Formel von Wald

Die Formel v​on Wald o​der Waldsche Identität i​st in d​er Stochastik e​ine Gleichung, m​it deren Hilfe d​er Erwartungswert v​on Summen v​on Zufallsvariablen m​it einer zufälligen Anzahl v​on Summanden berechnet werden kann. Sie w​urde 1944 i​n einer Arbeit d​es Mathematikers Abraham Wald bewiesen.[1]

Formulierung

Es sei ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$ eine Folge unabhängiger, identisch verteilter, integrierbarer Zufallsvariablen und ${\displaystyle T}$ eine ${\displaystyle \mathbb {N} }$-wertige Zufallsvariable mit ${\displaystyle \operatorname {E} (T)<\infty }$, die von der Folge ${\displaystyle (X_{n})}$ unabhängig ist. Dann gilt[2]

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{k=1}^{T}X_{k}\right)=\operatorname {E} (T)\operatorname {E} (X_{1})}$.

Beweis

Weil ${\displaystyle T}$ unabhängig von der Folge ${\displaystyle (X_{n})}$ ist, folgt durch Bedingen auf den Wert von ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{k=1}^{T}X_{k}\;{\Big |}\;T=n\right)=\operatorname {E} \left(\sum _{k=1}^{n}X_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {E} (X_{k})=n\operatorname {E} (X_{1})}$,

also

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{k=1}^{T}X_{k}\;{\Big |}\;T\right)=T\operatorname {E} (X_{1})}$.

Durch Anwenden d​es Erwartungswerts a​uf diese Gleichung erhält m​an schließlich

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{k=1}^{T}X_{k}\right)=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} \left(\sum _{k=1}^{T}X_{k}\;{\Big |}\;T\right)\right)=\operatorname {E} (T\operatorname {E} (X_{1}))=\operatorname {E} (T)\operatorname {E} (X_{1})}$.

Sind die ${\displaystyle X_{i}}$ alle ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ wertig, so kann der Beweis auch elementar über wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen mittels der Kettenregel erfolgen.

Verallgemeinerung auf Stoppzeiten

Es sei nun ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$ eine Folge identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen, die an eine Filtrierung ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n}}$ adaptiert ist, das heißt für alle ${\displaystyle n}$ ist ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$-messbar. Wenn ${\displaystyle X_{n+1}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ unabhängig ist für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle T}$ eine integrierbare Stoppzeit bezüglich ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n}}$ ist, so gilt ebenfalls die Formel von Wald:[3]

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum _{k=1}^{T}X_{k}\right)=\operatorname {E} (T)\operatorname {E} (X_{1})}$.

Verwandte Konzepte

Ähnliche Aussagen über d​ie Varianz v​on zusammengesetzten Verteilungen lassen s​ich mit d​er Blackwell-Girshick-Gleichung treffen.

Einzelnachweise

1. Abraham Wald: On Cumulative Sums of Random Variables. In: The Annals of Mathematical Statistics Nr. 15, Bd. 3, S. 283–296, doi:10.1214/aoms/1177731235.
2. David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 287.
3. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, Kapitel 17.