Von-Mises-Verteilung

Die Von-Mises-Verteilung ist die Entsprechung der Normalverteilung für periodische Funktionen. Sie hat zwei Parameter, ${\displaystyle \mu }$ für die Lage des Maximums und ${\displaystyle \kappa }$ für die Schärfe der Verteilung. Die Funktion ist symmetrisch um ihr Maximum an der Stelle ${\displaystyle \mu }$. Für ${\displaystyle \kappa =0}$ geht sie in die Gleichverteilung über. Für große ${\displaystyle \kappa }$ geht sie in die (periodisch fortgesetzte) Normalverteilung mit Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/\kappa }$ über.

Von-Mises-Verteilung
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \kappa >0}$
Träger	beliebiges Intervall der Länge 2π
Dichtefunktion	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi I_{0}(\kappa )}}e^{\kappa \cos(x-\mu )}}$
Verteilungsfunktion	nicht analytisch, siehe Text
Erwartungswert	${\displaystyle \mu }$
Varianz	${\displaystyle 1-I_{1}(\kappa )/I_{0}(\kappa )}$ (zirkulär)
Entropie	${\displaystyle \ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}}$
Charakteristische Funktion	${\displaystyle {\frac {I_{|t|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{it\mu }}$

Die Von-Mises-Verteilung g​ilt im Bereich d​er zirkulären Statistik a​ls die a​m einfachsten handhabbare Verteilungsfunktion. Sie h​at die Eigenschaft, d​ie Entropie z​u maximieren, w​enn lediglich d​as zirkuläre Mittel u​nd die zirkuläre Varianz gegeben sind.[1]

Sie i​st nach d​em österreichischen Mathematiker Richard v​on Mises benannt.[2]

Summen mehrerer Von-Mises-Komponenten werden d​ann gegenüber d​er Fourier-Analyse bevorzugt, w​enn die z​u approximierende Funktion über w​eite Teile d​er Periode verschwindet, s​iehe die beiden letzten Beispiele:

• Häufigkeitsverteilung der Abflugrichtung von Brieftauben,
• Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Hauptwindrichtung im Rahmen einer Vorhersage,
• Intensitätsverlauf des Radiosignals eines Pulsars,[3]

• Bayes-Schätzung mit mehrdeutigen Messungen.[4]

Definition

Im Folgenden ist ${\displaystyle x}$ entweder der geometrische Winkel in der Ebene oder der Phasenwinkel eines Signals. Die Dichtefunktion der Von-Mises-Verteilung lautet:

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi I_{0}(\kappa )}}e^{\kappa \cos(x-\mu )}}$

Der Faktor vor der Exponentialfunktion normiert das Integral der Funktion über eine Periode auf den Wert 1. Darin ist ${\displaystyle I_{0}(\kappa )}$ die modifizierte Bessel-Funktion nullter Ordnung.

Einzelnachweise

1. S. Rao Jammalamadaka, A. Sengupta: Topics in circular statistics. World Scientific 2001, ISBN 981-02-3778-2, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
2. R. von Mises: Über die „Ganzzahligkeit“ der Atomgewichte und verwandte Fragen. Physikalische Zeitschrift 19, 1918, S. 490–500.
3. R. N. Manchester et al.: The Parkes Pulsar Timing Array Project. Publications of the Astronomical Society of Australia (PASA) 30, 2013, doi:10.1017/pasa.2012.017 (Open access).
4. Ivan Marković, Ivan Petrović: Bearing-Only Tracking with a Mixture of von Mises Distributions. Beitrag zur 2012 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), doi:10.1109/IROS.2012.6385600, (online).