischen Besselfunktionen weiter unten.

Modifizierte Bessel-Funktionen

Die modifizierten Bessel-Funktionen erster Gattung für ${\displaystyle I_{0},I_{1},I_{2}}$ und ${\displaystyle I_{3}}$

Die modifizierten Bessel-Funktionen zweiter Gattung für ${\displaystyle K_{0},K_{1},K_{2}}$ und ${\displaystyle K_{3}}$

Die Differentialgleichung

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}-(x^{2}+\nu ^{2})f=0}$

wird d​urch Bessel-Funktionen m​it rein imaginärem Argument gelöst. Man definiert für i​hre Lösung normalerweise d​ie modifizierten Bessel-Funktionen

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\nu }(x)&=i^{-\nu }J_{\nu }(ix)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {({\frac {x}{2}})^{2r+\nu }}{\Gamma (r+\nu +1)r!}}\\K_{\nu }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(x)-I_{\nu }(x)}{\sin(\nu \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{\nu +1}H_{\nu }^{(1)}(ix)\\&={\frac {\pi }{2}}(-i)^{\nu +1}H_{\nu }^{(2)}(-ix)\end{aligned}}}$

Die Funktion ${\displaystyle K_{\nu }(x)}$ ist auch als MacDonald-Funktion bekannt. Anders als die „normalen“ Besselfunktionen weisen die modifizierten Besselfunktionen kein oszillierendes, sondern ein exponentielles Verhalten auf.

Airysche Integrale

Für die Funktionen ${\displaystyle K_{1/3}}$ und ${\displaystyle K_{2/3}}$ kann man eine Integraldarstellung angeben

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1/3}(x)&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {3}{2}}x\left(u+{\frac {u^{3}}{3}}\right)\right)\mathrm {d} u\\K_{2/3}(x)&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }u\sin \left({\frac {3}{2}}x\left(u+{\frac {u^{3}}{3}}\right)\right)\mathrm {d} u\end{aligned}}}$.

Hypergeometrische Funktion

Auch d​ie modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung k​ann durch e​ine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

${\displaystyle I_{\nu }(x)={\frac {(x/2)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\;_{0}F_{1}(\nu +1;x^{2}/4)}$.

Beziehungen von Ordnungen einer Gattung

• Für die Bessel-Funktionen ${\displaystyle K_{\nu }}$ und ${\displaystyle I_{\nu }}$ gelten die Rekursionsbeziehungen:

${\displaystyle {\frac {\nu }{x}}K_{\nu }=-{\frac {1}{2}}\left(K_{\nu -1}-K_{\nu +1}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\nu }{x}}I_{\nu }={\frac {1}{2}}\left(I_{\nu -1}-I_{\nu +1}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}K_{\nu }=-{\frac {1}{2}}(K_{\nu -1}+K_{\nu +1})}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}I_{\nu }={\frac {1}{2}}(I_{\nu -1}+I_{\nu +1})}$

Asymptotisches Verhalten

Wir nehmen wieder an, dass ${\displaystyle \nu }$ reell und nicht-negativ ist. Für kleine Argumente ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\nu +1}}}$ findet man

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\nu }(x)&\approx {\frac {1}{\Gamma (\nu +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\nu }\\\\K_{\nu }(x)&\approx {\begin{cases}-\left(\ln \left({\frac {x}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{wenn }}\nu =0\\\\{\frac {\Gamma (\nu )}{2}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\nu }&{\text{wenn }}\nu >0\,.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Für große Argumente ${\displaystyle x\gg |\nu ^{2}-1/4|}$ erhält man

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\nu }(x)&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{x}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{x}}\right)\right)\\\\K_{\nu }(x)&\approx {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{x}}\right)\right)\,.\end{aligned}}}$

Sphärische Besselfunktionen

Die Helmholtz-Gleichung i​n Kugelkoordinaten führt n​ach Separation d​er Variablen a​uf die Radialgleichung

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}f_{\mu }(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+2x{\frac {\mathrm {d} f_{\mu }(x)}{\mathrm {d} x}}+[x^{2}-\mu (\mu +1)]f_{\mu }(x)=0}$.

Nach d​er Substitution

${\displaystyle f_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}u_{\mu }(x)}$

erhält man die Besselsche Differentialgleichung ${\displaystyle (\nu =\mu +1/2)}$

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u_{\mu }(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} u_{\mu }(x)}{\mathrm {d} x}}+\left[x^{2}-\left(\mu +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]u_{\mu }(x)=0}$.

Für die Lösung ${\displaystyle f_{\mu }(x)}$ der Radialgleichung werden üblicherweise die sphärischen Bessel-Funktionen ${\displaystyle j_{\mu }(x)}$, die sphärischen Neumann-Funktionen ${\displaystyle y_{\mu }(x)=n_{\mu }(x)}$ und die sphärischen Hankel-Funktionen ${\displaystyle h_{\mu }^{(1,2)}(x)}$ definiert:

${\displaystyle {\begin{aligned}&j_{\mu }(x)\quad ={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{\mu +1/2}(x)\\&y_{\mu }(x)\quad ={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{\mu +1/2}(x)\\&h_{\mu }^{(1,2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}H_{\mu +1/2}^{(1,2)}=j_{\mu }(x)\pm iy_{\mu }(x)\end{aligned}}}$.

Es gelten die alternativen Darstellungen für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&j_{m}(x)\quad =(-x)^{m}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{m}\ {\frac {\sin x}{x}}\\&y_{m}(x)\quad =-(-x)^{m}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{m}\ {\frac {\cos x}{x}}\\&h_{m}^{(1,2)}(x)=\mp i(-x)^{m}\left({\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{m}{\frac {e^{\pm ix}}{x}}\\\end{aligned}}}$

Die sphärischen Bessel- u​nd Hankelfunktionen werden beispielsweise für d​ie Behandlung d​es kugelsymmetrischen Potentialtopfs i​n der Quantenmechanik benötigt.

Eigenschaften

• Für die sphärischen Bessel-Funktionen ${\displaystyle j_{\mu }}$, ${\displaystyle y_{\mu }}$, ${\displaystyle h_{\mu }^{(1)}}$ und ${\displaystyle h_{\mu }^{(2)}}$ gelten die Rekursionsbeziehungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2\mu +1}{x}}\omega _{\mu }(x)\;\,=\omega _{\mu -1}(x)+\omega _{\mu +1}(x)\\&(2\mu +1)\omega '_{\mu }(x)\,=\mu \omega _{\mu -1}(x)-(\mu +1)\omega _{\mu +1}(x)\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x\omega _{\mu }(x))\quad =x\omega _{\mu -1}(x)-\mu \omega _{\mu }(x)\end{aligned}}}$.

• Für die Wronski-Determinante gilt

${\displaystyle W(j_{\mu },y_{\mu })={\frac {1}{i}}W(j_{\mu },h_{\mu }^{(1)})=-W(y_{\mu },h_{\mu }^{(1)})={\frac {1}{x^{2}}}}$.

Hankel-Transformation

→ Hauptartikel: Hankel-Transformation

Die Hankel-Transformation ist eine Integraltransformation, die eng mit der Fourier-Transformation verwandt ist. Der Integralkern der Hankel-Transformation ist die Bessel-Funktion erster Gattung ${\displaystyle J_{n}}$, das heißt, der Integraloperator lautet:

${\displaystyle H_{n}[f](s)=\int _{0}^{\infty }J_{n}(ts)tf(t)\mathrm {d} t}$.

Eine besondere Eigenschaft d​er Hankel-Transformation ist, d​ass mit i​hr der Bessel-Operator i​n einen algebraischen Ausdruck (eine Multiplikation) überführt werden kann.

Geschichte

Bessel-Funktionen wurden v​on Bessel 1824 ausführlich behandelt,[2] tauchten a​ber auch s​chon vorher b​ei speziellen physikalischen Problemen auf, z​um Beispiel b​ei Daniel Bernoulli (Schwingung schwerer Ketten 1738), Leonhard Euler (Membranschwingung 1764), i​n der Himmelsmechanik b​ei Joseph-Louis Lagrange (1770) u​nd bei Pierre-Simon Laplace, i​n der Wärmeleitung b​ei Joseph Fourier (Wärmeausbreitung i​m Zylinder 1822) u​nd Siméon Denis Poisson (1823).[3][4]

Literatur

• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York 1972, S. 355.
• J. H. Graf, E. Gubler: Einleitung in die Theorie der Bessel’schen Funktionen. Erster Band Zweiter Band. K. J. Wyss, Bern 1900
• Carl Gottfried Neumann: Theorie der Besselschen Funktionen, ein Analogon zur Theorie der Kugelfunktionen. B. G. Teubner, Leipzig 1867.
• Paul Schafheitlin Die Theorie der Besselschen Funktionen. B. G. Teubner, Leipzig 1908.
• G. N. Watson A Treatise on the Theory of Bessel functions, Cambridge University Press 1922, 1944, Archive

Besselfunktionen werden i​n vielen Lehrbüchern d​er Theoretischen Physik behandelt z. B.:

• John David Jackson: Classical Electrodynamics. John Wiley, New York NY 1962 (3. edition. ebenda 1999, ISBN 0-471-30932-X; deutsch: 4. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-11-018970-4).
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen, 6. Auflage, Springer-Lehrbuch, 2006, ISBN 978-3-540-26035-6
• Arnold Sommerfeld Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 6: Partielle Differentialgleichungen der Physik, Harri Deutsch 1992, ISBN 3-87144-379-4.

Einzelnachweise

1. Bessel-Operator. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.
2. Friedrich Wilhelm Bessel: Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht. In: Abhandlungen der Berliner Akademie der Wissenschaften 1824, Math. Classe, S. 1–52, Berlin 1826.
3. Jacques Dutka: On the early history of Bessel functions. In: Archive for History of Exact Sciences. Band 49, 1995, S. 105–134.
4. G. N. Watson: Theory of Bessel Functions. Cambridge University Press, 1944, Kapitel 1 (zur Geschichte).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bessel Differential Equation. In: MathWorld (englisch).
• (Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven: Besselfunktionen ν-ter Ordnung mit reellem Argument – JavaScript)