Fast sicher

Fast sicher i​st ein Begriff d​er Wahrscheinlichkeitstheorie u​nd Spezialfall d​es Begriffs fast überall a​us der Maßtheorie. Ein zufälliges Ereignis, d​as mit Wahrscheinlichkeit e​ins eintritt, w​ird fast sicher genannt. Entsprechend heißt e​in Ereignis fast unmöglich, w​enn die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens n​ull ist. Diese Begriffe spielen beispielsweise b​ei der fast sicheren Konvergenz v​on Zufallsvariablen e​ine wichtige Rolle, w​ie sie i​n der Situation d​es Gesetzes d​er großen Zahlen auftritt.

Definition

In einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ heißt ein Ereignis ${\displaystyle E\in \Sigma }$ fast sicher, wenn

${\displaystyle P(E)\;=\;1}$

gilt. Es heißt fast unmöglich, w​enn gilt:

${\displaystyle P(E)\;=\;0}$.

Nicht jedes fast sichere Ereignis muss notwendig eintreten, sondern es tritt auf einer Menge vom Maß eins auf. Das sichere Ereignis ${\displaystyle E=\Omega }$, ist auch fast sicher, da es mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt.

Ein fast unmögliches Ereignis kann möglicherweise eintreten, aber nur auf einer Menge vom Maß null. Das unmögliche Ereignis ${\displaystyle E=\emptyset }$ ist auch fast unmöglich.

Beispiele

Bei einer Gleichverteilung auf dem Intervall ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$ gilt:

• Die Wahrscheinlichkeit, genau eine bestimmte Zahl ${\displaystyle x\in [0,1]}$ zufällig zu treffen, ist 0, obwohl dieses Ereignis nicht unmöglich ist. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl außer ${\displaystyle x}$ zu treffen, gleich 1, aber dieses Ereignis wird nicht notwendig eintreten.
• Auch die Wahrscheinlichkeit, irgendeine rationale Zahl in ${\displaystyle [0,1]}$ zu treffen, ist 0, da es in diesem Bereich nur abzählbar unendlich viele rationale Zahlen gibt, deren Menge also nur das Lebesgue-Maß 0 hat. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine irrationale Zahl zu treffen, gleich 1, obwohl dieses Ereignis nicht eintreten muss.

Literatur

• Manfred Precht, Karl Voit, Roland Kraft: Mathematik 1 für Nichtmathematiker. 7. Auflage. Oldenbourg, München, Wien 2006, ISBN 3-486-27407-4, Abschnitt 5.6, S. 178 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)
• Gerd Christoph, Horst Hackel: Starthilfe Stochastik. Teubner, Stuttgart u. a. 2002, ISBN 3-519-00341-4, Abschnitt 2.6, S. 32 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)