Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diese Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen g​ibt einen Überblick über d​ie bekanntesten univariaten (eindimensionalen) Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben, w​ie sich d​ie Wahrscheinlichkeiten a​uf die möglichen Ergebnisse e​iner Zufallsvariable verteilen. Dabei unterscheidet m​an zwischen diskreten Verteilungen, d​ie auf e​iner endlichen o​der abzählbaren Menge definiert sind, u​nd stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, d​ie meist a​uf Intervallen definiert sind.

Diskrete Verteilungen lassen sich durch ihre Zähldichte beschreiben. Diese gibt für jeden der maximal abzählbar vielen Werte ${\displaystyle x}$ einer Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ die Wahrscheinlichkeit an, dass man genau diesen Wert erhält.

Bei stetigen Verteilungen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte nicht angeben, da diese stets die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 0}$ besitzen. Es ist jedoch oft möglich, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ einen Wert in einem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ annimmt, als Integral über eine Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) ${\displaystyle f(x)}$ darzustellen:

${\displaystyle P(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Bei d​en in dieser Liste aufgenommenen stetigen Verteilungen i​st eine solche Darstellung über e​ine Dichtefunktion möglich.

Diskrete Verteilungen

Die u​nten stehenden Tabellen fassen d​ie Kenngrößen Träger, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert u​nd Varianz d​er folgenden diskreten Verteilungen zusammen:

• Diskrete Gleichverteilung
• Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung)
• Binomialverteilung
• Negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung)
• Geometrische Verteilung
• Hypergeometrische Verteilung
• Poisson-Verteilung
• Logarithmische Verteilung

Es bezeichne ${\displaystyle \lceil .\rceil }$ die Aufrundungsfunktion, ${\displaystyle \lfloor .\rfloor }$ die Abrundungsfunktion und ${\displaystyle X}$ jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable.

Diskrete Gleichverteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {R} \;(i=1,\dots ,n)}$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: Auf ${\displaystyle \{0,1,\dots ,20\}}$, d. h. ${\displaystyle n=21}$
Träger:	${\displaystyle \{k_{i}:i=1,\dots ,n\}}$
Zähldichte:	${\displaystyle f(k_{i})={\frac {1}{n}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle P(\{X\leq x\})={\frac {|\{i:k_{i}\leq x\}|}{n}}}$
	${\displaystyle P(\{X<x\})={\frac {|\{i:k_{i}<x\}|}{n}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)^{2}\right)}$

Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle p\in [0,1]}$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: ${\displaystyle p=0{,}2}$ (blau), ${\displaystyle p=0{,}5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0{,}8}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \{0,1\}}$
Zähldichte:	${\displaystyle f(k)={\begin{cases}p&{\text{für }}k=1\\1-p&{\text{für }}k=0\end{cases}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle P(\{X\leq x\})={\begin{cases}0&{\text{für }}x<0\\1-p&{\text{für }}0\leq x<1\\1&{\text{für }}x\geq 1\end{cases}}}$
	${\displaystyle P(\{X<x\})={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\1-p&{\text{für }}0<x\leq 1\\1&{\text{für }}x>1\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle p}$
Varianz:	${\displaystyle p(1-p)}$

Binomialverteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$, ${\displaystyle p\in [0,1]}$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: ${\displaystyle n=20}$; ${\displaystyle p=0{,}1}$ (blau), ${\displaystyle p=0{,}5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0{,}8}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \{0,1,\dots ,n\}}$
Zähldichte:	${\displaystyle f(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}}$
	${\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=0}^{\lceil x-1\rceil }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle np}$
Varianz:	${\displaystyle np(1-p)}$

Negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle r\in \mathbb {N} ^{+}}$, ${\displaystyle p\in {]0,1]}}$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: ${\displaystyle r=10}$; ${\displaystyle p=0{,}2}$ (blau), ${\displaystyle p=0{,}5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0{,}8}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \{x\in \mathbb {N} \colon x\geq r\}}$
Zähldichte:	${\displaystyle P(\{X=k\})={{k-1} \choose {r-1}}p^{r}(1-p)^{k-r}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=r}^{\lfloor x\rfloor }{i-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{i-r}}$
	${\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=r}^{\lceil x-1\rceil }{i-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{i-r}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {r}{p}}}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$

Variante A

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle p\in {]0,1[}}$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: ${\displaystyle p=0{,}2}$ (blau), ${\displaystyle p=0{,}5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0{,}8}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$
Zähldichte:	${\displaystyle f(k)=p(1-p)^{k-1}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle P(\{X\leq x\})=1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor }}$
	${\displaystyle P(\{X<x\})=1-(1-p)^{\lceil x-1\rceil }}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}}$

Variante B

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle p\in {]0,1[}}$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: ${\displaystyle p=0{,}2}$ (blau), ${\displaystyle p=0{,}5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0{,}8}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$
Zähldichte:	${\displaystyle f(k)=p(1-p)^{k}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle P(\{X\leq x\})=1-(1-p)^{\lfloor x+1\rfloor }}$
	${\displaystyle P(\{X<x\})=1-(1-p)^{\lceil x\rceil }}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {1}{p}}-1}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}}$

Hypergeometrische Verteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+}}$, ${\displaystyle M\in \mathbb {N} ^{+}}$ mit ${\displaystyle M\leq N}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$ mit ${\displaystyle n\leq N}$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: ${\displaystyle n=20}$; ${\displaystyle M=20,N=30}$ (blau), ${\displaystyle M=50,N=60}$ (grün) und ${\displaystyle M=20,N=60}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \{\max(0,n+M-N),\dotsc ,\min(n,M)\}}$
Zähldichte:	${\displaystyle f(k)={\frac {\displaystyle {M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle {N \choose n}}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=\max(0,n-N)}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{M+N \choose n}}}$
	${\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=\max(0,n-N)}^{\lceil x-1\rceil }{\frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{M+N \choose n}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle n{\frac {M}{N}}}$
Varianz:	${\displaystyle n{\frac {M}{N}}\left(1-{\frac {M}{N}}\right){\frac {N-n}{N-1}}}$

Poisson-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: ${\displaystyle \lambda =1}$ (blau), ${\displaystyle \lambda =5}$ (grün) und ${\displaystyle \lambda =10}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$
Zähldichte:	${\displaystyle f(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda }}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\;\mathrm {e} ^{-\lambda }}$
	${\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=0}^{\lceil x-1\rceil }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\;\mathrm {e} ^{-\lambda }}$
Erwartungswert:	${\displaystyle \lambda }$
Varianz:	${\displaystyle \lambda }$

Logarithmische Verteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle p\in (0,1)}$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: ${\displaystyle p=0{,}2}$ (blau), ${\displaystyle p=0{,}5}$ (grün) und ${\displaystyle p=0{,}8}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$
Zähldichte:	${\displaystyle f(k)={\frac {p^{k}}{k}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle P(\{X\leq x\})=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {p^{i}}{i}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}}$
	${\displaystyle P(\{X<x\})=\sum _{i=0}^{\lceil x-1\rceil }{\frac {p^{i}}{i}}\cdot {\frac {1}{-\ln(1-p)}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {p}{-(1-p)\ln(1-p)}}}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}}$

Stetige Verteilungen

Die u​nten stehenden Tabellen fassen d​ie Kenngrößen Träger, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert u​nd Varianz d​er folgenden stetigen Verteilungen zusammen:

• Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung, Uniformverteilung)
• Dreiecksverteilung (Simpson-Verteilung)
• Normalverteilung (Gauß-Verteilung)
• Logarithmische Normalverteilung
• Exponentialverteilung
• Chi-Quadrat-Verteilung
• Studentsche t-Verteilung
• F-Verteilung (Fisher-Verteilung)
• Gammaverteilung
• Beta-Verteilung
• Logistische Verteilung
• Weibull-Verteilung
• Cauchy-Verteilung (Cauchy-Lorentz-Verteilung, Lorentz-Verteilung)
• Pareto-Verteilung

Dabei bezeichnen ${\displaystyle \Gamma (r)}$ die Gammafunktion, ${\displaystyle B(p,q)}$ die Betafunktion und ${\displaystyle X}$ jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable mit Dichte ${\displaystyle f(x)}$ und Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)}$.

Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung, Uniformverteilung)

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle a<b}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle a=4,b=8}$ (blau), ${\displaystyle a=1,b=18}$ (grün) und ${\displaystyle a=1,b=11}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle [a,b]}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{für }}a<x\leq b\\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{für }}a<x\leq b\\1&{\text{für }}x>b\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$

Dreiecksverteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle a\leq c\leq b}$	Bild der Dichtefunktion:
Träger:	${\displaystyle [a,b]}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {2}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {c-a}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {a+b+c}{3}}.}$
Varianz:	${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}}{36}}.}$

Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle \mu =0,\sigma =1}$ (blau), ${\displaystyle \mu =0,\sigma =2}$ (grün) und ${\displaystyle \mu =-1,\sigma =2}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot \int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t}$
Erwartungswert:	${\displaystyle \mu }$
Varianz:	${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Logarithmische Normalverteilung (Log-Normalverteilung)

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle \mu =0,\sigma =1}$ (blau), ${\displaystyle \mu =0,\sigma =2}$ (grün) und ${\displaystyle \mu =-1,\sigma =2}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {1}{x}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {ln} \,x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\{\frac {1}{\sigma \cdot {\sqrt {2\pi }}}}\cdot \int _{0}^{x}\,{\frac {1}{t}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\operatorname {ln} \,t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} t&{\text{für }}x>0\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle \exp(\mu +\sigma ^{2}/2)}$
Varianz:	${\displaystyle \exp(2\mu +\sigma ^{2})\cdot (\exp(\sigma ^{2})-1)}$

Exponentialverteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle \alpha =1}$ (blau), ${\displaystyle \alpha =5}$ (grün) und ${\displaystyle \alpha =10}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)=\alpha \cdot \mathrm {e} ^{-\alpha x}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\1-\mathrm {e} ^{-\alpha x}&{\text{für }}x>0\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{2}}}}$

Chi-Quadrat-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle n=2}$ (blau), ${\displaystyle n=5}$ (grün) und ${\displaystyle n=10}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}\operatorname {exp} \left\{-{\frac {x}{2}}\right\}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\displaystyle 0&{\text{für }}x\leq 0\\1-{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}&{\text{für }}x>0\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle n}$
Varianz:	${\displaystyle 2n}$

Studentsche t-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle k=2}$ (blau), ${\displaystyle k=5}$ (grün) und ${\displaystyle k=10}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})\,{\sqrt {k\,\pi \,}}}}\,\cdot \,\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})\,{\sqrt {k\,\pi \,}}}}\,\cdot \,\int _{-\infty }^{x}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}}\mathrm {d} t}$
Erwartungswert:	${\displaystyle 0}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {k}{k-2}}}$

F-Verteilung (Fisher-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle m\in \mathbb {N} ^{+}}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle m=2,n=10}$ (blau), ${\displaystyle m=10,n=10}$ (grün) und ${\displaystyle m=10,n=2}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})\,\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{({\frac {m}{2}}-1)}\left(1+{\frac {m}{n}}x\right)^{(-{\frac {m+n}{2}})}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0\\\quad {\text{für }}x\leq 0\\{\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})\,\left({\frac {m}{n}}\right)^{\frac {m}{2}}}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{x}\,t^{({\frac {m}{2}}-1)}\left(1+{\frac {m}{n}}t\right)^{(-{\frac {m+n}{2}})}\mathrm {d} t\\\quad {\text{für }}x>0\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {n}{n-2}}}$ (nur definiert für ${\displaystyle n>2}$)
Varianz:	${\displaystyle {\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}}$ (nur definiert für ${\displaystyle n>4}$)

Gammaverteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{+}}$ und ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle p=0{,}5,b=2}$ (blau), ${\displaystyle p=1,b=1}$ (grün) und ${\displaystyle p=2,b=1}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={b^{p} \over \Gamma (p)}x^{p-1}\mathrm {e} ^{-bx}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x\leq 0\\{b^{p} \over \Gamma (p)}\,\cdot \,\int _{0}^{x}\,t^{p-1}\mathrm {e} ^{-bt}\mathrm {d} t&{\text{für }}x>0\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {p}{b}}}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {p}{b^{2}}}}$

Beta-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{+}}$ und ${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle p=0{,}5,q=2}$ (blau), ${\displaystyle p=2,q=2}$ (grün) und ${\displaystyle p=2,q=5}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle [0,1]}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{B(p,q)}}x^{p-1}(1-x)^{q-1}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{für }}x<0\\{{1} \over {B(p,q)}}\int _{0}^{x}u^{p-1}(1-u)^{q-1}\mathrm {d} u&{\text{für }}0\leq x\leq 1\\1&{\text{für }}x>1\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\frac {p}{p+q}}}$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}}$

Logistische Verteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle \alpha =0,\beta =1}$ (blau), ${\displaystyle \alpha =0,\beta =2}$ (grün) und ${\displaystyle \alpha =-1,\beta =1}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {x-\alpha }{\beta }}}}{\beta \left(1+\mathrm {e} ^{-{\frac {x-\alpha }{\beta }}}\right)^{2}}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-{\frac {x-\alpha }{\beta }}}}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle \alpha }$
Varianz:	${\displaystyle {\frac {\beta ^{2}\pi ^{2}}{3}}}$

Weibull-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{+}}$ und ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle \alpha =1,\beta =1}$ (blau), ${\displaystyle \alpha =1,\beta =2}$ (grün) und ${\displaystyle \alpha =5,\beta =3}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)=\alpha \beta x^{\beta -1}\mathrm {e} ^{-\alpha x^{\beta }}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\alpha x^{\beta }}&{\text{für }}x>0\\0&{\text{für }}x\leq 0\end{cases}}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle \alpha ^{-1/\beta }\cdot \Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)}$
Varianz:	${\displaystyle \alpha ^{-2/\beta }\cdot \left(\Gamma \left({\frac {2}{\beta }}+1\right)-\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)^{2}\right)}$

Cauchy-Verteilung (Cauchy-Lorentz-Verteilung, Lorentz-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle s\in \mathbb {R} ^{+}}$ und ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle s=1,t=0}$ (blau), ${\displaystyle s=2,t=0}$ (grün) und ${\displaystyle s=2,t=-1}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {s}{s^{2}+(x-t)^{2}}}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan \left({\frac {x-t}{s}}\right)}$
Erwartungswert:	nicht definiert
Varianz:	nicht definiert

Pareto-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	${\displaystyle x_{\min }\in \mathbb {R} ^{+}}$ und ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ^{+}}$	Bild der Dichtefunktion: ${\displaystyle x_{\min }=1,k=1}$ (blau), ${\displaystyle x_{\min }=1,k=2}$ (grün) und ${\displaystyle x_{\min }=2,k=1}$ (rot)
Träger:	${\displaystyle [x_{\min },\infty )}$
Dichtefunktion:	${\displaystyle f(x)={\frac {k}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k+1}}$
Verteilungsfunktion:	${\displaystyle F(x)=1-\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k}}$
Erwartungswert:	${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle x_{\min }{\frac {k}{k-1}}&{\text{für }}k>1\\\infty &{\text{für }}k\leq 1\end{cases}}}$
Varianz:	${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle x_{\min }^{2}{\frac {k}{(k-2)(k-1)^{2}}}&{\text{für }}k>2\\\infty &{\text{für }}k\leq 2\end{cases}}}$

Siehe auch

• Liste von Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Weblinks

• Interaktive Veranschaulichungen von Verteilungen