Fast sicher

Fast sicher i​st ein Begriff d​er Wahrscheinlichkeitstheorie u​nd Spezialfall d​es Begriffs fast überall a​us der Maßtheorie. Ein zufälliges Ereignis, d​as mit Wahrscheinlichkeit e​ins eintritt, w​ird fast sicher genannt. Entsprechend heißt e​in Ereignis fast unmöglich, w​enn die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens n​ull ist. Diese Begriffe spielen beispielsweise b​ei der fast sicheren Konvergenz v​on Zufallsvariablen e​ine wichtige Rolle, w​ie sie i​n der Situation d​es Gesetzes d​er großen Zahlen auftritt.

Definition

In einem Wahrscheinlichkeitsraum heißt ein Ereignis fast sicher, wenn

gilt. Es heißt fast unmöglich, w​enn gilt:

.

Nicht jedes fast sichere Ereignis muss notwendig eintreten, sondern es tritt auf einer Menge vom Maß eins auf. Das sichere Ereignis , ist auch fast sicher, da es mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt.

Ein fast unmögliches Ereignis kann möglicherweise eintreten, aber nur auf einer Menge vom Maß null. Das unmögliche Ereignis ist auch fast unmöglich.

Beispiele

Bei einer Gleichverteilung auf dem Intervall gilt:

  • Die Wahrscheinlichkeit, genau eine bestimmte Zahl zufällig zu treffen, ist 0, obwohl dieses Ereignis nicht unmöglich ist. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl außer zu treffen, gleich 1, aber dieses Ereignis wird nicht notwendig eintreten.
  • Auch die Wahrscheinlichkeit, irgendeine rationale Zahl in zu treffen, ist 0, da es in diesem Bereich nur abzählbar unendlich viele rationale Zahlen gibt, deren Menge also nur das Lebesgue-Maß 0 hat. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine irrationale Zahl zu treffen, gleich 1, obwohl dieses Ereignis nicht eintreten muss.

Literatur

  • Manfred Precht, Karl Voit, Roland Kraft: Mathematik 1 für Nichtmathematiker. 7. Auflage. Oldenbourg, München, Wien 2006, ISBN 3-486-27407-4, Abschnitt 5.6, S. 178 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)
  • Gerd Christoph, Horst Hackel: Starthilfe Stochastik. Teubner, Stuttgart u. a. 2002, ISBN 3-519-00341-4, Abschnitt 2.6, S. 32 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)
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