Irwin-Hall-Verteilung

Die Irwin-Hall-Verteilung, nach Joseph Oscar Irwin[1] und Philip Hall[2] benannt, ist die Verteilung der Summe von voneinander unabhängigen, im Intervall gleichverteilten Zufallsvariablen.

Die Dichtefunktion der Irwin-Hall-Verteilung für Summanden ist

.

Tabelle der Verteilungsdichten

Diese Tabelle zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen bei Summierung von einer bis sechs unabhängigen Zufallsvariablen, die gleichverteilt im Intervall [0, 1] sind. Sie haben den Namen Irwin-Hall-Verteilung.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung. Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz.

VerteilungsdichteBild
   
   
   
   
   
   

Herleitung

Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist

Es sei

die Verteilungsdichte der Summe von standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also die Verteilungsdichte der Summe von standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall .

Im Folgenden bezeichne eine Zufallsvariable, die gemäß verteilt ist. Gemäß der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich Folgendes: Für ist

Das heißt, der -te Zweig der Verteilungsdichte ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von .

Einzelnachweise

  1. Oscar Irwin: On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II. In: Biometrika. 19, Nr. 3/4, 1927, S. 225–239. JSTOR 2331960. doi:10.1093/biomet/19.3-4.225.
  2. Philip Hall: The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable. In: Biometrika. 19, Nr. 3/4, 1927, S. 240–245. JSTOR 2331961. doi:10.1093/biomet/19.3-4.240.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. The authors of the article are listed here. Additional terms may apply for the media files, click on images to show image meta data.