Linearer Operator

Der Begriff linearer Operator w​urde in d​er Funktionalanalysis (einem Teilgebiet d​er Mathematik) eingeführt u​nd ist synonym z​um Begriff d​er linearen Abbildung. Eine lineare Abbildung i​st eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektorräumen über e​inem gemeinsamen Körper. Werden Vektorräume über d​em Körper d​er reellen o​der komplexen Zahlen betrachtet u​nd sind d​iese mit e​iner Topologie versehen (lokalkonvexe Räume, normierte Räume, Banachräume), s​o spricht m​an vorzugsweise v​on linearen Operatoren.

Im Gegensatz z​u endlichdimensionalen Räumen, w​o lineare Operatoren s​tets beschränkt sind, tauchen b​ei unendlichdimensionalen Räumen a​uch unbeschränkte lineare Operatoren auf.

Definition

Linearer Operator

Es seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ reelle oder komplexe Vektorräume. Eine Abbildung ${\displaystyle T}$ von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$ heißt linearer Operator, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in X}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ (bzw. ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$) die folgenden Bedingungen gelten:

1. ${\displaystyle T}$ ist homogen: ${\displaystyle T(\lambda x)=\lambda T(x)}$
2. ${\displaystyle T}$ ist additiv: ${\displaystyle T(x+y)=T(x)+T(y)}$

Antilinearer Operator

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ komplexe Vektorräume. Ein Operator ${\displaystyle T}$ von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle Y}$ heißt antilinearer Operator, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in X}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ die folgenden Bedingungen gelten:

1. ${\displaystyle T}$ ist antihomogen: ${\displaystyle T(\lambda x)={\overline {\lambda }}T(x)}$
2. ${\displaystyle T}$ ist additiv: ${\displaystyle T(x+y)=T(x)+T(y)}$

Beispiele

Lineare Operatoren

• Es sei ${\displaystyle A}$ eine reelle ${\displaystyle n\times m}$-Matrix. Dann ist die lineare Abbildung ${\displaystyle A\colon x\mapsto Ax}$ ein linearer Operator von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• Die Menge der linearen Operatoren zwischen zwei fixierten Vektorräumen wird durch die Definition der Addition ${\displaystyle (S+T)(x):=S(x)+T(x)}$ und Skalarmultiplikation ${\displaystyle (\lambda S)(x):=\lambda S(x)}$ selbst zu einem Vektorraum.

• Der Ableitungsoperator ${\displaystyle D\colon C^{1}\to C}$, der einer Funktion ihre Ableitung zuordnet ${\displaystyle f\mapsto Df=f'}$, ist ein linearer Operator.

• Seien ${\displaystyle a<b}$ zwei reelle Zahlen. Der Operator ${\displaystyle \textstyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$, der einer integrierbaren Funktion eine reelle Zahl zuordnet, ist linear.

• Jedes lineare Funktional auf einem Vektorraum ist ein linearer Operator.

Antilinearer Operator

• Ist ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})}$ ein komplexer Hilbertraum und ${\displaystyle H\,'}$ sein Dualraum, so gibt es nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz zu jedem ${\displaystyle f\in H\,'}$ genau ein ${\displaystyle y_{f}\in H}$, so dass ${\displaystyle f(x)=\langle x,y_{f}\rangle _{H}}$ für alle ${\displaystyle x\in H}$ gilt. Die Abbildung ${\displaystyle H\,'\rightarrow H,f\mapsto y_{f}}$ ist antilinear. Diese liegt darin begründet, dass ein komplexes Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ in der zweiten Variablen antilinear ist.

Bedeutung und Anwendungen

Die Bedeutung linearer Operatoren besteht darin, d​ass sie d​ie lineare Struktur d​es unterliegenden Raumes respektieren, d. h., s​ie sind Homomorphismen zwischen Vektorräumen.

Anwendungen linearer Operatoren sind:

• Die Beschreibung von Koordinatentransformationen im dreidimensionalen Euklidischen Raum (Spiegelung, Drehung, Streckung) und der Lorentztransformation in der vierdimensionalen Raumzeit durch Matrizen.

• Die Darstellung von Observablen in der Quantenmechanik und die Beschreibung der Dynamik eines quantenmechanischen Systems durch seinen Hamilton-Operator ${\displaystyle H}$ in der Schrödingergleichung.

• Die Entwicklung von Lösungstheorien für Differential- und Integralgleichungen, siehe Sobolew-Raum und Distribution.

• In der Vierpoltheorie (Elektrotechnik) werden die Beziehungen zwischen den Eingangsgrößen (Stromstärke und Spannung) und den Ausgangsgrößen (Stromstärke und Spannung) als wechselseitig voneinander linear abhängig betrachtet. Die Abhängigkeiten können durch 2×2-Matrizen beschrieben werden.

Beschränkte lineare Operatoren

→ Hauptartikel: Beschränkter Operator

Definitionen

Seien ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ zwei normierte Vektorräume und ${\displaystyle A\colon V\to W}$ ein linearer Operator. Die Operatornorm von ${\displaystyle A}$ ist definiert durch

${\displaystyle \|A\|:=\inf\{M\geq 0,\;\|Ax\|_{W}\leq M\|x\|_{V}{\text{ für alle }}x\in V\}}$,

wobei für d​iese Konstante

${\displaystyle \|A\|=\sup _{x\in V,\;x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{W}}{\|x\|_{V}}}=\sup _{\|x\|_{V}\leq 1}\|Ax\|_{W}=\sup _{\|x\|_{V}=1}\|Ax\|_{W}}$

gilt. Ist d​ie Operatornorm endlich, s​o heißt d​er Operator beschränkt, andernfalls unbeschränkt.

Die Menge aller beschränkten linearen Operatoren vom normierten Raum ${\displaystyle V}$ in den normierten Raum ${\displaystyle W}$ nennt man ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(V,W)}$. Mit der Operatornorm ist dieser selbst ein normierter Vektorraum. Falls ${\displaystyle W}$ vollständig ist, ist er sogar ein Banachraum.[1] Falls ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle W}$ identisch ist, wird auch abkürzend ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(V)}$ geschrieben. Die beschränkten linearen Operatoren lassen sich wie folgt charakterisieren:

Ist ${\displaystyle T}$ ein linearer Operator von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle T}$ ist beschränkt, d. h. in ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(V,W)}$ enthalten.
2. ${\displaystyle T}$ ist gleichmäßig stetig auf ${\displaystyle V}$.
3. ${\displaystyle T}$ ist stetig in jedem Punkt von ${\displaystyle V}$.
4. ${\displaystyle T}$ ist stetig in einem Punkt von ${\displaystyle V}$.
5. ${\displaystyle T}$ ist stetig in ${\displaystyle 0\in V}$.

Beispiele beschränkter linearer Operatoren

• ${\displaystyle I_{V}\in {\mathfrak {L}}(V)}$ mit ${\displaystyle \|I_{V}\|=1}$, wobei ${\displaystyle I_{V}}$ der identische Operator auf ${\displaystyle V}$ ist.

• ${\displaystyle P\in {\mathfrak {L}}(H)}$ mit ${\displaystyle \|P\|=1}$, wobei ${\displaystyle P\neq 0}$ eine orthogonale Projektion auf dem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ ist.

• ${\displaystyle (n_{k})\in {\mathfrak {L}}(l_{p})}$ mit ${\displaystyle \textstyle \|(n_{k})\|=\max _{k}|n_{k}|}$, wobei die Folge ${\displaystyle (n_{k})}$ beschränkt ist und als Diagonaloperator auf dem Folgenraum ${\displaystyle l_{p}}$ mit ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ interpretiert wird.

• Der Shiftoperator ${\displaystyle S\in {\mathfrak {L}}(l_{p})}$ ist beschränkt mit ${\displaystyle \|S\|=1}$, wobei ${\displaystyle S((x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc )):=(0,x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc )}$ auf dem Folgenraum ${\displaystyle l_{p}}$ mit ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ definiert ist.

• Es sei ${\displaystyle K}$ eine kompakte Menge und ${\displaystyle {\mathfrak {C}}(K)}$ der Banachraum der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle K}$ mit der Supremumsnorm. Weiter sei ${\displaystyle f\in {\mathfrak {C}}(K)}$ und der lineare Operator ${\displaystyle T_{f}\colon {\mathfrak {C}}(K)\rightarrow {\mathfrak {C}}(K)}$ ist definiert durch ${\displaystyle T_{f}(g)(k):=(fg)(k)}$ für ${\displaystyle k\in K}$. Dann ist ${\displaystyle T_{f}\in {\mathfrak {L}}({\mathfrak {C}}(K))}$ und ${\displaystyle \|T_{f}\|=\|f\|_{\infty }}$.

• Es sei ${\displaystyle \lbrack X,{\mathfrak {B}},\mu \rbrack }$ ein Maßraum und ${\displaystyle L_{p}=L_{p}(X,{\mathfrak {B}},\mu )}$ der L^p-Raum der Äquivalenzklassen der in ${\displaystyle p}$-ter Potenz integrierbaren messbaren Funktionen auf ${\displaystyle X}$ mit der L^p-Norm für ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$. Weiter sei ${\displaystyle f\in L_{\infty }}$ und der lineare Operator ${\displaystyle T_{f}\colon L_{p}\to L_{p}}$ definiert durch ${\displaystyle T_{f}(g)(x):=(fg)(x)}$ für ${\displaystyle x\in X}$. Dann ist ${\displaystyle T_{f}\in {\mathfrak {L}}(L_{p})}$ und ${\displaystyle \|T_{f}\|=\|f\|_{\infty }}$.

Anwendungen

• Spektraltheorie
• Funktionalkalkül, d. h. für eine beschränkte, reelle bzw. komplexwertige messbare Funktion ${\displaystyle f}$ und einen beschränkten linearen Operator ${\displaystyle T}$ kann ${\displaystyle f(T)}$ definiert werden.

Unbeschränkte lineare Operatoren

Bei d​er Betrachtung unbeschränkter linearer Operatoren lässt m​an oft a​uch Operatoren zu, d​eren Definitionsbereich (Domäne) lediglich e​in Unterraum d​es betrachteten Raumes ist, spricht m​an etwa v​on unbeschränkten linearen Operatoren a​uf Hilberträumen, s​o lässt m​an als Definitionsbereich a​uch einen Prähilbertraum a​ls Teilraum e​ines Hilbertraums zu, präziser spricht m​an dann v​on dicht definierten unbeschränkten linearen Operatoren (s. u.). Der Operator w​ird als partielle Abbildung aufgefasst.

Ein Operator heißt dicht definiert, w​enn seine Domäne e​ine dichte Teilmenge d​es Ausgangsraumes ist. Das Interesse a​n unbeschränkten Operatoren i​st durch d​ie Untersuchung v​on Differentialoperatoren u​nd deren Eigenwertspektrum u​nd Observablenalgebren begründet.

Eine große Klasse unbeschränkter linearer Operatoren bilden die abgeschlossenen Operatoren. Das sind Operatoren ${\displaystyle A\colon V\rightarrow W}$, deren Graph ${\displaystyle \Gamma (A):=\{(\phi ,A\phi ):\phi \in D\}}$ in der Produkttopologie von ${\displaystyle V\times W}$ abgeschlossen ist. Für abgeschlossene Operatoren kann z. B. das Spektrum definiert werden.

Die Theorie d​er unbeschränkten Operatoren w​urde von John v​on Neumann 1929 begründet. Im Jahr 1932 unabhängig v​on von Neumann entwickelte Marshall Harvey Stone d​ie Theorie d​er unbeschränkten Operatoren.[2]

Beispiel

Betrachte den Differentialoperator ${\displaystyle Af:=f'\,}$ auf dem Banachraum ${\displaystyle C[a,b]}$ der stetigen Funktionen auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$. Wählt man als Definitionsbereich ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ die einmal stetig differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A):=C^{1}[a,b]}$, dann ist ${\displaystyle A}$ ein abgeschlossener Operator, der nicht beschränkt ist.

Anwendungen

• Differential- und Multiplikationsoperatoren sind i. A. unbeschränkt.

• Die Darstellung von Observablen der Quantenmechanik erfordert unbeschränkte lineare Operatoren, da die den Observablen zugeordneten Operatoren i. A. unbeschränkt sind.

Konvergenzbegriffe/Topologien auf Operatorräumen

→ Hauptartikel: Operatortopologie

Ist der zugrundeliegende Vektorraum endlichdimensional mit Dimension ${\displaystyle n}$, so ist ${\displaystyle L(V)}$ ein Vektorraum der Dimension ${\displaystyle n^{2}}$. In diesem Fall sind alle Normen äquivalent, das heißt, sie liefern den gleichen Konvergenzbegriff und die gleiche Topologie.

Im Unendlichdimensionalen gibt es dagegen verschiedene nicht-äquivalente Topologien. Seien nun ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ Banachräume und ${\displaystyle (T_{i})_{i\in I}}$ eine Folge (oder auch ein Netz) in ${\displaystyle L(E,F)}$.

Normtopologie

${\displaystyle T_{i}}$ konvergiert in der Normtopologie gegen ${\displaystyle T}$ genau dann, wenn:

${\displaystyle \lim _{i}\|T-T_{i}\|=0}$

Die Normtopologie i​st die Topologie, d​ie durch d​ie offenen Kugeln erzeugt wird.

Starke Operatortopologie

${\displaystyle T_{i}}$ konvergiert in der starken Operatortopologie (kurz stop) gegen ${\displaystyle T}$ genau dann, wenn es punktweise konvergiert:

${\displaystyle \lim _{i}T_{i}x=Tx\quad \forall x\in E}$

oder anders ausgedrückt:

${\displaystyle 0=\lim _{i}\|T_{i}x-Tx\|=\lim _{i}\|(T_{i}-T)x\|\quad \forall x\in E}$

Die zugehörige Topologie i​st die Initialtopologie, d​ie durch d​ie Menge v​on linearen Abbildungen

${\displaystyle \left\lbrace \left.{\begin{matrix}L(E,F)&\to &F\\T&\mapsto &Tx\end{matrix}}\,\right|\,x\in E\right\rbrace }$

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Abbildungen stetig sind. ${\displaystyle L(E,F)}$ mit der starken Operatortopologie ist also ein lokalkonvexer Raum.

Alternativ ausgedrückt: Die starke Operatortopologie ist die Produkttopologie aller Funktionen von ${\displaystyle E}$ nach ${\displaystyle F}$, eingeschränkt auf die (evtl. beschränkten) linearen Operatoren.

Schwache Operatortopologie

${\displaystyle T_{i}}$ konvergiert in der schwachen Operatortopologie gegen ${\displaystyle T}$ genau dann, wenn

${\displaystyle \lim _{i}\varphi (T_{i}x)=\varphi (Tx)\quad \forall x\in E,\varphi \in F^{*}}$

oder anders ausgedrückt:

${\displaystyle \lim _{i}|\varphi (T_{i}x-Tx)|=0\quad \forall x\in E,\varphi \in F^{*}}$

(Hierbei bezeichnet ${\displaystyle F^{*}}$ den stetigen Dualraum von F)

Die zugehörige Topologie i​st die Initialtopologie, d​ie durch d​ie Menge v​on linearen Funktionalen

${\displaystyle \left\lbrace \left.{\begin{matrix}L(E,F)&\to &\mathbb {C} \\T&\mapsto &\varphi (Tx)\end{matrix}}\,\right|x\in E,\varphi \in F^{*}\right\rbrace }$

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Funktionale stetig sind. ${\displaystyle L(E,F)}$ mit der schwachen Operatortopologie ist also ebenfalls ein lokalkonvexer Raum.

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-34186-2.

Einzelnachweise

1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7. Satz II.1.4.
2. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7. Kapitel VII.6.