Fast sichere Konvergenz

Die fast sichere Konvergenz, a​uch P-fast sichere Konvergenz o​der fast sichere punktweise Konvergenz i​st ein Begriff a​us der Wahrscheinlichkeitstheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Die f​ast sichere Konvergenz i​st neben d​er Konvergenz i​m p-ten Mittel, d​er stochastischen Konvergenz u​nd der Konvergenz i​n Verteilung e​iner der v​ier wichtigsten Konvergenzbegriffe für Folgen v​on Zufallsvariablen u​nd ist d​as wahrscheinlichkeitstheoretische Pendant z​ur Konvergenz f​ast überall d​er Maßtheorie. Die f​ast sichere Konvergenz findet beispielsweise Verwendung b​ei der Formulierung d​es starken Gesetzes d​er großen Zahlen.

Definition

Allgemeiner Fall

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle (M,d)}$ ein separabler, metrischer Raum (wie zum Beispiel der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ) versehen mit der Borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$ sowie ${\displaystyle X,X_{n}}$ Zufallsvariablen von ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ nach ${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}$. Die Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert dann fast sicher oder P-fast sicher gegen ${\displaystyle X}$, wenn eine Menge ${\displaystyle N\in {\mathcal {A}}}$ existiert mit ${\displaystyle P(N)=0}$ und

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(X(\omega ),X_{n}(\omega ))=0}$

für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega \setminus N}$. Man schreibt dann auch ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow[{}]{f.s.}}X}$, ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow[{}]{P{\text{-f.s.}}}}X}$ oder ${\displaystyle X_{n}\rightarrow X\;P}$-f.s.

Für reelle Zufallsvariablen

Alternativ findet s​ich für reelle Zufallsvariablen a​uch die Formulierung, d​ass die Zufallsvariablen g​enau dann f​ast sicher konvergieren, wenn

${\displaystyle P\left(\{\omega \in \Omega \colon \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1}$

ist.

Beispiele

Betrachte als Beispiel die Grundmenge der reellen Zahlen im Intervall von 0 bis 1, also ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$, versehen mit der Borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}$. Das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ sei das Diracmaß auf der 1, also

${\displaystyle \delta _{1}(A):={\begin{cases}1\ ,&{\text{falls }}1\in A\ ,\\0\ ,&\mathrm {sonst} \ .\end{cases}}}$

für ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}([0,1])}$. Gegeben seien zwei Zufallsvariablen von ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\delta _{1})}$ nach ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]))}$ definiert durch

${\displaystyle X(\omega ):={\begin{cases}1&{\text{falls }}\omega =1\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$.

und

${\displaystyle Y(\omega ):=0{\text{ für alle }}\omega \in [0,1]}$

Eine Folge v​on Zufallsvariablen s​ei definiert durch

${\displaystyle X_{n}(\omega ):=\left(1-{\tfrac {1}{n}}\right)\chi _{[0,1)}(\omega )}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \chi }$ die charakteristische Funktion. Die Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in N}}$ konvergiert für ${\displaystyle n}$ gegen unendlich für jedes ${\displaystyle \omega \in [0,1)}$ gegen 1 und für ${\displaystyle \omega =1}$ gegen 0. Demnach ist

${\displaystyle \{\omega \in \Omega |\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}=\emptyset }$,

daher konvergieren die ${\displaystyle X_{n}}$ nicht fast sicher gegen ${\displaystyle X(\omega )}$, da für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P(\emptyset )=0}$ gilt. Es ist aber

${\displaystyle \{\omega \in \Omega \colon \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=Y(\omega )\}=\{1\}}$

Da aber ${\displaystyle \delta _{1}(\{1\})=1}$ ist, konvergieren die ${\displaystyle X_{n}}$ fast sicher gegen ${\displaystyle Y}$, obwohl die punktweise Konvergenz nur in einem einzigen Punkt stattfindet. Dieser wird aber durch das Diracmaß maximal gewichtet.

Eigenschaften

Die fast sichere Konvergenz der Folge ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist äquivalent dazu, dass

${\displaystyle P\left(\bigcup _{m=n}^{\infty }\left\{\omega \in \Omega \,|\,\vert X_{m}-X\vert \geq \epsilon \right\}\right){\xrightarrow[{}]{n\to \infty }}0}$

gilt. Mit d​er Bonferroni-Ungleichung erhält m​an dann d​as folgende hinreichende Kriterium für d​ie fast sichere Konvergenz:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }P(|X-X_{m}|\geq \epsilon )\quad <\infty }$

für alle ${\displaystyle \epsilon >0}$. Die Terme der Form ${\displaystyle P(|X-X_{m}|\geq \epsilon )}$ können dann beispielsweise mit der Markow-Ungleichung abgeschätzt werden.

Beziehung zu anderen Konvergenzarten der Stochastik

Allgemein gelten für d​ie Konvergenzbegriffe d​er Wahrscheinlichkeitstheorie d​ie Implikationen

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Fast sichere}}\\{\text{Konvergenz}}\end{matrix}}\implies {\begin{matrix}{\text{Konvergenz in}}\\{\text{Wahrscheinlichkeit}}\end{matrix}}\implies {\begin{matrix}{\text{Konvergenz in}}\\{\text{Verteilung}}\end{matrix}}}$

und

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Konvergenz im}}\\{\text{p-ten Mittel}}\end{matrix}}\implies {\begin{matrix}{\text{Konvergenz in}}\\{\text{Wahrscheinlichkeit}}\end{matrix}}\implies {\begin{matrix}{\text{Konvergenz in}}\\{\text{Verteilung}}\end{matrix}}}$.

Die Fast sichere Konvergenz i​st also e​iner der starken Konvergenzbegriffe d​er Wahrscheinlichkeitstheorie. In d​en unten stehenden Abschnitten s​ind die Beziehungen z​u den andere Konvergenzarten genauer ausgeführt.

Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

Aus d​er fast sicheren Konvergenz f​olgt die Konvergenz i​n Wahrscheinlichkeit. Um d​ies zu sehen, definiert m​an die Mengen

${\displaystyle B_{N}:=\{\omega \in \Omega \colon \vert X_{n}-X\vert <\epsilon \quad \forall n\geq N\}{\text{ und }}B:=\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$.

Die ${\displaystyle B_{N}}$ bilden eine monoton wachsende Mengenfolge, und die Menge ${\displaystyle B}$ enthält die Menge

${\displaystyle A:=\{\omega \in \Omega \colon \lim _{n\to \infty }X_{n}=X\}}$

der Elemente, auf denen die Folge punktweise konvergiert. Nach Voraussetzung ist ${\displaystyle P(A)=1}$ und damit auch ${\displaystyle P(B)=1}$ und demnach ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }P(B_{N})=1}$. Durch Komplementbildung folgt dann die Aussage.

Die Umkehrung gilt aber im Allgemeinen nicht. Ein Beispiel hierfür ist die Folge von Bernoulli-Verteilten Zufallsvariablen zum Parameter ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$, also ${\displaystyle X_{n}\sim \operatorname {Ber} _{\frac {1}{n}}}$. Dann ist

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(|X_{n}|\geq \epsilon )=0}$

für alle ${\displaystyle \epsilon >0}$ und somit konvergiert die Folge in Wahrscheinlichkeit gegen 0. Die Folge konvergiert aber nicht fast sicher, man zeigt dies mit dem hinreichenden Kriterium für fast sichere Konvergenz und dem Borel-Cantelli-Lemma.

Bedingungen, u​nter denen a​us der Konvergenz i​n Wahrscheinlichkeit d​ie fast sichere Konvergenz f​olgt sind:

• Die Konvergenzgeschwindigkeit der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit ist ausreichend schnell, sprich es gilt

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }P(\vert X_{i}-X\vert \geq \epsilon )<\infty }$.

• Der Grundraum ${\displaystyle \Omega }$ lässt sich als abzählbare Vereinigung von μ-Atomen darstellen. Dies ist bei Wahrscheinlichkeitsräumen mit höchstens abzählbarer Grundmenge immer möglich.
• Ist die Folge der Zufallsvariablen fast sicher streng monoton fallend und konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen 0, so konvergiert die Folge fast sicher gegen 0.

Allgemeiner besitzt j​ede in Wahrscheinlichkeit konvergierende Folge e​ine Teilfolge, d​ie fast sicher konvergiert.

Konvergenz in Verteilung

Die Skorochod-Darstellung trifft e​ine Aussage darüber, u​nter welchen Bedingungen a​us der Konvergenz i​n Verteilung a​uf die f​ast sichere Konvergenz geschlossen werden kann.

Konvergenz im p-ten Mittel

Im Allgemeinen f​olgt aus d​er Konvergenz i​m p-ten Mittel nicht d​ie fast sichere Konvergenz. Betrachtet m​an beispielsweise e​ine Folge v​on Zufallsvariablen mit

${\displaystyle P(X_{n}=0)=1-P(X_{n}=1)=1-{\tfrac {1}{n}}}$,

so ist für alle ${\displaystyle p>0}$

${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|^{p})=P(X_{n}=1)={\tfrac {1}{n}}}$,

was gegen null konvergiert. Somit konvergieren die Zufallsvariablen im ${\displaystyle p}$-ten Mittel gegen 0. Jedoch kann die Abhängigkeits-Struktur der ${\displaystyle X_{n}}$ untereinander (das heißt das Zusammenspiel der Träger der ${\displaystyle X_{n}}$ in ${\displaystyle \Omega }$) so gestaltet sein, dass die ${\displaystyle X_{n}}$ nicht fast sicher konvergieren. Ein ähnliches aber detaillierteres und konkreteres Beispiel ist im Artikel Konvergenz (Stochastik) zu finden.

Konvergiert allerdings eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ im p-ten Mittel gegen ${\displaystyle X}$ und gilt

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} (|X_{n}-X|^{p})<\infty }$,

dann konvergiert die Folge auch fast sicher gegen ${\displaystyle X}$. Die Konvergenz muss also „schnell genug“ sein. (Alternativ kann man auch nutzen, dass bei Gültigkeit des Konvergenzsatz von Vitali die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit und die fast sichere Konvergenz zusammenfallen. Sind somit die Voraussetzungen dieses Satzes erfüllt, so folgt aus Konvergenz im ${\displaystyle p}$-ten Mittel die fast sichere Konvergenz, da aus der Konvergenz im ${\displaystyle p}$-ten Mittel automatisch die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit folgt.)

Umgekehrt folgt aus der fast sicheren Konvergenz auch nicht die Konvergenz im ${\displaystyle p}$-ten Mittel. Betrachtet man beispielsweise auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),{\mathcal {U}}_{[0,1]})}$ die Zufallsvariablen

${\displaystyle X_{n}(\omega )=n^{2}\cdot \mathbf {1} _{\left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]}(\omega )}$,

so konvergiert diese für ${\displaystyle \omega \in (0,1]}$ punktweise gegen 0 und damit auf ganz ${\displaystyle [0,1]}$ fast sicher gegen 0 (${\displaystyle {\mathcal {U}}_{[0,1]}}$ bezeichnet hier die Gleichverteilung auf ${\displaystyle [0,1]}$).

Es ist aber ${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|^{p})=n^{2p-1}}$ und die Folge ist demnach unbeschränkt für alle ${\displaystyle p\geq 1}$, kann also nicht konvergieren.

Allerdings liefert der Satz von der majorisierten Konvergenz ein Kriterium, unter dem diese Folgerung korrekt ist. Konvergieren die ${\displaystyle X_{n}}$ fast sicher und existiert eine Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ mit ${\displaystyle \operatorname {E} (\vert Y\vert ^{p})<\infty }$ und ist ${\displaystyle X_{n}\leq Y}$ fast sicher, so konvergieren die ${\displaystyle X_{n}}$ im ${\displaystyle p}$-ten Mittel gegen ${\displaystyle X}$ und auch für ${\displaystyle X}$ gilt ${\displaystyle \operatorname {E} (\vert X\vert ^{p})<\infty }$.

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 216–238, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.