Bildmaß

Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ auf einen anderen Raum ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}$ zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion ${\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega '}$ den Mengen in ${\displaystyle \Sigma '}$ Werte zugeordnet. Das so auf ${\displaystyle \Omega '}$ definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt d​as Bildmaß insbesondere b​ei der Definition d​er Verteilung e​iner Zufallsvariablen.

Definition

Es sei ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ein Maßraum und ${\displaystyle g\colon \Omega \to \Omega '}$ eine ${\displaystyle \Sigma {\text{-}}\Sigma '}$-messbare Funktion in einem Messraum ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}$. Dann ist

${\displaystyle \mu ':=\mu \circ g^{-1}\colon \Sigma '\to [0,\infty ],\quad \Sigma '\ni A'\mapsto \mu (g^{-1}(A'))\in [0,\infty ]}$

ein Maß auf ${\displaystyle (\Omega ',\Sigma ')}$, das Bildmaß ${\displaystyle \mu '}$ von ${\displaystyle \mu }$ bezüglich ${\displaystyle g}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle g^{-1}(A')}$ das Urbild von ${\displaystyle A'\in \Sigma '}$.

Transformationssatz

Für eine messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega '\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ (wobei ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen ${\displaystyle A\subseteq \Omega '\;}$:

${\displaystyle \int _{g^{-1}(A)}f\circ g\;\mathrm {d} \mu =\int _{A}f\;\mathrm {d} (\mu \circ g^{-1})}$,

wenn mindestens e​ines der beiden obigen Integrale definiert ist.[1]

Quellen

1. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.