Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion

Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion i​st in d​er Mathematik e​ine Funktion, d​ie die Gaußsche hypergeometrische Funktion u​nd letztlich d​ie geometrische Reihe verallgemeinert. Sie w​ird zur Klasse d​er speziellen Funktionen gezählt.

Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion enthält v​iele wichtige Funktionen a​ls Spezialfälle, a​llen voran d​ie Exponentialfunktion u​nd die trigonometrischen Funktionen. In d​er Tat g​ibt es e​ine große Zahl v​on Funktionen, d​ie sich a​ls eine hypergeometrische Funktion schreiben lassen.

Definition

Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion w​ird definiert durch

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}}}$,

wobei ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gammafunktion ist. Die Koeffizienten ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} _{0}}$ und die Parameter ${\displaystyle a_{i},b_{j}\in \mathbb {C} }$ sind dabei so zu wählen, dass die Potenzreihen für ein geeignetes ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ konvergieren.

Eine weitere übliche Notation d​er verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion lautet

${\displaystyle {}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p-1},a_{p}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q-1},b_{q}\end{matrix}};z\right].}$

Durch die Wahl der Koeffizienten ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ werden schließlich spezielle hypergeometrische Funktionen konstruiert, etwa die Kummersche hypergeometrische Funktion (${\displaystyle p=q=1}$) oder mit ${\displaystyle p=2}$ und ${\displaystyle q=1}$ die Gaußsche hypergeometrische Funktion.

Konvergenzbedingungen

Unter gewissen Bedingungen sind die Potenzreihen divergent und ermöglichen somit keine Darstellung einer allgemeinen hypergeometrischen Funktion. Insbesondere gibt es Bedingungen für ${\displaystyle a_{i}}$ und ${\displaystyle b_{j}}$ bei denen die Ausdrücke ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}}$ bzw. ${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}}$ in der Potenzreihe Divergenzen erzeugen.

Beispiel 1

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}F_{1}\left(2;-1;z\right)&\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (k+2)}{\Gamma (2)}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)!}{1}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)}{1}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}z^{k}\\&\;=\;1\;+\;2{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (0)}}z\qquad \;+\;3{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (1)}}z^{2}\;+\;4{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (2)}}z^{3}\ \;+\;5{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (3)}}z^{4}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\;+\;2{\frac {\Gamma (0)}{(-1)\Gamma (0)}}z\quad +\;3{\frac {\Gamma (0)}{(-1)0!}}z^{2}\;+\;4{\frac {\Gamma (0)}{(-1)1!}}z^{3}\;+\;5{\frac {\Gamma (0)}{(-1)2!}}z^{4}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\;-\;2z\;-\;\Gamma (0)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k+2}{(k-1)!}}z^{k+1}\quad {\xrightarrow[{\lim _{x\to 0^{+}}\Gamma (x)\to \infty }]{\quad }}\quad -\infty \end{aligned}}}$

Bei der Berechnung wurde die Funktionalgleichung der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma (k+1)=k\Gamma (k)}$ mit der Identität ${\displaystyle \Gamma (-1)={\tfrac {\Gamma (0)}{-1}}}$ verwendet.

Beispiel 2

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{0}F_{1}\left(;-1;z\right)&\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\\&\;=\;1\qquad +\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (0)}}{\frac {z}{1!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (2)}}{\frac {z^{3}}{3!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (3)}}{\frac {z^{4}}{4!}}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (0)}}{\frac {z}{1!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (2)}}{\frac {z^{3}}{3!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (3)}}{\frac {z^{4}}{4!}}\quad +\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;z\qquad \qquad -\;{\frac {\Gamma (0)}{0!}}{\frac {z^{2}}{2!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{1!}}{\frac {z^{3}}{3!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{2!}}{\frac {z^{4}}{4!}}\quad +\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;z\qquad \qquad -\;\Gamma (0)\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{(k-2)!}}{\frac {z^{k}}{k!}}\quad {\xrightarrow[{\lim _{x\to 0^{+}}\Gamma (x)\to \infty }]{\quad }}\quad -\infty \end{aligned}}}$

Außer b​ei den d​urch die Wahl d​er Parameter bedingten Divergenzen k​ann das Quotientenkriterium für Reihen angewandt werden:

• Wenn ${\displaystyle p<q+1}$ ist, dann ist nach dem Quotientenkriterium das Verhältnis der Koeffizienten beschränkt und tendiert gegebenenfalls gegen 0. Dies impliziert, dass die Reihe für jedes endliche ${\displaystyle z}$ konvergiert und somit eine ganze Funktion darstellt. Ein Beispiel hierfür ist die Reihe der Exponentialfunktion.

• Wenn ${\displaystyle p=q+1}$ ist, so zeigt das Quotientenkriterium, dass das Verhältnis der Koeffizienten gegen 0 strebt. Dies impliziert, dass die Reihe für ${\displaystyle |z|<1}$ konvergiert und für ${\displaystyle |z|>1}$ divergiert. Um zu prüfen, ob die Reihe für große Werte von ${\displaystyle z}$ konvergiert, wird eine analytische Betrachtung empfohlen. Die Frage nach der Konvergenz für ${\displaystyle |z|=1}$ ist nicht einfach zu beantworten. Es kann in diesem Fall gezeigt werden, dass die Reihe für ${\displaystyle |z|=1}$ absolut konvergiert, wenn:

${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{i=1}^{p}a_{i}\right)>0}$.

Falls ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}}$ und ${\displaystyle z}$ reell ist, lässt sich die folgende Konvergenzbedingung angeben[1]:

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {\mathrm {d} \log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{\mathrm {d} z}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}}$.

• Wenn ${\displaystyle p>q+1}$ ist, liefert das Quotientenkriterium ein unbegrenzt wachsendes Verhältnis der Koeffizienten. Dies impliziert, dass die Reihe selbst im Falle von ${\displaystyle z=0}$ divergiert. Unter diesen Voraussetzungen erhält man eine divergente oder asymptotische Reihe. Andererseits kann die Reihe als eine Kurzschreibweise für eine Differentialgleichung aufgefasst werden, die der Summengleichung genügt.

Eigenschaften

Aufgrund der Ordnung (des Grades) des Parameters ${\displaystyle a_{i}}$ und des Parameters ${\displaystyle b_{j}}$ kann die allgemeine hypergeometrische Funktion geändert werden, ohne den Wert der Funktion zu ändern. Wenn also ${\displaystyle a_{i}}$ gleich einem der Parameter ${\displaystyle b_{j}}$ ist, so kann die Funktion um diese beiden Parameter "gekürzt" werden, mit gewissen Ausnahmen für Parameter mit nichtpositiven Werten. Zum Beispiel ist

${\displaystyle \,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)}$.

Eulers Integraltransformation

Die nachfolgende Identität ermöglicht es, d​ie verallgemeinerte hypergeometrische Funktion höherer Ordnung a​ls Integralausdruck d​er verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion nächst niedriger Ordnung darzustellen.[2]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]\mathrm {d} t}$

Differentialgleichung

Die allgemeine hypergeometrische Funktion genügt d​em Differentialgleichungssystem:

(1)${\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{i}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;a_{i}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}$

(2)${\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{j}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;(b_{j}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}$

(3)${\displaystyle {\begin{aligned}\qquad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;{\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}$

Die Zusammenfassung dieser drei Gleichungen ergibt eine Differentialgleichung mit ${\displaystyle w={}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$:

${\displaystyle \qquad \qquad z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w\;=\;z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$.

Anmerkungen:

• Differentialgleichung (1)

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{i}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }{\Big (}{\tfrac {\Gamma (k+a_{1})}{\Gamma (a_{1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (k+a_{i-1})}{\Gamma (a_{i-1})}}\cdot {\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\cdot {\tfrac {\Gamma (k+a_{i+1})}{\Gamma (a_{i+1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (k+a_{p})}{\Gamma (a_{p})}}{\Big )}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}$

Es ist zu beachten, dass im Falle ${\displaystyle p=0}$ für die Differentialgleichung (1) die rechte Seite der Gleichung nicht existiert, da die Parameter ${\displaystyle a_{i}}$ nicht existierten und ebenso auf der linken Seite die Parameter ${\displaystyle a_{i}}$ verschwinden und daher lediglich die Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}(;b_{1},\dots ,b_{q};z)}$ multipliziert mit ${\displaystyle z}$ berechnet werden kann.

• Differentialgleichung (2)

${\displaystyle {\begin{aligned}&(b_{j}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j}+1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {(b_{j}-1)\cdot \Gamma (b_{j}+1)}{\Gamma (k+b_{j}+1)}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}{\Big (}{\tfrac {\Gamma (b_{1})}{\Gamma (k+b_{1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{j-1})}{\Gamma (k+b_{j-1})}}\cdot {\tfrac {(b_{j}-1)\cdot \Gamma (b_{j}+1)}{\Gamma (k+b_{j}+1)}}\cdot {\tfrac {\Gamma (b_{j+1})}{\Gamma (k+b_{j+1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{q})}{\Gamma (k+b_{q})}}{\Big )}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}$

Auch hier gilt es festzustellen, dass für ${\displaystyle q=0}$ die Differentialgleichung (2) auf die Gestalt ${\displaystyle z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}{}_{p}F_{q}(;b_{1},\dots ,b_{q};z)}$ reduziert wird, da die Parameter ${\displaystyle b_{j}-1}$ nicht existieren.

• Differentialgleichung (3)

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j}+1)}{b_{j}\cdot \Gamma (k+b_{j}+1)}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }{\Big (}{\tfrac {a_{1}\cdot \Gamma (k+a_{1}+1)}{\Gamma (a_{1}+1)}}\cdots {\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\cdots {\tfrac {a_{p}\cdot \Gamma (k+a_{p}+1)}{\Gamma (a_{p}+1)}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\tfrac {\Gamma (b_{1}+1)}{b_{1}\cdot \Gamma (k+b_{1}+1)}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{j}+1)}{b_{j}\cdot \Gamma (k+b_{j}+1)}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{q}+1)}{b_{q}\cdot \Gamma (k+b_{q}+1)}}{\Big )}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}$

Hierbei ist der Quotient der Produkte ${\displaystyle {\tfrac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}}$ für die Parameter ${\displaystyle a_{i},b_{j}\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,-3,\ldots \}}$ so aufzufassen, dass

${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{p}a_{i}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\begin{cases}\prod _{i=1}^{p}a_{i}&{\text{falls}}\;p>0\\\\1&{\text{falls}}\;p=0\end{cases}}}$

und

${\displaystyle {\tfrac {1}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\begin{cases}{\tfrac {1}{\prod _{i=1}^{q}b_{j}}}&{\text{falls}}\;q>0\\\\1&{\text{falls}}\;q=0.\end{cases}}}$

Für den Fall, dass ${\displaystyle p=q=0}$, ergibt sich auf Grund der vorausgegangenen Festlegung ${\displaystyle {\tfrac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}=1}$ und die Differentialgleichung (3) nimmt folgende Gestalt an

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}(;;z)\;=\;{}_{p}F_{q}(;;z)}$

Spezielle hypergeometrische Funktionen

Die Funktion ${\displaystyle {}_{0}F_{0}}$

→ Hauptartikel: Exponentialfunktion

Wie eingangs angedeutet, entspricht ${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=\mathrm {e} ^{z}}$ der Exponentialfunktion. Die Funktion erfüllt die Differentialgleichung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}w=w}$

Beweis

${\displaystyle {}_{0}F_{0}\left(;;z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\mathrm {e} ^{z}}$

Die Funktion ${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$

Die Funktion vom Typ ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$ ist die sog. konfluente hypergeometrische Grenzfunktion. Die Reihe genügt der Differentialgleichung:

${\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+a{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-w=0}$

Sie s​teht eng i​n Zusammenhang m​it den Besselfunktionen:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;1+a;-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\cdot \left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot J_{a}(z)\quad }$ wobei ${\displaystyle J_{a}(z)}$ die Besselfunktion ist

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;1+a;{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot I_{a}(z)\quad }$ mit ${\displaystyle I_{a}(z)=e^{-i{\frac {\pi }{2}}a}J_{a}(z)}$ als modifizierte Besselfunktion

Abgeleitete Funktionen d​er Reihe s​ind beispielsweise:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

oder

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)={\frac {\sin z}{z}}}$.

Beispiel

Betrachtet werden s​oll die Kosinusfunktion:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{0}F_{1}\left(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma (k+{\frac {1}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{k}}{k!}}\\&={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{0}}{0!}}\;\;\;+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}{\frac {-{\frac {z^{2}}{4}}}{1}}&&+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {5}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{2}}{2}}&&+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {7}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{3}}{2\cdot 3}}&+\cdots \\&={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {1}{1}}\qquad \quad \ \,+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {-z^{2}}{4}}&&+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {z^{4}}{4^{2}\cdot 2!}}&&+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{{\frac {5}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {-z^{6}}{4^{3}\cdot 3!}}&+\cdots \end{aligned}}}$

Hier nutzten wir, dass ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ ist und somit ${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {3}{2}})={\tfrac {1}{2}}\Gamma ({\tfrac {1}{2}})}$ usw. Wie man sieht, kürzen sich die Terme ${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}})}$ überall heraus; die verbleibenden Brüche kann man leicht zusammenfassen zu

${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}})=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z}$

Die Funktion ${\displaystyle {}_{1}F_{0}}$

Ebenfalls direkt als elementare Funktion erfüllt ${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}}$ die Differentialgleichung:

${\displaystyle (1-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}=aw}$

Beweis

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}F_{0}\left(a;;z\right)&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (a)}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+a-1)!}{(a-1)!}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+a-1)!}{(a+k-1-k)!}}{\frac {z^{k}}{k!}}\\&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {a+k-1}{k}}z^{k}&&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-a}{k}}(-1)^{k}z^{k}&&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-a}{k}}(-z)^{k}\\&=\quad (1-z)^{-a}\end{aligned}}}$

Hierbei wurde der Binomialkoeffizient in der Analysis mit der Identität ${\displaystyle {\tbinom {-a}{k}}=(-1)^{k}{\tbinom {a+k-1}{k}}}$ benutzt. Das Resultat stellt die binomische Reihe dar.

Die Funktion ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$

Die Funktion ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ heißt Kummersche Funktion (nach Ernst Eduard Kummer). Sie wird vielfach auch als konfluente hypergeometrische Reihe bezeichnet und genügt der Kummerschen Differentialgleichung:

${\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(b-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-aw=0}$

Abgeleitete Funktionen s​ind beispielsweise:

${\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(a;a+1;-z\right)=az^{-a}\gamma (a,z)}$ wobei ${\displaystyle \gamma (a,z)}$ die unvollständige Gammafunktion ist

oder

${\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(1;a+1;z\right)=az^{-a}e^{z}\gamma (a,z)}$

Die Funktion ${\displaystyle {}_{2}F_{0}}$

Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Integralexponentialfunktion ${\displaystyle Ei(z)}$ auf.

Die Funktion ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

→ Hauptartikel: Gaußsche hypergeometrische Funktion

Historisch am bedeutendsten ist die hypergeometrische Funktion ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$. Sie wird auch als Gaußsche hypergeometrische Funktion, gewöhnliche hypergeometrische Funktion, oder oft einfach nur als hypergeometrische Funktion bezeichnet. Zur Unterscheidung wird für ${\displaystyle {}_{p}F_{q}}$ die Bezeichnung verallgemeinerte hypergeometrische Funktion verwendet, da sonst leicht Verwechslungsgefahr besteht. Die Funktion wurde als erstes vollständig von Carl Friedrich Gauß untersucht, insbesondere zur Konvergenz. Sie erfüllt die Differentialgleichung

${\displaystyle z(1-z){\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(c-(a+b+1)z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-abw=0}$,

welche a​ls Hypergeometrische Differentialgleichung bezeichnet wird.

Die Funktion ${\displaystyle {}_{3}F_{0}}$

Die Funktion taucht i​n Zusammenhang m​it dem Mottpolynom auf.

Die Funktion ${\displaystyle {}_{3}F_{1}}$

Die Funktion taucht i​n Zusammenhang m​it der Besselfunktion auf.

Weitere Verallgemeinerungen

Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion kann noch weiter verallgemeinert werden, indem man Vorfaktoren vor dem ${\displaystyle k}$ einführt und so die Komplexität der Funktion weiter erhöht. Allein um das Vorzeichen von ${\displaystyle k}$ zu modifizieren wären zwei weitere Indizes nötig:

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{pqrs}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};c_{1},\dots ,c_{r};d_{1},\dots ,d_{s};z)\\&\qquad \qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (-k+b_{j})}{\Gamma (b_{j})}}\prod _{l=1}^{r}{\frac {\Gamma (c_{l})}{\Gamma (k+c_{l})}}\prod _{m=1}^{s}{\frac {\Gamma (d_{m})}{\Gamma (-k+d_{m})}}{\frac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}$

Sind d​iese Vorfaktoren n​icht notwendig ganzzahlig, s​o erhält m​an als Verallgemeinerung d​ie Fox–Wright Funktionen.

Literatur

• Eduard Heine: Handbuch der Kugelfunctionen S. 91 Georg Reimer, Berlin, 1861.
• Felix Klein: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion Springer, Berlin, reprint 1981.
• Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, Berlin, 1930.

Einzelnachweise

1. J. Quigley, K.J. Wilson, L. Walls, T. Bedford: A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates In: Risk Analysis 2013 doi=10.1111/risa.12035
2. Lucy Joan Slater: "Generalized Hypergeometric Functions" In: "Cambridge University Press." 1966 ISBN 0-521-06483-X (2008 ist ein Reprint als Taschenbuch erschienen: ISBN 978-0-521-09061-2)