Quantiltabelle

Eine Quantiltabelle ist eine Tabelle in der Stochastik, welche numerisch berechnete Quantile bestimmter Wahrscheinlichkeitsverteilungen enthält.

Quantilstabellen werden an zahlreichen Stellen in der mathematischen Statistik verwendet. So werden sie beispielsweise für die Bestimmung von Konfidenzintervallen herangezogen. Des Weiteren lassen sich bei normalverteilten Zufallsvariablen mit gegebener Varianz und gegebenem Erwartungswert über die Z-Transformation in Kombination mit der entsprechenden Quantiltabelle direkt Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

Rahmenbedingungen

Ein p-Quantil einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Als p-Quantil einer Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf den reellen Zahlen wird eine reelle Zahl $x_{p}$ bezeichnet, so dass

P((-\infty ,x_{p}])\geq p

und

P([x_{p},+\infty ))\geq 1-p

ist. Hierbei ist $p\in (0,1)$ . Besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine stetige Verteilungsfunktion $F$ , so ist die äquivalent zu

F(x_{p})=p

.

Ist die Verteilungsfunktion streng monoton wachsend. so ist $x_{p}$ eindeutig bestimmt. Das p-Quantil trennt dann die reellen Zahlen in zwei Teile: der Teil kleiner als $x_{p}$ , welcher die Wahrscheinlichkeit $p$ erhält, und der Teil größer als $x_{p}$ , welcher die Wahrscheinlichkeit $1-p$ erhält.

In vielen Anwendungen der Statistik benötigt man häufig die Quantile gewisser Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Zu diesen Verteilungen gehören:

Alle Quantile dieser Verteilungen sind eindeutig. Jedoch existiert für manche Verteilungen keine geschlossene Darstellung der Verteilungsfunktion (Normalverteilung) oder diese geschlossene Darstellung ist sehr komplex beziehungsweise das Lösen der Gleichung

F(x_{p})=p

ist nicht praktikabel. Daher werden die wichtigen Quantile diese Verteilungen mit der notwendigen Genauigkeit numerisch bestimmt und in Tabellen zusammengefasst. So können sie nachgeschlagen werden, ohne jedes Mal erneut numerisch bestimmt zu werden.

Welche Werte die Tabelle genau enthält und wie viele Nachkommastellen sie enthält, hängt von der jeweiligen Verteilung ab und dem Kontext, in dem diese benötigt wird. So wird für die leicht zu normierende Normalverteilung beispielsweise nur die Standardnormalverteilung tabelliert, hierbei dann jedoch mit $x_{p}$ auf zwei Nachkommastellen genau und das entsprechende $p$ auf vier Nachkommastellen. Für die Student-Verteilung werden dagegen nur die Quantile $p=0{,}9;0{,}95;0{,}99;0{,}995$ etc. angegeben, dafür aber mit variabler Anzahl an Freiheitsgraden. Details hierzu und zur Verwendung der einzelnen Tabellen finden sich in den entsprechenden Abschnitten.

Wichtige Quantiltabellen

Nachfolgend sind einige wichtige Quantiltabellen aufgeführt. Die Auswahl der tabellierten Werte folgt dabei[1][2][3]

Normalverteilung

Die Quantiltabelle der Normalverteilung, genauer der Standardnormalverteilung, befindet sich im Artikel Standardnormalverteilungstabelle. Dort ist auch der Umgang mit der Tabelle erklärt sowie einige Beispiele aufgeführt.

Chi-Quadrat-Verteilung

p-Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden
	p=0,005	0,010	0,020	0,025	0,050	0,100	0,250	0,500	0,750	0,900	0,950	0,975	0,980	0,990	0,995
n=1	3,927e-5	1,571e-4	6,285e-4	9,820e-4	3,932e-3	1,579e-2	1,015e-1	4,549e-1	1,323	2,706	3,841	5,024	5,412	6,635	7,879
2	1,003e-2	2,010e-2	4,041e-2	5,064e-2	1,026e-1	2,107e-1	5,754e-1	1,386	2,773	4,605	5,991	7,378	7,824	9,210	10,60
3	7,172e-2	1,1480e-1	1,848e-1	2,158e-1	3,518e-1	5,844e-1	1,213	2,366	4,108	6,251	7,815	9,348	9,837	11,34	12,84
4	2,070e-1	2,971e-1	4,294e-1	4,844e-1	7,107e-1	1,064	1,923	3,357	5,385	7,779	9,488	11,14	11,67	13,28	14,86
5	4,117e-1	5,543e-1	7,519e-1	8,312e-1	1,145	1,6100	2,675	4,351	6,626	9,236	11,07	12,83	13,39	15,09	16,75
6	6,757e-1	8,721e-1	1,134	1,237	1,635	2,204	3,455	5,348	7,841	10,64	12,59	14,45	15,03	16,81	18,55
7	0,9893	1,239	1,564	1,6900	2,167	2,833	4,255	6,346	9,037	12,02	14,07	16,01	16,62	18,48	20,28
8	1,344	1,646	2,032	2,180	2,733	3,490	5,071	7,344	10,22	13,36	15,51	17,53	18,17	20,09	21,95
9	1,735	2,088	2,532	2,700	3,325	4,168	5,899	8,343	11,39	14,68	16,92	19,02	19,68	21,67	23,59
10	2,156	2,558	3,059	3,247	3,940	4,865	6,737	9,342	12,55	15,99	18,31	20,48	21,16	23,21	25,19
11	2,603	3,053	3,609	3,816	4,575	5,578	7,584	10,34	13,70	17,28	19,68	21,92	22,62	24,72	26,76
12	3,074	3,571	4,178	4,404	5,226	6,304	8,438	11,34	14,85	18,55	21,03	23,34	24,05	26,22	28,30
13	3,565	4,107	4,765	5,009	5,892	7,042	9,299	12,34	15,98	19,81	22,36	24,74	25,47	27,69	29,82
14	4,075	4,660	5,368	5,629	6,571	7,790	10,17	13,34	17,12	21,06	23,68	26,12	26,87	29,14	31,32
15	4,601	5,229	5,985	6,262	7,261	8,547	11,04	14,34	18,25	22,31	25,00	27,49	28,26	30,58	32,80
16	5,142	5,812	6,614	6,908	7,962	9,312	11,91	15,34	19,37	23,54	26,30	28,85	29,63	32,00	34,27
17	5,697	6,408	7,255	7,564	8,672	10,09	12,79	16,34	20,49	24,77	27,59	30,19	31,00	33,41	35,72
18	6,265	7,015	7,906	8,231	9,390	10,86	13,68	17,34	21,60	25,99	28,87	31,53	32,35	34,81	37,16
19	6,844	7,633	8,567	8,907	10,12	11,65	14,56	18,34	22,72	27,20	30,14	32,85	33,69	36,19	38,58
20	7,434	8,260	9,237	9,591	10,85	12,44	15,45	19,34	23,83	28,41	31,41	34,17	35,02	37,57	40,00
21	8,034	8,897	9,915	10,28	11,59	13,24	16,34	20,34	24,93	29,62	32,67	35,48	36,34	38,93	41,40
22	8,643	9,542	10,60	10,98	12,34	14,04	17,24	21,34	26,04	30,81	33,92	36,78	37,66	40,29	42,80
23	9,260	10,20	11,29	11,69	13,09	14,85	18,14	22,34	27,14	32,01	35,17	38,08	38,97	41,64	44,18
24	9,886	10,86	11,99	12,40	13,85	15,66	19,04	23,34	28,24	33,20	36,42	39,36	40,27	42,98	45,56
25	10,52	11,52	12,70	13,12	14,61	16,47	19,94	24,34	29,34	34,38	37,65	40,65	41,57	44,31	46,93
26	11,16	12,20	13,41	13,84	15,38	17,29	20,84	25,34	30,43	35,56	38,89	41,92	42,86	45,64	48,29
27	11,81	12,88	14,13	14,57	16,15	18,11	21,75	26,34	31,53	36,74	40,11	43,19	44,14	46,96	49,64
28	12,46	13,56	14,85	15,31	16,93	18,94	22,66	27,34	32,62	37,92	41,34	44,46	45,42	48,28	50,99
29	13,12	14,26	15,57	16,05	17,71	19,77	23,57	28,34	33,71	39,09	42,56	45,72	46,69	49,59	52,34
30	13,79	14,95	16,31	16,79	18,49	20,60	24,48	29,34	34,80	40,26	43,77	46,98	47,96	50,89	53,67
35	17,19	18,51	20,03	20,57	22,47	24,80	29,05	34,34	40,22	46,06	49,80	53,20	54,24	57,34	60,27
40	20,71	22,16	23,84	24,43	26,51	29,05	33,66	39,34	45,62	51,81	55,76	59,34	60,44	63,69	66,77
45	24,31	25,90	27,72	28,37	30,61	33,35	38,29	44,34	50,98	57,51	61,66	65,41	66,56	69,96	73,17
50	27,99	29,71	31,66	32,36	34,76	37,69	42,94	49,33	56,33	63,17	67,50	71,42	72,61	76,15	79,49
55	31,73	33,57	35,66	36,40	38,96	42,06	47,61	54,33	61,66	68,80	73,31	77,38	78,62	82,29	85,75
60	35,53	37,48	39,70	40,48	43,19	46,46	52,29	59,33	66,98	74,40	79,08	83,30	84,58	88,38	91,95
70	43,28	45,44	47,89	48,76	51,74	55,33	61,70	69,33	77,58	85,53	90,53	95,02	96,39	100,4	104,2
80	51,17	53,54	56,21	57,15	60,39	64,28	71,14	79,33	88,13	96,58	101,9	106,6	108,1	112,3	116,3
90	59,20	61,75	64,63	65,65	69,13	73,29	80,62	89,33	98,65	107,6	113,1	118,1	119,6	124,1	128,3
100	67,33	70,06	73,14	74,22	77,93	82,36	90,13	99,33	109,1	118,5	124,3	129,6	131,1	135,8	140,2
150	109,1	112,7	116,6	118,0	122,7	128,3	138,0	149,3	161,3	172,6	179,6	185,8	187,7	193,2	198,4
200	152,2	156,4	161,1	162,7	168,3	174,8	186,2	199,3	213,1	226,0	234,0	241,1	243,2	249,4	255,3
250	196,2	200,9	206,2	208,1	214,4	221,8	234,6	249,3	264,7	279,1	287,9	295,7	298,0	304,9	311,3
300	240,7	246,0	251,9	253,9	260,9	269,1	283,1	299,3	316,1	331,8	341,4	349,9	352,4	359,9	366,8
400	330,9	337,2	344,1	346,5	354,6	364,2	380,6	399,3	418,7	436,6	447,6	457,3	460,2	468,7	476,6
600	514,5	522,4	531,0	534,0	544,2	556,1	576,3	599,3	623,0	644,8	658,1	669,8	673,3	683,5	693,0
800	700,7	709,9	720,0	723,5	735,4	749,2	772,7	799,3	826,6	851,7	866,9	880,3	884,3	896,0	906,8
1000	888,6	898,9	910,3	914,3	927,6	943,1	969,5	999,3	1029	1057	1074	1089	1094,	1107,	1118

Studentsche t-Verteilung

p-Quantile der Studentschen t-Verteilung mit n Freiheitsgraden
	p=0,9	0,95	0,96	0,975	0,98	0,99	0,995	0,999	0,9995
n=1	3,078	6,314	7,916	12,71	15,89	31,82	63,66	318,3	636,6
2	1,886	2,920	3,320	4,303	4,849	6,965	9,925	22,33	31,60
3	1,638	2,353	2,605	3,182	3,482	4,541	5,841	10,21	12,92
4	1,533	2,132	2,333	2,776	2,999	3,747	4,604	7,173	8,610
5	1,476	2,015	2,191	2,571	2,757	3,365	4,032	5,893	6,869
6	1,440	1,943	2,104	2,447	2,612	3,143	3,707	5,208	5,959
7	1,415	1,895	2,046	2,365	2,517	2,998	3,499	4,785	5,408
8	1,397	1,860	2,004	2,306	2,449	2,896	3,355	4,501	5,041
9	1,383	1,833	1,973	2,262	2,398	2,821	3,250	4,297	4,781
10	1,372	1,812	1,948	2,228	2,359	2,764	3,169	4,144	4,587
11	1,363	1,796	1,928	2,201	2,328	2,718	3,106	4,025	4,437
12	1,356	1,782	1,912	2,179	2,303	2,681	3,055	3,930	4,318
13	1,350	1,771	1,899	2,160	2,282	2,650	3,012	3,852	4,221
14	1,345	1,761	1,887	2,145	2,264	2,624	2,977	3,787	4,140
15	1,341	1,753	1,878	2,131	2,249	2,602	2,947	3,733	4,073
16	1,337	1,746	1,869	2,120	2,235	2,583	2,921	3,686	4,015
17	1,333	1,740	1,862	2,110	2,224	2,567	2,898	3,646	3,965
18	1,330	1,734	1,855	2,101	2,214	2,552	2,878	3,610	3,922
19	1,328	1,729	1,850	2,093	2,205	2,539	2,861	3,579	3,883
20	1,325	1,725	1,844	2,086	2,197	2,528	2,845	3,552	3,850
21	1,323	1,721	1,840	2,080	2,189	2,518	2,831	3,527	3,819
22	1,321	1,717	1,835	2,074	2,183	2,508	2,819	3,505	3,792
23	1,319	1,714	1,832	2,069	2,177	2,500	2,807	3,485	3,768
24	1,318	1,711	1,828	2,064	2,172	2,492	2,797	3,467	3,745
25	1,316	1,708	1,825	2,060	2,167	2,485	2,787	3,450	3,725
26	1,315	1,706	1,822	2,056	2,162	2,479	2,779	3,435	3,707
27	1,314	1,703	1,819	2,052	2,158	2,473	2,771	3,421	3,690
28	1,313	1,701	1,817	2,048	2,154	2,467	2,763	3,408	3,674
29	1,311	1,699	1,814	2,045	2,150	2,462	2,756	3,396	3,659
30	1,310	1,697	1,812	2,042	2,147	2,457	2,750	3,385	3,646
35	1,306	1,690	1,803	2,030	2,133	2,438	2,724	3,340	3,591
40	1,303	1,684	1,796	2,021	2,123	2,423	2,704	3,307	3,551
45	1,301	1,679	1,791	2,014	2,115	2,412	2,690	3,281	3,520
50	1,299	1,676	1,787	2,009	2,109	2,403	2,678	3,261	3,496
60	1,296	1,671	1,781	2,000	2,099	2,390	2,660	3,232	3,460
70	1,294	1,667	1,776	1,994	2,093	2,381	2,648	3,211	3,435
80	1,292	1,664	1,773	1,990	2,088	2,374	2,639	3,195	3,416
90	1,291	1,662	1,771	1,987	2,084	2,368	2,632	3,183	3,402
100	1,290	1,660	1,769	1,984	2,081	2,364	2,626	3,174	3,390
150	1,287	1,655	1,763	1,976	2,072	2,351	2,609	3,145	3,357
200	1,286	1,653	1,760	1,972	2,067	2,345	2,601	3,131	3,340
250	1,285	1,651	1,758	1,969	2,065	2,341	2,596	3,123	3,330
300	1,284	1,650	1,757	1,968	2,063	2,339	2,592	3,118	3,323
400	1,284	1,649	1,755	1,966	2,060	2,336	2,588	3,111	3,315
500	1,283	1,648	1,754	1,965	2,059	2,334	2,586	3,107	3,310
600	1,283	1,647	1,754	1,964	2,058	2,333	2,584	3,104	3,307
800	1,283	1,647	1,753	1,963	2,057	2,331	2,582	3,100	3,303
1000	1,282	1,646	1,752	1,962	2,056	2,330	2,581	3,098	3,300
100000	1,282	1,645	1,751	1,960	2,054	2,326	2,576	3,090	3,291

Fisher-Verteilung

0.95-Quantile der Fisher-Verteilung mit n Freiheitsgraden im Nenner und m Freiheitsgraden im Zähler
	m=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	14	16	18	20	22	24	30	40	50	60	100	100000
n=1	161,4	199,5	215,7	224,6	230,2	234,0	236,8	238,9	240,5	241,9	243,0	243,9	244,7	245,4	245,9	246,5	246,9	247,3	247,7	248,0	248,3	248,6	248,8	249,1
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,35	19,37	19,38	19,40	19,40	19,41	19,42	19,42	19,43	19,43	19,44	19,44	19,44	19,45	19,45	19,45	19,45	19,45
3	10,13	9,552	9,277	9,117	9,013	8,941	8,887	8,845	8,812	8,786	8,763	8,745	8,729	8,715	8,703	8,692	8,683	8,675	8,667	8,660	8,654	8,648	8,643	8,639
4	7,709	6,944	6,591	6,388	6,256	6,163	6,094	6,041	5,999	5,964	5,936	5,912	5,891	5,873	5,858	5,844	5,832	5,821	5,811	5,803	5,795	5,787	5,781	5,774
5	6,608	5,786	5,409	5,192	5,050	4,950	4,876	4,818	4,772	4,735	4,704	4,678	4,655	4,636	4,619	4,604	4,590	4,579	4,568	4,558	4,549	4,541	4,534	4,527
6	5,987	5,143	4,757	4,534	4,387	4,284	4,207	4,147	4,099	4,060	4,027	4,000	3,976	3,956	3,938	3,922	3,908	3,896	3,884	3,874	3,865	3,856	3,849	3,841
7	5,591	4,737	4,347	4,120	3,972	3,866	3,787	3,726	3,677	3,637	3,603	3,575	3,550	3,529	3,511	3,494	3,480	3,467	3,455	3,445	3,435	3,426	3,418	3,410
8	5,318	4,459	4,066	3,838	3,687	3,581	3,500	3,438	3,388	3,347	3,313	3,284	3,259	3,237	3,218	3,202	3,187	3,173	3,161	3,150	3,140	3,131	3,123	3,115
9	5,117	4,256	3,863	3,633	3,482	3,374	3,293	3,230	3,179	3,137	3,102	3,073	3,048	3,025	3,006	2,989	2,974	2,960	2,948	2,936	2,926	2,917	2,908	2,900
10	4,965	4,103	3,708	3,478	3,326	3,217	3,135	3,072	3,020	2,978	2,943	2,913	2,887	2,865	2,845	2,828	2,812	2,798	2,785	2,774	2,764	2,754	2,745	2,737
11	4,844	3,982	3,587	3,357	3,204	3,095	3,012	2,948	2,896	2,854	2,818	2,788	2,761	2,739	2,719	2,701	2,685	2,671	2,658	2,646	2,636	2,626	2,617	2,609
12	4,747	3,885	3,490	3,259	3,106	2,996	2,913	2,849	2,796	2,753	2,717	2,687	2,660	2,637	2,617	2,599	2,583	2,568	2,555	2,544	2,533	2,523	2,514	2,505
13	4,667	3,806	3,411	3,179	3,025	2,915	2,832	2,767	2,714	2,671	2,635	2,604	2,577	2,554	2,533	2,515	2,499	2,484	2,471	2,459	2,448	2,438	2,429	2,420
14	4,600	3,739	3,344	3,112	2,958	2,848	2,764	2,699	2,646	2,602	2,565	2,534	2,507	2,484	2,463	2,445	2,428	2,413	2,400	2,388	2,377	2,367	2,357	2,349
15	4,543	3,682	3,287	3,056	2,901	2,790	2,707	2,641	2,588	2,544	2,507	2,475	2,448	2,424	2,403	2,385	2,368	2,353	2,340	2,328	2,316	2,306	2,297	2,288
16	4,494	3,634	3,239	3,007	2,852	2,741	2,657	2,591	2,538	2,494	2,456	2,425	2,397	2,373	2,352	2,333	2,317	2,302	2,288	2,276	2,264	2,254	2,244	2,235
17	4,451	3,592	3,197	2,965	2,810	2,699	2,614	2,548	2,494	2,450	2,413	2,381	2,353	2,329	2,308	2,289	2,272	2,257	2,243	2,230	2,219	2,208	2,199	2,190
18	4,414	3,555	3,160	2,928	2,773	2,661	2,577	2,510	2,456	2,412	2,374	2,342	2,314	2,290	2,269	2,250	2,233	2,217	2,203	2,191	2,179	2,168	2,159	2,150
19	4,381	3,522	3,127	2,895	2,740	2,628	2,544	2,477	2,423	2,378	2,340	2,308	2,280	2,256	2,234	2,215	2,198	2,182	2,168	2,155	2,144	2,133	2,123	2,114
20	4,351	3,493	3,098	2,866	2,711	2,599	2,514	2,447	2,393	2,348	2,310	2,278	2,250	2,225	2,203	2,184	2,167	2,151	2,137	2,124	2,112	2,102	2,092	2,082
21	4,325	3,467	3,072	2,840	2,685	2,573	2,488	2,420	2,366	2,321	2,283	2,250	2,222	2,197	2,176	2,156	2,139	2,123	2,109	2,096	2,084	2,073	2,063	2,054
22	4,301	3,443	3,049	2,817	2,661	2,549	2,464	2,397	2,342	2,297	2,259	2,226	2,198	2,173	2,151	2,131	2,114	2,098	2,084	2,071	2,059	2,048	2,038	2,028
23	4,279	3,422	3,028	2,796	2,640	2,528	2,442	2,375	2,320	2,275	2,236	2,204	2,175	2,150	2,128	2,109	2,091	2,075	2,061	2,048	2,036	2,025	2,014	2,005
24	4,260	3,403	3,009	2,776	2,621	2,508	2,423	2,355	2,300	2,255	2,216	2,183	2,155	2,130	2,108	2,088	2,070	2,054	2,040	2,027	2,015	2,003	1,993	1,984
25	4,242	3,385	2,991	2,759	2,603	2,490	2,405	2,337	2,282	2,236	2,198	2,165	2,136	2,111	2,089	2,069	2,051	2,035	2,021	2,007	1,995	1,984	1,974	1,964
26	4,225	3,369	2,975	2,743	2,587	2,474	2,388	2,321	2,265	2,220	2,181	2,148	2,119	2,094	2,072	2,052	2,034	2,018	2,003	1,990	1,978	1,966	1,956	1,946
27	4,210	3,354	2,960	2,728	2,572	2,459	2,373	2,305	2,250	2,204	2,166	2,132	2,103	2,078	2,056	2,036	2,018	2,002	1,987	1,974	1,961	1,950	1,940	1,930
28	4,196	3,340	2,947	2,714	2,558	2,445	2,359	2,291	2,236	2,190	2,151	2,118	2,089	2,064	2,041	2,021	2,003	1,987	1,972	1,959	1,946	1,935	1,924	1,915
29	4,183	3,328	2,934	2,701	2,545	2,432	2,346	2,278	2,223	2,177	2,138	2,104	2,075	2,050	2,027	2,007	1,989	1,973	1,958	1,945	1,932	1,921	1,910	1,901
30	4,171	3,316	2,922	2,690	2,534	2,421	2,334	2,266	2,211	2,165	2,126	2,092	2,063	2,037	2,015	1,995	1,976	1,960	1,945	1,932	1,919	1,908	1,897	1,887
31	4,160	3,305	2,911	2,679	2,523	2,409	2,323	2,255	2,199	2,153	2,114	2,080	2,051	2,026	2,003	1,983	1,965	1,948	1,933	1,920	1,907	1,896	1,885	1,875
32	4,149	3,295	2,901	2,668	2,512	2,399	2,313	2,244	2,189	2,142	2,103	2,070	2,040	2,015	1,992	1,972	1,953	1,937	1,922	1,908	1,896	1,884	1,873	1,864
33	4,139	3,285	2,892	2,659	2,503	2,389	2,303	2,235	2,179	2,133	2,093	2,060	2,030	2,004	1,982	1,961	1,943	1,926	1,911	1,898	1,885	1,873	1,863	1,853
34	4,130	3,276	2,883	2,650	2,494	2,380	2,294	2,225	2,170	2,123	2,084	2,050	2,021	1,995	1,972	1,952	1,933	1,917	1,902	1,888	1,875	1,863	1,853	1,843
35	4,121	3,267	2,874	2,641	2,485	2,372	2,285	2,217	2,161	2,114	2,075	2,041	2,012	1,986	1,963	1,942	1,924	1,907	1,892	1,878	1,866	1,854	1,843	1,833
40	4,113	3,259	2,866	2,634	2,477	2,364	2,277	2,209	2,153	2,106	2,067	2,033	2,003	1,977	1,954	1,934	1,915	1,899	1,883	1,870	1,857	1,845	1,834	1,824
45	4,105	3,252	2,859	2,626	2,470	2,356	2,270	2,201	2,145	2,098	2,059	2,025	1,995	1,969	1,946	1,926	1,907	1,890	1,875	1,861	1,848	1,837	1,826	1,816
50	4,098	3,245	2,852	2,619	2,463	2,349	2,262	2,194	2,138	2,091	2,051	2,017	1,988	1,962	1,939	1,918	1,899	1,883	1,867	1,853	1,841	1,829	1,818	1,808
55	4,091	3,238	2,845	2,612	2,456	2,342	2,255	2,187	2,131	2,084	2,044	2,010	1,981	1,954	1,931	1,911	1,892	1,875	1,860	1,846	1,833	1,821	1,810	1,800
60	4,085	3,232	2,839	2,606	2,449	2,336	2,249	2,180	2,124	2,077	2,038	2,003	1,974	1,948	1,924	1,904	1,885	1,868	1,853	1,839	1,826	1,814	1,803	1,793
70	4,079	3,226	2,833	2,600	2,443	2,330	2,243	2,174	2,118	2,071	2,031	1,997	1,967	1,941	1,918	1,897	1,879	1,862	1,846	1,832	1,819	1,807	1,796	1,786
80	4,073	3,220	2,827	2,594	2,438	2,324	2,237	2,168	2,112	2,065	2,025	1,991	1,961	1,935	1,912	1,891	1,872	1,855	1,840	1,826	1,813	1,801	1,790	1,780
90	4,067	3,214	2,822	2,589	2,432	2,318	2,232	2,163	2,106	2,059	2,020	1,985	1,955	1,929	1,906	1,885	1,866	1,849	1,834	1,820	1,807	1,795	1,784	1,773
100	4,062	3,209	2,816	2,584	2,427	2,313	2,226	2,157	2,101	2,054	2,014	1,980	1,950	1,924	1,900	1,879	1,861	1,844	1,828	1,814	1,801	1,789	1,778	1,767
120	4,057	3,204	2,812	2,579	2,422	2,308	2,221	2,152	2,096	2,049	2,009	1,974	1,945	1,918	1,895	1,874	1,855	1,838	1,823	1,808	1,795	1,783	1,772	1,762
150	4,052	3,200	2,807	2,574	2,417	2,304	2,216	2,147	2,091	2,044	2,004	1,969	1,940	1,913	1,890	1,869	1,850	1,833	1,817	1,803	1,790	1,778	1,767	1,756
200	4,047	3,195	2,802	2,570	2,413	2,299	2,212	2,143	2,086	2,039	1,999	1,965	1,935	1,908	1,885	1,864	1,845	1,828	1,812	1,798	1,785	1,773	1,762	1,751
300	4,043	3,191	2,798	2,565	2,409	2,295	2,207	2,138	2,082	2,035	1,995	1,960	1,930	1,904	1,880	1,859	1,840	1,823	1,807	1,793	1,780	1,768	1,757	1,746
400	4,038	3,187	2,794	2,561	2,404	2,290	2,203	2,134	2,077	2,030	1,990	1,956	1,926	1,899	1,876	1,855	1,836	1,819	1,803	1,789	1,775	1,763	1,752	1,742
500	4,034	3,183	2,790	2,557	2,400	2,286	2,199	2,130	2,073	2,026	1,986	1,952	1,921	1,895	1,871	1,850	1,831	1,814	1,798	1,784	1,771	1,759	1,748	1,737
100000	4,030	3,179	2,786	2,553	2,397	2,283	2,195	2,126	2,069	2,022	1,982	1,947	1,917	1,891	1,867	1,846	1,827	1,810	1,794	1,780	1,767	1,754	1,743	1,733

0.99-Quantile der Fisher-Verteilung mit n Freiheitsgraden im Nenner und m Freiheitsgraden im Zähler
	m=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	14	16	18	20	22	24	30	40	50	60	100	100000
n=1	4052,	4999	5403	5624	5763	5859	5928	5981	6022	6055	6083	6106	6125	6142	6157	6170	6181	6191	6200	6208	6216	6222	6229	6234
2	98,50	99,00	99,17	99,25	99,30	99,33	99,36	99,37	99,39	99,40	99,41	99,42	99,42	99,43	99,43	99,44	99,44	99,44	99,45	99,45	99,45	99,45	99,46	99,46
3	34,12	30,82	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,35	27,23	27,13	27,05	26,98	26,92	26,87	26,83	26,79	26,75	26,72	26,69	26,66	26,64	26,62	26,60
4	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,55	14,45	14,37	14,31	14,25	14,20	14,15	14,11	14,08	14,05	14,02	13,99	13,97	13,95	13,93
5	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,46	10,29	10,16	10,05	9,963	9,888	9,825	9,770	9,722	9,680	9,643	9,610	9,580	9,553	9,528	9,506	9,485	9,466
6	13,75	10,92	9,780	9,148	8,746	8,466	8,260	8,102	7,976	7,874	7,790	7,718	7,657	7,605	7,559	7,519	7,483	7,451	7,422	7,396	7,372	7,351	7,331	7,313
7	12,25	9,547	8,451	7,847	7,460	7,191	6,993	6,840	6,719	6,620	6,538	6,469	6,410	6,359	6,314	6,275	6,240	6,209	6,181	6,155	6,132	6,111	6,092	6,074
8	11,26	8,649	7,591	7,006	6,632	6,371	6,178	6,029	5,911	5,814	5,734	5,667	5,609	5,559	5,515	5,477	5,442	5,412	5,384	5,359	5,336	5,316	5,297	5,279
9	10,56	8,022	6,992	6,422	6,057	5,802	5,613	5,467	5,351	5,257	5,178	5,111	5,055	5,005	4,962	4,924	4,890	4,860	4,833	4,808	4,786	4,765	4,746	4,729
10	10,04	7,559	6,552	5,994	5,636	5,386	5,200	5,057	4,942	4,849	4,772	4,706	4,650	4,601	4,558	4,520	4,487	4,457	4,430	4,405	4,383	4,363	4,344	4,327
11	9,646	7,206	6,217	5,668	5,316	5,069	4,886	4,744	4,632	4,539	4,462	4,397	4,342	4,293	4,251	4,213	4,180	4,150	4,123	4,099	4,077	4,057	4,038	4,021
12	9,330	6,927	5,953	5,412	5,064	4,821	4,640	4,499	4,388	4,296	4,220	4,155	4,100	4,052	4,010	3,972	3,939	3,909	3,883	3,858	3,836	3,816	3,798	3,780
13	9,074	6,701	5,739	5,205	4,862	4,620	4,441	4,302	4,191	4,100	4,025	3,960	3,905	3,857	3,815	3,778	3,745	3,716	3,689	3,665	3,643	3,622	3,604	3,587
14	8,862	6,515	5,564	5,035	4,695	4,456	4,278	4,140	4,030	3,939	3,864	3,800	3,745	3,698	3,656	3,619	3,586	3,556	3,529	3,505	3,483	3,463	3,444	3,427
15	8,683	6,359	5,417	4,893	4,556	4,318	4,142	4,004	3,895	3,805	3,730	3,666	3,612	3,564	3,522	3,485	3,452	3,423	3,396	3,372	3,350	3,330	3,311	3,294
16	8,531	6,226	5,292	4,773	4,437	4,202	4,026	3,890	3,780	3,691	3,616	3,553	3,498	3,451	3,409	3,372	3,339	3,310	3,283	3,259	3,237	3,216	3,198	3,181
17	8,400	6,112	5,185	4,669	4,336	4,102	3,927	3,791	3,682	3,593	3,519	3,455	3,401	3,353	3,312	3,275	3,242	3,212	3,186	3,162	3,139	3,119	3,101	3,084
18	8,285	6,013	5,092	4,579	4,248	4,015	3,841	3,705	3,597	3,508	3,434	3,371	3,316	3,269	3,227	3,190	3,158	3,128	3,101	3,077	3,055	3,035	3,016	2,999
19	8,185	5,926	5,010	4,500	4,171	3,939	3,765	3,631	3,523	3,434	3,360	3,297	3,242	3,195	3,153	3,116	3,084	3,054	3,027	3,003	2,981	2,961	2,942	2,925
20	8,096	5,849	4,938	4,431	4,103	3,871	3,699	3,564	3,457	3,368	3,294	3,231	3,177	3,130	3,088	3,051	3,018	2,989	2,962	2,938	2,916	2,895	2,877	2,859
21	8,017	5,780	4,874	4,369	4,042	3,812	3,640	3,506	3,398	3,310	3,236	3,173	3,119	3,072	3,030	2,993	2,960	2,931	2,904	2,880	2,857	2,837	2,818	2,801
22	7,945	5,719	4,817	4,313	3,988	3,758	3,587	3,453	3,346	3,258	3,184	3,121	3,067	3,019	2,978	2,941	2,908	2,879	2,852	2,827	2,805	2,785	2,766	2,749
23	7,881	5,664	4,765	4,264	3,939	3,710	3,539	3,406	3,299	3,211	3,137	3,074	3,020	2,973	2,931	2,894	2,861	2,832	2,805	2,781	2,758	2,738	2,719	2,702
24	7,823	5,614	4,718	4,218	3,895	3,667	3,496	3,363	3,256	3,168	3,094	3,032	2,977	2,930	2,889	2,852	2,819	2,789	2,762	2,738	2,716	2,695	2,676	2,659
25	7,770	5,568	4,675	4,177	3,855	3,627	3,457	3,324	3,217	3,129	3,056	2,993	2,939	2,892	2,850	2,813	2,780	2,751	2,724	2,699	2,677	2,657	2,638	2,620
26	7,721	5,526	4,637	4,140	3,818	3,591	3,421	3,288	3,182	3,094	3,021	2,958	2,904	2,857	2,815	2,778	2,745	2,715	2,688	2,664	2,642	2,621	2,602	2,585
27	7,677	5,488	4,601	4,106	3,785	3,558	3,388	3,256	3,149	3,062	2,988	2,926	2,871	2,824	2,783	2,746	2,713	2,683	2,656	2,632	2,609	2,589	2,570	2,552
28	7,636	5,453	4,568	4,074	3,754	3,528	3,358	3,226	3,120	3,032	2,959	2,896	2,842	2,795	2,753	2,716	2,683	2,653	2,626	2,602	2,579	2,559	2,540	2,522
29	7,598	5,420	4,538	4,045	3,725	3,499	3,330	3,198	3,092	3,005	2,931	2,868	2,814	2,767	2,726	2,689	2,656	2,626	2,599	2,574	2,552	2,531	2,512	2,495
30	7,562	5,390	4,510	4,018	3,699	3,473	3,304	3,173	3,067	2,979	2,906	2,843	2,789	2,742	2,700	2,663	2,630	2,600	2,573	2,549	2,526	2,506	2,487	2,469
31	7,530	5,362	4,484	3,993	3,675	3,449	3,281	3,149	3,043	2,955	2,882	2,820	2,765	2,718	2,677	2,640	2,606	2,577	2,550	2,525	2,502	2,482	2,463	2,445
32	7,499	5,336	4,459	3,969	3,652	3,427	3,258	3,127	3,021	2,934	2,860	2,798	2,744	2,696	2,655	2,618	2,584	2,555	2,527	2,503	2,480	2,460	2,441	2,423
33	7,471	5,312	4,437	3,948	3,630	3,406	3,238	3,106	3,000	2,913	2,840	2,777	2,723	2,676	2,634	2,597	2,564	2,534	2,507	2,482	2,460	2,439	2,420	2,402
34	7,444	5,289	4,416	3,927	3,611	3,386	3,218	3,087	2,981	2,894	2,821	2,758	2,704	2,657	2,615	2,578	2,545	2,515	2,488	2,463	2,440	2,420	2,400	2,383
35	7,419	5,268	4,396	3,908	3,592	3,368	3,200	3,069	2,963	2,876	2,803	2,740	2,686	2,639	2,597	2,560	2,527	2,497	2,470	2,445	2,422	2,401	2,382	2,364
40	7,396	5,248	4,377	3,890	3,574	3,351	3,183	3,052	2,946	2,859	2,786	2,723	2,669	2,622	2,580	2,543	2,510	2,480	2,453	2,428	2,405	2,384	2,365	2,347
45	7,373	5,229	4,360	3,873	3,558	3,334	3,167	3,036	2,930	2,843	2,770	2,707	2,653	2,606	2,564	2,527	2,494	2,464	2,437	2,412	2,389	2,368	2,349	2,331
50	7,353	5,211	4,343	3,858	3,542	3,319	3,152	3,021	2,915	2,828	2,755	2,692	2,638	2,591	2,549	2,512	2,479	2,449	2,421	2,397	2,374	2,353	2,334	2,316
55	7,333	5,194	4,327	3,843	3,528	3,305	3,137	3,006	2,901	2,814	2,741	2,678	2,624	2,577	2,535	2,498	2,465	2,434	2,407	2,382	2,360	2,339	2,319	2,302
60	7,314	5,179	4,313	3,828	3,514	3,291	3,124	2,993	2,888	2,801	2,727	2,665	2,611	2,563	2,522	2,484	2,451	2,421	2,394	2,369	2,346	2,325	2,306	2,288
70	7,296	5,163	4,299	3,815	3,501	3,278	3,111	2,980	2,875	2,788	2,715	2,652	2,598	2,551	2,509	2,472	2,438	2,408	2,381	2,356	2,333	2,312	2,293	2,275
80	7,280	5,149	4,285	3,802	3,488	3,266	3,099	2,968	2,863	2,776	2,703	2,640	2,586	2,539	2,497	2,460	2,426	2,396	2,369	2,344	2,321	2,300	2,281	2,263
90	7,264	5,136	4,273	3,790	3,476	3,254	3,087	2,957	2,851	2,764	2,691	2,629	2,575	2,527	2,485	2,448	2,415	2,385	2,357	2,332	2,310	2,289	2,269	2,251
100	7,248	5,123	4,261	3,778	3,465	3,243	3,076	2,946	2,840	2,754	2,680	2,618	2,564	2,516	2,475	2,437	2,404	2,374	2,346	2,321	2,299	2,278	2,258	2,240
120	7,234	5,110	4,249	3,767	3,454	3,232	3,066	2,935	2,830	2,743	2,670	2,608	2,553	2,506	2,464	2,427	2,393	2,363	2,336	2,311	2,288	2,267	2,248	2,230
150	7,220	5,099	4,238	3,757	3,444	3,222	3,056	2,925	2,820	2,733	2,660	2,598	2,544	2,496	2,454	2,417	2,384	2,353	2,326	2,301	2,278	2,257	2,238	2,220
200	7,207	5,087	4,228	3,747	3,434	3,213	3,046	2,916	2,811	2,724	2,651	2,588	2,534	2,487	2,445	2,408	2,374	2,344	2,316	2,291	2,268	2,247	2,228	2,210
300	7,194	5,077	4,218	3,737	3,425	3,204	3,037	2,907	2,802	2,715	2,642	2,579	2,525	2,478	2,436	2,399	2,365	2,335	2,307	2,282	2,259	2,238	2,219	2,201
400	7,182	5,066	4,208	3,728	3,416	3,195	3,028	2,898	2,793	2,706	2,633	2,571	2,517	2,469	2,427	2,390	2,356	2,326	2,299	2,274	2,251	2,229	2,210	2,192
500	7,171	5,057	4,199	3,720	3,408	3,186	3,020	2,890	2,785	2,698	2,625	2,562	2,508	2,461	2,419	2,382	2,348	2,318	2,290	2,265	2,242	2,221	2,202	2,183
100000	7,159	5,047	4,191	3,711	3,400	3,178	3,012	2,882	2,777	2,690	2,617	2,555	2,500	2,453	2,411	2,374	2,340	2,310	2,282	2,257	2,234	2,213	2,194	2,175

Einzelnachweise

Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 383–388, doi:10.1515/9783110215274.
Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, S. 246–250, doi:10.1007/978-3-663-09885-0.
David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 577–579, doi:10.1007/b137972.

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[1] Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 383–388, doi:10.1515/9783110215274.

[2] Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, S. 246–250, doi:10.1007/978-3-663-09885-0.

[3] David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 577–579, doi:10.1007/b137972.