Liste von Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die nachfolgende Tabelle liefert e​inen Überblick über d​ie Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Beschreibung	Merkhilfe *)
Das Quadrat einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ist Chi-Quadrat-verteilt mit Parameter 1.	${\displaystyle N_{0,1}^{2}=C_{1}}$
Die Summe unabhängiger Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariabler ist wieder Chi-Quadrat-verteilt.	${\displaystyle C_{k}+C_{l}=C_{k+l}}$
Die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariabler ist wieder normalverteilt.	${\displaystyle N_{\mu _{1},\sigma _{1}^{2}}+N_{\mu _{2},\sigma _{2}^{2}}=N_{\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}$
Die Summe unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariabler ist wieder Poisson-verteilt.	${\displaystyle P_{\alpha }+P_{\beta }=P_{\alpha +\beta }}$
Die Summe unabhängiger binomialverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter p ist wieder binomialverteilt.	${\displaystyle B_{m,p}+B_{n,p}=B_{m+n,p}}$
Die Summe unabhängiger negativbinomialverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter p ist wieder negativbinomialverteilt.	${\displaystyle NB_{m,p}+NB_{n,p}=NB_{m+n,p}}$
Die Summe unabhängiger Erlang-verteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter ${\displaystyle \alpha }$ ist wieder Erlang-verteilt.	${\displaystyle E_{\alpha ,m}+E_{\alpha ,n}=E_{\alpha ,m+n}}$
Die Summe unabhängiger gammaverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter b ist wieder gammaverteilt.	${\displaystyle G_{b,p1}+G_{b,p2}=G_{b,(p1+p2)}}$
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Exponentialverteilung.	${\displaystyle E_{\alpha ,1}=E_{\alpha }}$
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Chi-Quadrat-Verteilung.	${\displaystyle E_{{\frac {1}{2}},n}=C_{2n}}$
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Gammaverteilung. (Für ganzzahligen zweiten Parameter stimmt d​ie Gammaverteilung m​it der Erlangverteilung überein.)	${\displaystyle E_{\alpha ,n}=G_{\alpha ,n}}$
Zusammenhang zwischen Weibull-Verteilung und Exponentialverteilung.	${\displaystyle W_{0,\sigma ,1}=E_{\frac {1}{\sigma }}}$
Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X standardnormalverteilt und Y ${\displaystyle C_{k}}$-verteilt, dann ist ${\displaystyle {\frac {X}{\sqrt {\frac {Y}{k}}}}}$ ${\displaystyle T_{k}}$-verteilt.	${\displaystyle {\frac {N_{0,1}}{\sqrt {\frac {C_{k}}{k}}}}=T_{k}}$
Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X ${\displaystyle C_{m}}$-verteilt und Y ${\displaystyle C_{n}}$-verteilt, dann ist ${\displaystyle {\frac {\frac {X}{m}}{\frac {Y}{n}}}}$ ${\displaystyle F_{m,n}}$-verteilt.	${\displaystyle {\frac {\frac {C_{m}}{m}}{\frac {C_{n}}{n}}}=F_{m,n}}$
Der Logarithmus einer logarithmischnormalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt.	${\displaystyle \ln(LN_{\mu ,\sigma ^{2}})=N_{\mu ,\sigma ^{2}}}$
Ist Z negativbinomialverteilt mit Parameter 1 und p, so ist Z − 1 geometrisch verteilt mit Parameter p.	${\displaystyle NB_{1,p}-1=G_{p}}$

*) In der Merkhilfe steht zum Beispiel ${\displaystyle C_{k}}$ nicht für die Chi-Quadrat-Verteilung, sondern für eine Zufallsvariable in Chi-Quadrat Verteilung. Der Unterschied liegt darin, dass etwa die Verteilung der Summe von Zufallsvariablen (sie wird als Faltung der Verteilungen bezeichnet) üblicherweise mit zum Beispiel ${\displaystyle C_{k}*C_{l}}$ (${\displaystyle C_{k},C_{l}}$ Verteilungen) angeschrieben wird anstatt wie hier mit ${\displaystyle C_{k}+C_{l}}$ (${\displaystyle C_{k},C_{l}}$ Zufallsvariable). Der Vorteil der Schreibweise ${\displaystyle C_{k}*C_{l}}$ (${\displaystyle C_{k},C_{l}}$ Verteilungen) liegt darin, dass sie schon andeutet, welche Operation auf die Verteilungsfunktionen anzuwenden ist, um die Verteilung der Summe zu erhalten. Der Vorteil der Schreibweise ${\displaystyle C_{k}+C_{l}}$ (${\displaystyle C_{k},C_{l}}$ Zufallsvariable) liegt darin, dass sie angibt, welche Operation ursprünglich auf die Zufallsvariable gewirkt hat.

Das Zeichen „=“ s​teht für „hat gleiche Verteilung wie“.

Diejenigen Zufallsvariablen, d​ie auf d​er linken Seite d​es Gleichheitszeichens stehen, s​eien stets vollständig unabhängig voneinander.

---

Aus den oben angeführten Regeln folgt zum Beispiel (in „Merkhilfe“-Notation): ${\displaystyle N_{0,1}^{2}+N_{0,1}^{2}=C_{1}+C_{1}=C_{2}=E_{{\frac {1}{2}},1}=E_{\frac {1}{2}}}$. Man beachte, dass dabei die erste Zufallsvariable ${\displaystyle N_{0,1}\,}$ von der zweiten Zufallsvariablen ${\displaystyle N_{0,1}\,}$ unabhängig sein muss. Wenn man stattdessen beide Male dieselbe Zufallsvariable verwendet, wenn man also ${\displaystyle 2\cdot N_{0,1}^{2}}$ berechnet, ist das Ergebnis ein anderes!

Siehe auch

• Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Weblinks

• Übersicht weiterer wichtiger Beziehungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (PDF; 319 kB)