Fréchet-Prinzip

Das Fréchet-Prinzip, benannt n​ach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet (1878–1973), i​st ein allgemeingültiges Rezept, u​m für Zufallsvariablen i​n geeigneter Weise Erwartungswert u​nd Varianz z​u definieren. Das Prinzip g​eht auf e​ine Arbeit v​on Fréchet v​on 1948 zurück.[1]

Definitionen

Sei ${\displaystyle (M,d)}$ ein metrischer Raum, wobei ${\displaystyle d}$ eine Metrik auf der Grundmenge ${\displaystyle M}$ ist. Sei weiter ${\displaystyle X}$ eine Zufallsvariable mit Werten in ${\displaystyle M}$. Dann ist der Fréchet-Erwartungswert ${\displaystyle EX}$ definiert als der Wert, der den erwarteten quadratischen metrischen Abstand zwischen ${\displaystyle X}$ und den Elementen ${\displaystyle a\in M}$ minimiert, d. h.

${\displaystyle Ed^{2}(X,EX)=\min _{a\in M}Ed^{2}(X,a)}$.

Dieser minimal erreichbare erwartete quadratische Abstand definiert d​ie Varianz, d. h.

${\displaystyle VarX:=Ed^{2}(X,EX)}$.

Beispiele

• Für ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$, die Euklidische Metrik und eine klassische Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ erfüllen ${\displaystyle EX}$ und ${\displaystyle VarX}$ das Fréchet-Prinzip, d. h., es gilt

${\displaystyle VarX=E(X-EX)^{2}=\min _{a\in \mathbb {R} }E(X-a)^{2}}$.

• Etwas komplizierter ist es im Falle von zufälligen Mengen bzw. zufälligen Fuzzymengen. Dort wird als Metrik gern die Hausdorff-Metrik ${\displaystyle h}$ benutzt, jedoch erweist sich der i. Allg. benutzte Aumann-Erwartungswert ${\displaystyle E_{A}}$ nicht als Fréchet-Erwartungswert bzgl. ${\displaystyle h}$. Damit ist ${\displaystyle h}$ nicht geeignet, um sinnvoll eine Varianz für zufällige (Fuzzy-)Mengen zu definieren. Zumindest für zufällige konvexe (Fuzzy-)Mengen ist ${\displaystyle E_{A}}$ allerdings Fréchet-Erwartungswert bzgl. einer durch die Trägerfunktionen konvexer Mengen definierte Metrik. Damit erhält man dann auch auf natürliche Weise die Varianz einer zufälligen konvexen (Fuzzy-)Menge.[2]

Einzelnachweise

1. Fréchet, M. (1948). Les éléments aléatoires de natures quelconque dans un éspace distancié. Ann.Inst.Poincaré 10, 215-310
2. Körner, R. (1997). On the variance of fuzzy random variables. Fuzzy Sets and Systems 92, 83-93