Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diese Liste multivariater u​nd matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen enthält multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen u​nd matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unterteilt i​n diskrete multivariate Verteilungen, absolutstetige multivariate Verteilungen u​nd matrixvariate Verteilungen.

Notation

Es gelten folgende Konventionen:

• Ist ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, so ist ${\displaystyle x>0}$ und ${\displaystyle x\geq 0}$ komponentenweise zu verstehen, also ${\displaystyle x\geq 0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle x_{i}\geq 0}$ für alle ${\displaystyle i}$
• Ist ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, so bezeichnen die Ordnungssymbole die Loewner-Halbordnung, also ${\displaystyle X>0}$ genau dann wenn ${\displaystyle X}$ positiv definit ist und ${\displaystyle X>Y}$ genau dann, wenn ${\displaystyle X-Y>0}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} _{k}}$ bezeichnet den Einsvektor der Länge ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle \mathbf {1} _{k\times k}}$ die ${\displaystyle k\times k}$-Einheitsmatrix.

Abkürzend w​ird verwendet

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{k}=\mathbf {1} _{k}^{T}a}$, wobei ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$ ist.

${\displaystyle \operatorname {etr} (A)=\exp(\operatorname {spur} (A))}$.

für ein ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$. ${\displaystyle \operatorname {spur} (A)}$ bezeichnet hier die Spur der Matrix ${\displaystyle A}$.

Diskret Multivariat

Name	Träger	Parameter	Wahrscheinlichkeitsfunktion	Bemerkung
Multinomial-Verteilung, Polynomial-Verteilung	${\displaystyle x\in \mathbb {N} _{0}^{k}}$, ${\displaystyle \mathbf {1} _{k}^{T}x=n}$	${\displaystyle p}$ stochastischer Vektor aus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$	${\displaystyle f(x)={n \choose x}\;\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}}$	Verallgemeinerung der Binomial-Verteilung, ${\displaystyle {n \choose x}}$ ist der Multinomialkoeffizient
Negativmultinomial-Verteilung,[1] Negative Multinomial-Verteilung, Negative Polynomial-Verteilung	${\displaystyle x\in \mathbb {N} _{0}^{k}}$	${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{k}}$, ${\displaystyle p_{i}\in (0,1)}$, ${\displaystyle \mathbf {1} _{k}^{T}p\leq 1}$, ${\displaystyle \alpha \in (0,+\infty )}$	:${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma (\alpha +\mathbf {1} _{k}^{T}x)(1-\mathbf {1} _{k}^{T}p)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )\prod _{i=1}^{k}x_{i}!}}\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}}$	Verallgemeinerung der negativen Binomialverteilung
Multivariate hypergeometrische Verteilung, allgemeine hypergeometrische Verteilung[2]	${\displaystyle x\in \mathbb {N} _{0}^{k}}$, ${\displaystyle x_{1}+\dots +x_{k}=n}$	${\displaystyle B\in \mathbb {N} _{0}^{k}}$, ${\displaystyle \mathbf {1} _{k}^{T}B=N}$, ${\displaystyle n,N\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle n\leq N}$	${\displaystyle f(x)={\binom {N}{n}}^{-1}\prod _{i=1}^{k}{\binom {B_{i}}{x_{i}}}}$	Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung
Polyhypergeometrische Verteilung[1]	${\displaystyle x\in \mathbb {N} _{0}^{k}}$, ${\displaystyle \mathbf {1} _{k}^{T}x\leq n}$	${\displaystyle n,N\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle n\leq N}$, ${\displaystyle K\in \{1,\dots ,N-1\}^{k}}$, ${\displaystyle \mathbf {1} _{k}^{T}K\leq N}$	${\displaystyle f(x)={\binom {n}{M}}^{-1}{\binom {1-\mathbf {1} _{k}^{T}K}{n-\mathbf {1} _{k}^{T}x}}\prod _{i=1}^{k}{\binom {K_{i}}{x_{i}}}}$	Verallgemeinerung der multivariaten hypergeometrischen Verteilung
Multivariate Poisson-Verteilung[1]	${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{k}}$	${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{k}}$, ${\displaystyle \alpha >0}$	${\displaystyle f(x):=\prod _{i=1}^{k}e^{-\alpha _{i}}{\frac {\alpha _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}}$	-
Pólya/Eggenberger-Verteilung[1]	${\displaystyle x\in \mathbb {N} _{0}^{k}}$, ${\displaystyle \mathbf {1} _{k}^{T}x\leq n}$	${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle a\in (0,+\infty )}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{k}}$, ${\displaystyle b>0}$, ${\displaystyle \mathbf {1} _{k}^{T}b\leq a}$	${\displaystyle f(x)={\frac {{\binom {a+n-1-\mathbf {1} _{k}^{T}(b-x)}{n+\mathbf {1} _{k}^{T}x}}\prod _{i=1}^{k}{\binom {b_{i}+x_{i}-1}{x_{i}}}}{\binom {a+n-1}{n}}}}$	-

Absolutstetig Multivariat

Name	Träger	Parameter	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion	Bemerkung
Mehrdimensionale Normalverteilung, multivariate Normalverteilung[3]	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, ${\displaystyle \Sigma >0}$.	:${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{p}\det(\Sigma )}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)}$	Verallgemeinerung der Normalverteilung
Dirichlet-Verteilung (der Ordnung ${\displaystyle K}$)[4]	${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{K}}$, ${\displaystyle \mathbf {1} _{K}^{T}x=1}$, ${\displaystyle x\geq 0}$	${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \alpha >0}$	${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}{\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}}$	-

Matrixvariat

Name	Träger	Parameter	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion	Bemerkung
Matrixvariate Normalverteilung (englisch matrix variate normal distribution)[5]	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times p}}$	${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times p}}$, ${\displaystyle U\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, ${\displaystyle V\in \mathbb {R} ^{p\times p}}$, ${\displaystyle U>0}$, ${\displaystyle V>0}$	${\displaystyle f(X)={\frac {\operatorname {etr} \left(-{\frac {1}{2}}\left[V^{-1}(X-M)^{T}U^{-1}(X-M)\right]\right)}{(2\pi )^{np/2}\det(V)^{n/2}\det(U)^{p/2}}}}$	Verallgemeinerung der Normalverteilung
Wishart-Verteilung[5]	${\displaystyle \mathbb {R} ^{p\times p}}$	${\displaystyle V\in \mathbb {R} ^{p\times p}}$, ${\displaystyle V>0}$, Freiheitsgrad ${\displaystyle n\geq p}$	${\displaystyle f(X)={\frac {\det(X)^{\tfrac {n-p-1}{2}}\operatorname {etr} \left(-{\tfrac {1}{2}}V^{-1}X\right)}{2^{\tfrac {np}{2}}\det(V)^{\tfrac {n}{2}}\Gamma _{p}({\tfrac {n}{2}})}}}$	Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma _{p}(\cdot )}$ die Multivariate Gamma-Funktion. Die Wishart-Verteilung ist die matrixvariate Verallgemeinerung der Chi-Quadrat-Verteilung.
Matrixvariate Studentsche t-Verteilung (englisch matrix variate t-distribution)[5]	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times p}}$	${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times p}}$, ${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{p\times p}}$, ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, ${\displaystyle \Omega >0,\Sigma >0}$, Freiheitsgrad ${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle f(X)={\frac {\Gamma _{p}\left({\tfrac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\tfrac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}\det(\Omega )^{-{\tfrac {n}{2}}}\det(\Sigma )^{-{\tfrac {p}{2}}}}$ ${\displaystyle \cdot \det \left(\mathbb {1} _{n\times n}+\Sigma ^{-1}(X-M)\Omega ^{-1}(X-M)^{T}\right)^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}}}$	Verallgemeinerung der studentschen t-Verteilung
Matrixvariate Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-I distribution)[5]	${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{p\times p}}$, ${\displaystyle 0<X<\mathbb {1} _{p\times p}}$	${\displaystyle a>{\tfrac {1}{2}}(p-1),\,b>{\tfrac {1}{2}}(p-1)}$	${\displaystyle f(X)={\frac {1}{\beta _{p}(a,b)}}\det(X)^{a-(p+1)/2}\det(\mathbb {1} _{p\times p}+X)^{b-(p+1)/2}}$	Verallgemeinerung der Beta-Verteilung
Matrixvariate inverse Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-II distribution)[5]	${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{p\times p}}$, ${\displaystyle 0<X}$	${\displaystyle a>{\tfrac {1}{2}}(p-1),\,b>{\tfrac {1}{2}}(p-1)}$	${\displaystyle f(X)={\frac {1}{\beta _{p}(a,b)}}\det(X)^{a-(p+1)/2}\det(\mathbb {1} _{p\times p}+X)^{-(a+b)}}$	Verallgemeinerung der inversen Beta-Verteilung

Siehe auch

• Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Einzelnachweise

1. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 296–300, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
2. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
3. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 334, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
4. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 562–563, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
5. A.K. Gupta: Matrix variate distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).