Bestimmtheitsmaß

Das Bestimmtheitsmaß, auch Determinationskoeffizient (von lateinisch determinatio „Abgrenzung, Bestimmung“ bzw. determinare „eingrenzen“, „festlegen“, „bestimmen“ und coefficere „mitwirken“), bezeichnet mit ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$, ist in der Statistik eine Kennzahl zur Beurteilung der Anpassungsgüte einer Regression – beispielsweise, um zu bewerten, wie gut Messwerte zu einem Modell passen. Das Bestimmtheitsmaß beruht auf der Quadratsummenzerlegung, bei der die totale Quadratsumme in die (durch das Regressionsmodell) erklärte Quadratsumme und in die Residuenquadratsumme zerlegt wird.

Dieses Streudiagramm zeigt zwei konkrete empirische Regressionsgeraden einer linearen Einfachregression, die jeweils bestmöglich durch die „Punktwolke“ der Messung gelegt wurden. Zu erkennen ist, dass die obere Gerade eine bessere Anpassung an die Daten liefert als die untere. Formal lässt sich dies anhand eines höheren R-Quadrat-Wertes erkennen (${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=98{,}92\,\%}$ vs. ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=57{,}13\,\%}$).

In der einfachen und multiplen linearen Regression ist das Bestimmtheitsmaß definiert als „der Anteil der durch die Regression erklärten Quadratsumme an der zu erklärenden totalen Quadratsumme“ und gibt an, wie viel Streuung in den Daten durch ein vorliegendes lineares Regressionsmodell „erklärt“ werden kann. Das Bestimmtheitsmaß entspricht bei der einfachen linearen Regression und der multiplen linearen Regression genau dem Quadrat des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten. Ansonsten existieren unterschiedliche Definitionen, wie zum Beispiel bei den Pseudo-Bestimmtheitsmaßen. Das Bestimmtheitsmaß steht in enger Beziehung zu weiteren Modellgütemaßen zur Prüfung der Regressionsfunktion, wie z. B. zum Standardfehler der Regression und zur F-Statistik. Weil das Bestimmtheitsmaß durch die Aufnahme zusätzlicher Variablen wächst und die Gefahr der Überanpassung besteht, wird für praktische Anwendungen meist das adjustierte Bestimmtheitsmaß verwendet. Das adjustierte Bestimmtheitsmaß „bestraft“ im Gegensatz zum unadjustierten Bestimmtheitsmaß die Aufnahme jeder neu hinzugenommenen erklärenden Variable.

Obwohl d​as Bestimmtheitsmaß d​ie am häufigsten benutzte Kennzahl ist, u​m die globale Anpassungsgüte e​iner Regression z​u quantifizieren, w​ird es o​ft fehlinterpretiert u​nd falsch angewendet, a​uch da b​ei einer Regression d​urch den Ursprung zahlreiche alternative Definitionen d​es Bestimmtheitsmaßes n​icht äquivalent sind. Das Bestimmtheitsmaß i​st ein reines Zusammenhangsmaß. So i​st es n​icht möglich, d​as Bestimmtheitsmaß z​u verwenden, u​m einen direkten kausalen Zusammenhang zwischen d​en Variablen nachzuweisen. Außerdem z​eigt das Bestimmtheitsmaß n​ur die Größe d​es Zusammenhangs zwischen d​en Variablen, a​ber nicht, o​b dieser Zusammenhang statistisch signifikant ist.

Einführung in die Problemstellung

Regressiongerade ${\displaystyle {\hat {y}}}$ als Schätzer (Modellfunktion) für den Zusammenhang von Größe und Gewicht der Probanden. ${\displaystyle {\hat {y}}(x_{i})={\hat {y}}_{i}}$ ist das geschätzte Gewicht des Probanden bei einer gegebenen Größe ${\displaystyle x_{i}}$. Der Restfehler (das Residuum) ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}}$ stellt die Differenz zwischen dem Messwert ${\displaystyle y_{i}}$ und Schätzwert ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ dar.

Gegeben sind ${\displaystyle n}$ Messungen ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$, d. h. bei dem ${\displaystyle i}$-ten Wertepaar ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ wird einem Wert ${\displaystyle x_{i}}$ (z. B. Größe einer Person) ein Messwert ${\displaystyle y_{i}}$ (z. B. das gemessene Gewicht der Person) zugeordnet. Dazu berechnet man den empirischen Mittelwert ${\displaystyle \textstyle {\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$ (z. B. das mittlere Gewicht der Probanden). Ferner gibt es einen Schätzer ${\displaystyle {\hat {y}}}$ (Modellfunktion), der jedem Wert ${\displaystyle x_{i}}$ (z. B. Größe) einen Schätzwert ${\displaystyle {\hat {y}}(x_{i})\equiv {\hat {y}}_{i}}$ (geschätztes Gewicht für eine Person mit Größe ${\displaystyle x_{i}}$) zuordnet. Die Abweichung einer Schätzung ${\displaystyle {\hat {y}}(x_{i})}$ von der zugehörigen Messung ${\displaystyle y_{i}}$ ist durch ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}\equiv y_{i}-{\hat {y}}(x_{i})=y_{i}-{\hat {y_{i}}}}$ gegeben und wird „Residuum“ genannt. Bei der einfachen linearen Regression, die zum Ziel hat, das Absolutglied (englisch intercept) ${\displaystyle \beta _{0}}$, die Steigung (englisch slope) ${\displaystyle \beta _{1}}$ und die Störgrößenvarianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ zu schätzen, wird der Schätzer anschaulich durch die Regressionsgerade beschrieben und mathematisch durch die Stichproben-Regressionsfunktion ${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {y}}(x)=\beta _{0}+\beta _{1}x}$ definiert. Die beiden Parameterschätzer ${\displaystyle \beta _{0}}$ und ${\displaystyle \beta _{1}}$ werden auch als Kleinste-Quadrate-Schätzer bezeichnet.[A 1] Wenn das zugrundeliegende Modell ein von Null verschiedenes Absolutglied ${\displaystyle \beta _{0}}$ enthält, stimmt der empirische Mittelwert der Schätzwerte ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ mit dem der beobachteten Messwerte ${\displaystyle y_{i}}$ überein, also

${\displaystyle \textstyle {\overline {\hat {y}}}={\tfrac {1}{n}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}{\hat {y_{i}}}={\overline {y}}={\tfrac {1}{n}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}{y_{i}}}$ (für einen Beweis siehe unter Matrixschreibweise).

Es empfiehlt sich, n​ach der Schätzung d​er Regressionsparameter d​ie Regressionsgerade gemeinsam m​it den Datenpunkten i​n ein Streudiagramm einzuzeichnen. Auf d​iese Weise bekommt m​an eine Vorstellung davon, w​ie „gut“ d​ie Punkteverteilung d​urch die Regressionsgerade wiedergegeben wird. Je e​nger die Datenpunkte u​m die Regressionsgerade h​erum konzentriert sind, d. h. j​e kleiner a​lso die Residuenquadrate sind, d​esto „besser“. In diesem Zusammenhang i​st allerdings z​u beachten, d​ass die Residuenquadrate typischerweise k​lein sind, w​enn die abhängige Variable e​ine geringe Variabilität aufweist. Die geforderte Kleinheit d​er Residuenquadrate m​uss also i​n Relation z​ur Streuung d​er abhängigen Variablen betrachtet werden.[1]

Ein Maß zur Beurteilung der Anpassungsgüte sollte außerdem die Streuung der Messwerte und die der geschätzten Werte in Relation setzen. Die Streuung der jeweiligen Werte um ihren Mittelwert kann mithilfe der „Summe der Abweichungsquadrate“ (Summe der Quadrate bzw. englisch Sum of Squares, kurz: SQ oder SS) gemessen werden. Das „mittlere Abweichungsquadrat“ stellt die empirische Varianz dar. Die Streuung der Schätzwerte ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ um ihren Mittelwert ${\displaystyle {\overline {\hat {y}}}={\overline {y}}}$ kann durch ${\displaystyle \textstyle SQE\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}}$ gemessen werden und die Streuung der Messwerte ${\displaystyle y_{i}}$ um das Gesamtmittel ${\displaystyle {\overline {y}}}$ kann durch ${\displaystyle \textstyle SQT\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}$ gemessen werden. Erstere stellt die durch die Regression „erklärte Quadratsumme“ (Summe der Quadrate der Erklärten Abweichungen bzw. englisch Sum of Squares Explained, kurz: SQE oder SSE), und letztere stellt die „zu erklärende Quadratsumme“ bzw. die „totale Quadratsumme“ (Summe der Quadrate der Totalen Abweichungen bzw. englisch Sum of Squares Total, kurz: SQT oder SST) dar. Das Verhältnis dieser beiden Größen wird das Bestimmtheitsmaß der Regression genannt (für die Berechnung des Bestimmtheitsmaßes zum Körpergröße-Körpergewicht-Beispiel mittels statistischer Software siehe unter Bestimmtheitsmaß in R). Das Bestimmtheitsmaß zeigt, wie gut die durch die Schätzung gefundene Modellfunktion zu den Daten passt, d. h. wie gut sich die konkrete empirische Regressionsgerade einer angenommenen wahren Gerade ${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x}$ annähert. Die durch die Regression „nicht erklärten Abweichungen“ (Restabweichungen), d. h. die Abweichungen der Datenpunkte von der Regressionsgeraden werden durch die Regression „nicht erklärte Quadratsumme“ bzw. die Residuenquadratsumme (Summe der Quadrate der Restabweichungen (oder: „Residuen“) bzw. englisch Sum of Squares Residual, kurz: SQR oder SSR) erfasst, die durch ${\displaystyle \textstyle SQR\equiv \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}$ gegeben ist.[2][A 2]

Das Bestimmtheitsmaß

Definition

Das Bestimmtheitsmaß d​er Regression, a​uch empirisches Bestimmtheitsmaß,[A 3] i​st eine dimensionslose Maßzahl, d​ie den Anteil d​er Variabilität i​n den Messwerten d​er abhängigen Variablen ausdrückt, d​er durch d​as lineare Modell „erklärt“ wird.[3][4] Gegeben d​ie Quadratsummenzerlegung i​st das Bestimmtheitsmaß d​er Regression definiert a​ls das Verhältnis d​er durch d​ie Regression erklärten Quadratsumme z​ur totalen Quadratsumme:[5][A 4]

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}\equiv {\frac {SQE}{SQT}}={\frac {\displaystyle \sum \nolimits \left({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits \left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}}}=1-{\frac {SQR}{SQT}}=1-{\frac {\displaystyle \sum \nolimits \left(y_{i}-{\hat {y}}_{i}\right)^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits \left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}}}}$,

wobei angenommen wird, dass für die totale Quadratsumme ${\displaystyle SQT\neq 0}$ gilt. Dies ist praktisch immer erfüllt, außer für den Fall, dass die Messwerte der abhängigen Variable keinerlei Variabilität aufweisen, d. h. ${\displaystyle y_{1}=y_{2}=\ldots =y_{n}={\overline {y}}}$. In diesem Falle ist das Bestimmtheitsmaß nicht definiert.[6] Die zweite Gleichheit, die sich mithilfe der Quadratsummenzerlegung zeigen lässt, ist eine alternative Berechnungsformel für das Bestimmtheitsmaß. Die alternative Berechnungsformel setzt die geforderte Kleinheit der Residuenquadrate in Relation zur gesamten Quadratsumme. Die zur Konstruktion des Bestimmtheitsmaßes verwendete Quadratsummenzerlegung kann als „Streuungszerlegung“ interpretiert werden, bei der die „Gesamtstreuung“ in die „erklärte Streuung“ und die „Reststreuung“ zerlegt wird.[A 5] Das Bestimmtheitsmaß ist also gerade als jener Anteil der Gesamstreuung ${\displaystyle SQT}$ zu deuten, der mit der Regressionsfunktion erklärt werden kann. Der unerklärte Teil bleibt als Reststreuung zurück.

Das Bestimmtheitsmaß dient als Maßzahl zur Beurteilung der globalen Anpassungsgüte eines Regressionsmodells. In der einfachen linearen Regression und der multiplen linearen Regression entspricht das Bestimmtheitsmaß dem Quadrat des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten ${\displaystyle r_{xy}}$ (siehe auch unter Als quadrierter Korrelationskoeffizient). Dieser Umstand ist dafür verantwortlich, dass das Bestimmtheitsmaß als ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ (lies: R Quadrat) oder ${\displaystyle r^{2}}$ notiert wird. In deutschsprachiger Literatur findet sich auch der Buchstabe ${\displaystyle B}$ als Bezeichnung für das Bestimmtheitsmaß. In den Anfängen der Statistik wurde mit dem Buchstaben ${\displaystyle {\mathit {R}}}$ ein Schätzer des Korrelationskoeffizienten der Grundgesamtheit notiert und in der Regressionsanalyse wird diese Notation noch heute verwendet.[6]

Wertebereich des Bestimmtheitsmaßes

Mithilfe der obigen Definition können die Extremwerte für das Bestimmtheitsmaß aufgezeigt werden. Für das Bestimmtheitsmaß gilt, dass es umso näher am Wert ${\displaystyle 1}$ ist, je kleiner die Residuenquadratsumme ist. Es wird maximal gleich ${\displaystyle 1}$, wenn ${\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}=0}$ ist, also alle Residuen null sind. In diesem Fall ist die Anpassung an die Daten perfekt, was bedeutet, dass für jede Beobachtung ${\displaystyle y_{i}={\hat {y}}_{i}}$ ist und alle Beobachtungspunkte des Streudiagramms auf der Regressionsgeraden liegen. Das Bestimmtheitsmaß nimmt hingegen den Wert ${\displaystyle 0}$ an, wenn ${\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}=0}$ beziehungsweise ${\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}=\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}$ ist. Diese Gleichung besagt, dass die „nicht erklärte Streuung“ der „gesamten zu erklärenden Streuung“ entspricht und die erklärenden Variablen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ somit keinen Beitrag zur Erklärung der Gesamtstreuung leisten. Die gesamte zu erklärende Streuung wird in diesem Fall durch die Residuen hervorgerufen und die Regressionsgleichung „erklärt“ gar nicht.[7] Aus einer allgemeinen Betrachtung inklusive der beiden genannten Fälle folgt ${\displaystyle -\infty <{\mathit {R}}^{2}\leq 1}$. Wenn das Regressionsmodell kein Absolutglied enthält (es liegt ein homogenes Regressionsmodell vor), kann das Bestimmtheitsmaß negativ werden (siehe unter Einfache lineare Regression durch den Ursprung).[8] Ebenfalls kann das Bestimmtheitsmaß negativ werden, wenn es auf simultane Gleichungsmodelle angewendet wird, da in diesem Kontext ${\displaystyle {\overline {\hat {y}}}}$ nicht notwendigerweise gleich ${\displaystyle {\overline {y}}}$ ist.[9]

Als quadrierter Korrelationskoeffizient

Bei einer einfachen linearen Regression (nur eine erklärende Variable) ${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+x_{i}\beta _{1}+\varepsilon _{i}}$ entspricht das Bestimmtheitsmaß dem Quadrat des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten ${\displaystyle r_{xy}}$ und lässt sich aus der Produktsumme ${\displaystyle SP_{xy}}$ (Summe der Produkte der Abweichungen der Messwerte vom jeweiligen Mittelwert ${\displaystyle (x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})}$) und den Quadratsummen ${\displaystyle SQ_{x}}$ und ${\displaystyle SQ_{y}}$ berechnen:[5]

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}={\frac {\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {\hat {y}}})^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}}}={\frac {b_{1}^{2}\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}}}=\left({\frac {SP_{xy}}{SQ_{x}}}\right)^{2}\cdot {\frac {SQ_{x}}{SQ_{y}}}=\left({\frac {SP_{xy}}{\sqrt {SQ_{x}SQ_{y}}}}\right)^{2}=r_{xy}^{2}}$,

wobei der Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung ${\displaystyle b_{1}=SP_{xy}/SQ_{x}}$ der Quotient aus Produktsumme von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ und Quadratsumme von ${\displaystyle x}$ ist. In der einfachen linearen Regression ist ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=0}$, wenn ${\displaystyle b_{1}=0}$ ist, d. h. die erklärende Variable steht zur Schätzung von ${\displaystyle y}$ nicht zur Verfügung. Dies folgt aus der Tatsache, dass in der einfachen linearen Regression ${\displaystyle SQE=b_{1}^{2}\cdot SQ_{x}}$[A 6] gilt. In diesem Fall besteht das „beste“ lineare Regressionsmodell nur aus dem Absolutglied ${\displaystyle b_{0}}$. Das so definierte Bestimmtheitsmaß ist ebenfalls gleich null, wenn der Korrelationskoeffizient ${\displaystyle r_{xy}}$ gleich null ist, da es in der einfachen linearen Regression dem quadrierten Korrelationskoeffizienten zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ entspricht. Im Kontext der einfachen linearen Regression wird das Bestimmtheitsmaß auch als einfaches Bestimmtheitsmaß bezeichnet. Bei der Interpretation des einfachen Bestimmtheitsmaßes muss man vorsichtig sein, da es u. U. schon deshalb groß ist, weil die Steigung ${\displaystyle b_{1}}$ der Regressionsgeraden groß ist.[10]

In d​er Realität hängen abhängige Variablen i​m Allgemeinen v​on mehr a​ls einer erklärenden Variablen ab. Zum Beispiel i​st das Gewicht e​ines Probanden n​icht nur v​on dessen Alter, sondern a​uch von dessen sportlicher Betätigung u​nd psychologischen Faktoren abhängig. Bei e​iner multiplen Abhängigkeit g​ibt man d​ie Annahme d​er einfachen linearen Regression auf, b​ei der d​ie abhängige Variable n​ur von e​iner erklärenden Variablen abhängt. Um e​ine mehrfache Abhängigkeit z​u modellieren, benutzt m​an ein typisches multiples lineares Regressionsmodell

${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}+\varepsilon _{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle p=k+1}$ die Anzahl der zu schätzenden unbekannten Parameter und ${\displaystyle k}$ die Anzahl der erklärenden Variablen. Zusätzlich zur Dimension der unabhängigen Variablen wird auch eine zeitliche Dimension integriert, wodurch sich ein lineares Gleichungssystem ergibt, was sich in Vektor-Matrix-Form darstellen lässt.

Im Gegensatz zur einfachen linearen Regression entspricht in der multiplen linearen Regression das ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten zwischen den Messwerten ${\displaystyle y_{i}}$ und den Schätzwerten ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ (für einen Beweis siehe unter Matrixschreibweise), also[11][9]

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}={\frac {\left[\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})\right]^{2}}{\left[\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}\right]\left[\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}\right]}}=r_{y{\hat {y}}}^{2}}$.

Im Kontext der multiplen linearen Regression wird das Bestimmtheitsmaß auch als mehrfaches bzw. multiples Bestimmtheitsmaß bezeichnet. Aufgrund des oben aufgezeigten Zusammenhangs kann das multiple Bestimmtheitsmaß als eine Maßzahl für die Anpassungsgüte der geschätzten Regressionshyperebene ${\displaystyle {\hat {y}}=b_{0}+x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\dotsc +x_{k}b_{k}}$ an die Realisierungen ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$ der Zufallsvariablen ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}}$ angesehen werden. Es ist also ein Maß des linearen Zusammenhangs zwischen ${\displaystyle y_{i}}$ und ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$.[9]

Hierarchisch geordnete Modelle

Sei der ${\displaystyle \mathbf {x} }$ der Vektor der erklärenden Variablen. Ferner wird angenommen, dass ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in zwei Teilvektoren ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ und ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ partitioniert wird, d. h. ${\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})}$. Sei weiterhin ${\displaystyle {\mathtt {full}}}$ das volle Modell ${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\mathbf {x} _{i1}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{1}+\mathbf {x} _{i2}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{2}+\varepsilon _{i}}$ und ${\displaystyle {\mathtt {sub}}}$ und ein darin enthaltenes Teilmodell ${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\mathbf {x} _{i1}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{1}+\varepsilon _{i}}$. Dann gilt ${\displaystyle {\mathit {R}}_{\mathtt {full}}^{2}\geq {\mathit {R}}_{\mathtt {sub}}^{2}}$, d. h. für hierarchisch geordnete Modelle ist das Bestimmtheitsmaß des Teilmodells immer kleiner oder gleich dem Bestimmtheitsmaß des vollen Modells.[11] Dies bedeutet, dass das Bestimmtheitsmaß mit zunehmender Anzahl der erklärenden Variablen automatisch ansteigt, ohne dass sich dabei die Güte der Anpassung signifikant verbessern muss.

Interpretation

Streudiagramm der Residuen ohne Struktur, das ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=0}$ liefert

Streudiagramm der Residuen, das ein ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ nahe bei ${\displaystyle 1}$ liefert

Das Bestimmtheitsmaß lässt sich mit ${\displaystyle 100\,\%}$ multiplizieren, um es in Prozent anzugeben: ${\displaystyle 100\,\%\cdot {\mathit {R}}^{2}}$ ist dann der prozentuale Anteil der Streuung in ${\displaystyle y}$, der durch das lineare Modell „erklärt“ wird, und liegt daher zwischen:[6]

• ${\displaystyle 0\,\%}$ (oder ${\displaystyle 0}$): kein linearer Zusammenhang und
• ${\displaystyle 100\,\%}$ (oder ${\displaystyle 1}$): perfekter linearer Zusammenhang.

Je näher das Bestimmtheitsmaß am Wert Eins liegt, desto höher ist die „Bestimmtheit“ bzw. „Güte“ der Anpassung. Bei ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=0}$ ist der lineare Schätzer ${\displaystyle {\hat {y}}}$ im Regressionsmodell völlig unbrauchbar für die Vorhersage des Zusammenhangs zwischen ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle y_{i}}$ (z. B. kann man das tatsächliche Gewicht der Person ${\displaystyle y_{i}}$ überhaupt nicht mit dem Schätzer ${\displaystyle {\hat {y}}}$ vorhersagen). Ist ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=1}$, dann lässt sich die abhängige Variable ${\displaystyle y}$ vollständig durch das lineare Regressionsmodell erklären. Anschaulich liegen dann die Messpunkte ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ alle auf der (nichthorizontalen) Regressionsgeraden. Somit liegt bei diesem Fall kein stochastischer Zusammenhang vor, sondern ein deterministischer.

Durch die Aufnahme zusätzlicher erklärender Variablen kann das Bestimmtheitsmaß nicht sinken. Das Bestimmtheitsmaß hat die Eigenschaft, dass es i. d. R. durch die Hinzunahme weiterer erklärender Variablen steigt (${\displaystyle k\uparrow \;\Rightarrow \;{\mathit {R}}^{2}\uparrow }$), was scheinbar die Modellgüte steigert und zum Problem der Überanpassung führen kann. Das Bestimmtheitsmaß steigt durch die Hinzunahme weiterer erklärender Variablen, da durch die Hinzunahme dieser der Wert der Residuenquadratsumme sinkt. Auch wenn dem Modell irrelevante „erklärende Variablen“ hinzugefügt werden, können diese zu Erklärung der Gesamtstreuung beitragen und den R-Quadrat-Wert künstlich steigern. Da die Hinzunahme jeder weiteren erklärenden Variablen mit einem Verlust eines Freiheitsgrads verbunden ist, führt dies zu einer ungenaueren Schätzung. Wenn man Modelle mit einer unterschiedlichen Anzahl erklärender Variablen und gleichen unabhängigen Variablen vergleichen will, ist die Aussagekraft des Bestimmtheitsmaßes begrenzt.[12] Um solche Modelle vergleichen zu können, wird ein „adjustiertes“ Bestimmtheitsmaß verwendet, welches zusätzlich die Freiheitsgrade berücksichtigt (siehe auch unter Das adjustierte Bestimmtheitsmaß).

Aus d​em Bestimmtheitsmaß k​ann man i​m Allgemeinen n​icht schließen, o​b das angenommene Regressionsmodell d​em tatsächlichen funktionalen Zusammenhang i​n den Messpunkten entspricht (siehe a​uch unter Grenzen u​nd Kritik). Der Vergleich d​es Bestimmtheitsmaßes über Modelle hinweg i​st nur sinnvoll, w​enn eine gemeinsame abhängige Variable vorliegt u​nd wenn d​ie Modelle d​ie gleiche Anzahl v​on Regressionsparametern u​nd ein Absolutglied aufweisen.[13] Da m​it dem Bestimmtheitsmaß a​uch indirekt d​er Zusammenhang zwischen d​er abhängigen u​nd den unabhängigen Variablen gemessen wird, i​st es e​in proportionales Fehlerreduktionsmaß.[14][15]

In den Sozialwissenschaften sind niedrige R-Quadrat-Werte in Regressionsgleichungen nicht ungewöhnlich.[16] Bei Querschnittsanalysen treten häufig niedrige R-Quadrat-Werte auf. Dennoch bedeutet ein kleines Bestimmtheitsmaß nicht notwendigerweise, dass die Kleinste-Quadrate-Regressionsgleichung unnütz ist. Es ist immer noch möglich, dass die Regressionsgleichung ein guter Schätzer für den ceteris-paribus-Zusammenhang zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ist. Ob die Regressionsgleichung ein guter Schätzer für den Zusammenhang von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ist hängt nicht direkt von der Größe des Bestimmtheitsmaßes ab.[17]

Cohen u​nd Cohen (1975) u​nd Kennedy (1981) konnten zeigen, d​ass sich d​as Bestimmtheitsmaß graphisch mittels Venn-Diagrammen veranschaulichen lässt.[18]

Konstruktion

→ Hauptartikel: Totale Quadratsumme#Zerlegung der totalen Quadratsumme

Diese Graphik zeigt die Zerlegung der „zu erklärenden Abweichung“ bzw. „totalen Abweichung“ ${\displaystyle \left(y_{i}-{\overline {y}}\right)}$ in die „erklärte Abweichung“ ${\displaystyle \left({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}}\right)}$ und die „nicht erklärte Abweichung“ bzw. „Restabweichung“ ${\displaystyle \left(y_{i}-{\hat {y}}_{i}\right)}$.

Ausgangspunkt für die Konstruktion des Bestimmtheitsmaßes ist die Quadratsummenzerlegung, die als Streuungszerlegung interpretiert werden kann. In Bezug auf ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ lässt sich ${\displaystyle y_{i}}$ darstellen als[19]

${\displaystyle y_{i}={\overline {y}}+\left({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}}\right)+y_{i}-{\hat {y}}_{i}}$

oder äquivalent

${\displaystyle \underbrace {(y_{i}-{\overline {y}})} _{\mathrm {zu\;erkl{\ddot {a}}rende\;Abweichung} }\quad =\quad \underbrace {({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})} _{\mathrm {erkl{\ddot {a}}rte\;Abweichung} }\quad +\quad \underbrace {(y_{i}-{\hat {y}}_{i})} _{\mathrm {nicht\;erkl{\ddot {a}}rte\;Abweichung} }}$,

wobei ${\displaystyle \left(y_{i}-{\overline {y}}\right)}$ die Abweichung von ${\displaystyle y_{i}}$ vom Mittelwert ${\displaystyle {\overline {y}}}$ und ${\displaystyle y_{i}-{\hat {y}}_{i}=\varepsilon _{i}}$ die Restabweichung bzw. das Residuum darstellt. Die Gesamtabweichung lässt sich also zerlegen in die erklärte Abweichung und das Residuum. Die Gleichheit gilt auch dann noch, wenn man die Abweichungen quadriert (Abweichungsquadrate bildet) und anschließend über alle Beobachtungen summiert (Abweichungsquadratsummen, kurz: Quadratsummen bildet). Die totale Quadratsumme bzw. die zu „erklärende“ Quadratsumme lässt sich in die Quadratsumme der durch die Regressionsfunktion „erklärten“ Abweichungen vom Gesamtmittel (durch das Modell „erklärte“ Quadratsumme) und die Residuenquadratsumme (durch das Modell nicht „erklärte“ Quadratsumme) zerlegen. Die Quadratsummenzerlegung ergibt somit[20]

${\displaystyle \underbrace {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}} _{\mathrm {zu\;erkl{\ddot {a}}rende\;Quadratsumme} }\quad =\quad \underbrace {\sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}} _{\mathrm {erkl{\ddot {a}}rte\;Quadratsumme} }\quad +\quad \underbrace {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}} _{\mathrm {nicht\;erkl{\ddot {a}}rte\;Quadratsumme} }}$ oder äquivalent dazu

${\displaystyle SQT=SQE+SQR}$.

Diese Zerlegung f​olgt in z​wei Schritten. Im ersten Schritt w​ird eine Nullergänzung vorgenommen:

${\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}=\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-\underbrace {{\hat {y}}_{i}+{\hat {y}}_{i}} _{=0}-{\overline {y}})^{2}=\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}+2\underbrace {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})} _{=0}+\sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}}$.

Diese Animation zeigt die Streuungszerlegung, d. h. die Zerlegung der Gesamtstreuung in die erklärte Streuung (der Anteil der Gesamtstreuung, der durch ${\displaystyle {\hat {y}}}$ erklärt werden kann) und die Reststreuung. Ebenfalls zu sehen ist, dass die – durch die Kleinste-Quadrate-Schätzung gewonnene – Regressionsgerade durch das „Gravitationszentrum“ ${\displaystyle G({\overline {x}},{\overline {y}})}$ der Punkteverteilung im Streudiagramm verläuft (siehe auch algebraische Eigenschaften der Kleinste-Quadrate-Schätzer).

Im zweiten Schritt wurde die Eigenschaft benutzt, dass gewöhnliche Residuen ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}=y_{i}-{\hat {y}}_{i}}$ vorliegen, die mit den geschätzten Werten unkorreliert sind, d. h. ${\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}{\hat {y}}_{i}=0}$. Dies kann so interpretiert werden, dass in der Schätzung bereits alle relevante Information der erklärenden Variablen bezüglich der abhängigen Variablen steckt.[21] Zudem wurde die Eigenschaft verwendet, dass – wenn das Modell das Absolutglied enthält – die Summe ${\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}$ und damit der empirische Mittelwert der Residuen Null ist.[22] Dies folgt aus den verwendeten Schätzverfahren (Maximum-Likelihood-Schätzung bei der klassischen Normalregression oder Kleinste-Quadrate-Schätzung), denn dort müssen die ersten partiellen Ableitungen der Residuenquadratsumme nach ${\displaystyle \beta _{i}}$ gleich Null gesetzt werden um das Maximum bzw. Minimum zu finden, also für ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}$: ${\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0}$ bzw. für ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{k}}$ mit ${\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{ij}{\hat {\varepsilon }}_{i}=0,\;j=1,2,\ldots ,k}$ (siehe Algebraische Eigenschaften). Werden die Regressionsparameter mittels der Kleinste-Quadrate-Schätzung geschätzt, dann wird der Wert für ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ automatisch maximiert, da die Kleinste-Quadrate-Schätzung die Residuenquadratsumme minimiert.

Im Anschluss a​n die Zerlegung dividiert m​an die Quadratsummenzerlegungsformel d​urch die totale Quadratsumme u​nd erhält damit[23]

${\displaystyle 1={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}+{\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}$

oder

${\displaystyle {\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}=1-{\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}$.

Das Verhältnis d​er durch d​ie Regression erklärten Quadratsumme z​ur gesamten Quadratsumme

${\displaystyle {\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}={\mathit {R}}^{2}}$

wird Bestimmtheitsmaß d​er Regression genannt. Aus d​er Quadratsummenzerlegungsformel w​ird ersichtlich, d​ass man d​as Bestimmtheitsmaß a​uch als

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}={\frac {SQE}{SQT}}={\frac {SQT-SQR}{SQT}}=1-{\frac {SQR}{SQT}}}$

darstellen kann. Wenn die obige Quadratsummenzerlegungsformel durch den Stichprobenumfang ${\displaystyle n}$ beziehungsweise durch die Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle (n-1)}$ dividiert wird, erhält man die Varianzzerlegungsformel: ${\displaystyle s_{y}^{2}=s_{\hat {y}}^{2}+s_{\hat {\varepsilon }}^{2}}$. Die Varianzzerlegung stellt eine additive Zerlegung der Varianz der abhängigen Variablen (totale Varianz bzw. Gesamtvarianz) ${\displaystyle s_{y}^{2}}$ in die Varianz der Schätzwerte ${\displaystyle s_{\hat {y}}^{2}}$ (erklärte Varianz) und die nicht erklärte Varianz ${\displaystyle s_{\hat {\varepsilon }}^{2}}$ (auch Residualvarianz genannt) dar.[7] Hierbei entspricht die Residualvarianz dem Maximum-Likelihood-Schätzer ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{2}}$ für die Varianz der Störgrößen ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Aufgrund der Varianzzerlegung lässt sich das Bestimmtheitsmaß auch als ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=s_{\hat {y}}^{2}/s_{y}^{2}}$ darstellen und wie folgt interpretieren: Das Bestimmtheitsmaß gibt an, wie viel Varianzaufklärung alle erklärenden Variablen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ an der Varianz der abhängigen Variablen ${\displaystyle s_{y}^{2}}$ leisten. Diese Interpretation ist jedoch nicht ganz korrekt, da die Quadratsummen eigentlich unterschiedliche Freiheitsgrade aufweisen. Diese Interpretation trifft eher auf das adjustierte Bestimmtheitsmaß zu, da hier die erwartungstreuen Varianzschätzer ins Verhältnis gesetzt werden.[24] Im Gegensatz zur Varianzaufklärung beim Bestimmtheitsmaß kann man bei der Varianzaufklärung in der Hauptkomponenten- und Faktorenanalyse jeder Komponente bzw. jedem Faktor seinen Beitrag zur Aufklärung der gesamten Varianz zuordnen. Kent (1983) hat eine allgemeine Definition der Varianzaufklärung gegeben, die auf dem Informationsmaß von Fraser (1965) aufbaut.

Einfache lineare Regression durch den Ursprung

Die blaue Regressionsgerade verläuft durch den Ursprung und die violette nicht, da ein Ausreißer sie nach oben verschiebt.

Im Fall der einfachen linearen Regression durch den Ursprung/Regression ohne Absolutglied (das Absolutglied ${\displaystyle \beta _{0}}$ wird nicht in die Regression miteinbezogen und daher verläuft die Regressionsgleichung durch den Koordinatenursprung) lautet die konkrete empirische Regressionsgerade ${\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {\beta }}_{1}x}$, wobei die Notation ${\displaystyle {\tilde {y}},{\tilde {\beta }}_{1}}$ benutzt wird um von der allgemeinen Problemstellung der Schätzung eines Steigungsparameters mit Hinzunahme eines Absolutglieds zu unterscheiden. Auch in einer einfachen linearen Regression durch den Ursprung lässt sich die Kleinste-Quadrate-Schätzung anwenden. Sie liefert für die Steigung ${\displaystyle \textstyle {\tilde {\beta }}_{1}=\left(\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)/\left(\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)}$. Dieser Schätzer für den Steigungsparameter ${\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}$ entspricht dem Schätzer für den Steigungsparameter ${\displaystyle b_{1}}$, dann und nur dann wenn ${\displaystyle {\overline {x}}=0}$. Wenn für das wahre Absolutglied ${\displaystyle \beta _{0}\neq 0}$ gilt, ist ${\displaystyle {\tilde {\beta }}_{1}}$ ein verzerrter Schätzer für den wahren Steigungsparameter ${\displaystyle \beta _{1}}$.

Wenn in eine Regressionsgleichung kein Absolutglied hinzugenommen wird, nimmt der aus der obigen Quadratsummenzerlegungsformel entnommene Ausdruck ${\displaystyle \textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y_{i}}})({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})}$ nicht den Wert Null an. Daher ist die oben angegebene Quadratsummenzerlegungsformel in diesem Fall nicht gültig. Wenn das Modell der Regression durch den Ursprung eine hinreichend schlechte Anpassung an die Daten liefert (d. h. die Daten variieren mehr um die Regressionslinie als um ${\displaystyle {\overline {y}}}$), was in ${\displaystyle SQR>SQT}$ resultiert und man die allgemeine Definition des Bestimmtheitsmaßes ${\displaystyle 1-SQR/SQT}$ anwendet, dann führt dies zu einem negativen Bestimmtheitsmaß. Nach dieser Definition kann

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=1-{\frac {SQR}{SQT}}=1-{\frac {\displaystyle \sum \nolimits \left(y_{i}-{\tilde {\beta }}_{1}x_{i}\right)^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits (y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}$

also negativ werden. Ein negatives Bestimmtheitsmaß bedeutet dann, dass das empirische Mittel der abhängigen Variablen ${\displaystyle {\overline {y}}}$ eine bessere Anpassung an die Daten liefert als wenn man die erklärenden Variablen ${\displaystyle x_{i}}$ zur Schätzung benutzen würde.[25] Um ein negatives Bestimmtheitsmaß zu vermeiden wird eine modifizierte Form der Quadratsummenzerlegung angegeben:

${\displaystyle \underbrace {\sum \nolimits _{i=1}^{n}y_{i}^{2}} _{\text{nicht korrigierte totale Quadratsumme}}=\underbrace {\sum \nolimits _{i=1}^{n}{\tilde {y}}_{i}^{2}} _{\mathrm {nicht\;korrigierte\;erkl{\ddot {a}}rte\;Quadratsumme} }+\underbrace {\sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\tilde {y}}_{i}\right)^{2}} _{\text{Residuenquadratsumme}}}$ oder äquivalent dazu

${\displaystyle SQT_{0}=SQE_{0}+SQR}$.

Diese modifizierte Form der Quadratsummenzerlegung wird auch nicht korrigierte Quadratsummenzerlegung genannt, da die erklärte und die totale Quadratsumme nicht um den empirischen Mittelwert „korrigiert“ bzw. „zentriert“ werden. Wenn man statt dem gewöhnlichen ${\displaystyle SQT}$ und ${\displaystyle SQE}$ die modifizierten Quadratsummen ${\displaystyle SQT_{0}=\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}$ und ${\displaystyle SQE_{0}=\textstyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}{\tilde {y}}_{i}^{2}}$ benutzt, ist das Bestimmtheitsmaß gegeben durch

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}\equiv {\frac {SQE_{0}}{SQT_{0}}}={\frac {\displaystyle \sum \nolimits {\tilde {y}}_{i}^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits y_{i}^{2}}}=1-{\frac {SQR}{SQT_{0}}}=1-{\frac {\displaystyle \sum \nolimits \left(y_{i}-{\tilde {\beta }}_{1}x_{i}\right)^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits y_{i}^{2}}}}$.

Dieses Bestimmtheitsmaß i​st strikt nichtnegativ u​nd wird – d​a es a​uf der nicht korrigierten Quadratsummenzerlegung aufbaut, b​ei der nicht u​m den empirischen Mittelwert „zentriert“ w​ird – a​uch als unzentriertes Bestimmtheitsmaß bezeichnet. Zur Abgrenzung w​ird das konventionelle Bestimmtheitsmaß a​uch als zentriertes Bestimmtheitsmaß bezeichnet. Bei e​iner Regression d​urch den Ursprung w​ird daher d​ie modifizierte Form d​er Quadratsummenzerlegungsformel verwendet.

Rechenbeispiel

Streudiagramm der Längen und Breiten zehn zufällig ausgewählter Kriegsschiffe.

Folgendes Beispiel s​oll die Berechnung d​es Bestimmtheitsmaßes zeigen. Es wurden zufällig z​ehn Kriegsschiffe ausgewählt (siehe Kriegsschiffsdaten i​n dieser Übersicht) u​nd bezüglich i​hrer Länge u​nd Breite (in Metern) analysiert. Es s​oll untersucht werden, o​b die Breite e​ines Kriegsschiffs möglicherweise i​n einem festen Bezug z​ur Länge steht.

Das Streudiagramm lässt einen linearen Zusammenhang zwischen Länge und Breite eines Schiffs vermuten. Eine mittels der Kleinste-Quadrate-Schätzung durchgeführte einfache lineare Regression ergibt für das Absolutglied ${\displaystyle b_{0}=-8{,}6450715}$ und die Steigung ${\displaystyle b_{1}=0{,}1612340}$ (für die Berechnung der Regressionsparameter siehe Beispiel mit einer Ausgleichsgeraden). Die geschätzte Regressionsgerade lautet somit

${\displaystyle {\widehat {\mathtt {breite}}}=-8{,}6450715+0{,}1612340\cdot {\mathtt {l{\ddot {a}}nge}}}$.

Die Gleichung stellt die geschätzte Breite ${\displaystyle {\hat {y}}={\widehat {\mathtt {breite}}}}$ als Funktion der Länge ${\displaystyle x={\mathtt {l{\ddot {a}}nge}}}$ dar. Die Funktion zeigt, dass die Breite der ausgewählten Kriegsschiffe grob einem Sechstel ihrer Länge entspricht.

Kriegsschiff	Länge (m)	Breite (m)	${\displaystyle y_{i}^{*}}$	${\displaystyle y_{i}^{*}\cdot y_{i}^{*}}$	${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$	${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}}$	${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle y_{i}}$	${\displaystyle y_{i}-{\overline {y}}}$	${\displaystyle (y_{i}-{\overline {y}})^{2}}$	${\displaystyle {\hat {y}}(x_{i})}$	${\displaystyle y_{i}-{\hat {y}}_{i}}$	${\displaystyle (y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}$
1	208	21,6	3,19	10,1761	24,8916	−3,2916	10,8347
2	152	15,5	−2,91	8,4681	15,8625	−0,3625	0,1314
3	113	10,4	−8,01	64,1601	9,5744	0,8256	0,6817
4	227	31,0	12,59	158,5081	27,9550	3,045	9,2720
5	137	13,0	−5,41	29,2681	13,4440	−0,4440	0,1971
6	238	32,4	13,99	195,7201	29,7286	2,6714	7,1362
7	178	19,0	0,59	0,3481	20,0546	−1,0546	1,1122
8	104	10,4	−8,01	64,1601	8,1233	2,2767	5,1835
9	191	19,0	0,59	0,3481	22,1506	−3,1506	9,9265
10	130	11,8	−6,61	43,6921	12,3154	−0,5154	0,2656
Σ	1678	184,1		574,8490		0,0000	44,7405
Σ/n	167,8	18,41		57,48490		0,0000	4,47405

Aus der Tabelle lässt sich erkennen, dass der Gesamtmittelwert der Breite ${\displaystyle {\overline {y}}=18{,}41\;{\text{m}}}$ beträgt, die totale Quadratsumme der Messwerte ${\displaystyle 574{,}849\;{\text{m}}^{2}}$ beträgt und die Residuenquadratsumme ${\displaystyle 44{,}7405\;{\text{m}}^{2}}$ beträgt. Daher ergibt sich das Bestimmtheitsmaß zu

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=1-{\frac {\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}=1-{\frac {44{,}7405}{574{,}8490}}\;=\;0{,}92217}$,

d. h. circa ${\displaystyle 92\,\%}$ der Streuung in der Kriegsschiffsbreite kann durch die lineare Regression von Kriegsschiffsbreite auf Kriegsschiffslänge „erklärt“ werden. Das Komplement des Bestimmtheitsmaßes ${\displaystyle 1-{\mathit {R}}^{2}={\mathit {U}}^{2}}$ wird auch Unbestimmtheitsmaß (auch Koeffizient der Nichtdetermination oder Alienationskoeffizient, von lateinisch alienus „fremd“, „unbekannt“) genannt. Bestimmtheits- und Unbestimmtheitsmaß addieren sich jeweils zu ${\displaystyle 1}$. Das Unbestimmtheitsmaß ${\displaystyle {\mathit {U}}^{2}}$ sagt im vorliegenden Beispiel aus, dass knapp ${\displaystyle (1-{\mathit {R}}^{2})\cdot 100\,\%\approx 8\,\%}$ der Streuung in der Breite „unerklärt“ bleiben. Hier könnte man z. B. nach weiteren Faktoren suchen, welche die Breite eines Kriegsschiffes beeinflussen und sie in die Regressionsgleichung mit aufnehmen.

Vergleich mit dem Standardfehler der Regression

Die „Qualität“ der Regression kann auch mithilfe des geschätzten Standardfehlers der Residuen (engl. residual standard error) beurteilt werden, der zum Standardoutput der meisten statistischen Programmpakete gehört. Der geschätzte Standardfehler der Residuen gibt an, mit welcher Sicherheit die Residuen ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{i}}$ den wahren Störgrößen ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ näherkommen. Die Residuen sind somit eine Approximation der Störgrößen. Der geschätzte Standardfehler der Residuen ist mit dem Bestimmtheitsmaß und dem adjustierten Bestimmtheitsmaß vergleichbar und ähnlich zu interpretieren. Der geschätzte Standardfehler der Residuen, der sich aus der obigen Tabelle berechnen lässt, ergibt einen Wert von:

${\displaystyle {\tilde {s}}={\sqrt {{\tfrac {1}{n}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}}}={\sqrt {SQR/n}}=2{,}1152}$.

Es ist jedoch zu beachten, dass ${\displaystyle {\tilde {s}}^{2}}$ eine verzerrte Schätzung der wahren Varianz der Störgrößen ${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}=\sigma ^{2}}$ ist, da der verwendete Varianzschätzer nicht erwartungstreu ist. Wenn man berücksichtigt, dass man durch die Schätzung der beiden Regressionsparameter ${\displaystyle \beta _{0}}$ und ${\displaystyle \beta _{1}}$ zwei Freiheitsgrade verliert und somit statt durch den Stichprobenumfang ${\displaystyle n}$ durch die Anzahl der Freiheitsgrade ${\displaystyle (n-2)}$ dividiert, erhält man das „mittlere Residuenquadrat“ ${\displaystyle MQR=SQR/(n-2)}$ und damit die erwartungstreue Darstellung:[26]

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\tfrac {1}{n-2}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}}}={\sqrt {MQR}}=2{,}3649}$.

Die Darstellung ist unverzerrt, da sie durch Einbezug der Freiheitsgrade der Varianzschätzer, wegen ${\displaystyle \mathbb {E} ({\hat {\sigma }}^{2})=\sigma ^{2}}$, unter den Gauß-Markow-Annahmen erwartungstreu ist (siehe auch Schätzer für die Varianz der Störgrößen).[27] Die unverzerrte Darstellung ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ wird im Regressionsoutput statistischer Software oft auch als Standardfehler der Schätzung oder Standardfehler der Regression (engl. standard error of the regression, kurz: SER) bezeichnet.[A 7] Der Standardfehler der Regression wird als Quadratwurzel des mittleren Residuenquadrats berechnet und ist ein eigenständiges Modellgütemaß. Er gibt an, wie groß im Durchschnitt die Abweichung der Messwerte von der Regressionsgerade ausfällt. Je größer der Standardfehler der Regression, desto schlechter beschreibt die Regressionsgerade die Verteilung der Messwerte. Der Standardfehler der Regression ist in der Regel kleiner als der Standardfehler der Zielgröße ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}}$. Das Bestimmtheitsmaß wird häufiger angegeben als der Standardfehler der Residuen, obwohl der Standardfehler der Residuen bei der Bewertung Anpassungsgüte möglicherweise aussagekräftiger ist.[28]

Missverständnisse

Neben den Vorteilen des Bestimmtheitsmaßes (es ist eine dimensionslose Größe, hat eine einfache Interpretation und liegt stets zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$) wird das Bestimmtheitsmaß immer wieder kritisiert und falsch angewendet:

Beispiele für Daten mit einem hohen (pink) und einem niedrigen (blau) Bestimmtheitsmaß bei einem zugrunde gelegten linearen Modell

• Übliche Missverständnisse sind:
  • Bei einem hohen Bestimmtheitsmaß für einen Schätzer ${\displaystyle S}$ könne man folgern, dass der tatsächliche Zusammenhang linear sei. Die pinken Daten in der Grafik wurden mit einer nichtlinearen Funktion generiert:[A 8]

${\displaystyle f(x)\equiv -{\tfrac {4}{3}}\left|x-0{,}9\right|+1{,}4}$

Durch die Betragsfunktion im Term nimmt die Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle 0{,}9}$ ihr Maximum ${\displaystyle 1{,}4}$ an. Für höhere Werte von ${\displaystyle x>0{,}9}$ fällt die Funktion dann streng monoton mit der Steigung ${\displaystyle -4/3}$. Damit wäre der tatsächliche Zusammenhang in den Daten auch bei dem hohen Bestimmtheitsmaß nach Konstruktion natürlich nicht linear. Dennoch legt das hohe Bestimmtheitsmaß nahe, dass es sich um einen linearen Zusammenhang handelt.

• Ein hohes Bestimmtheitsmaß gebe an, dass die geschätzte Regressionslinie überall eine gute Approximation an die Daten darstellt; die pinken Daten legen auch hier etwas anderes nahe.
• Ein Bestimmtheitsmaß nahe bei Null zeige an, dass es keinen Zusammenhang zwischen der abhängigen und den unabhängigen Variablen gebe. Die blauen Daten in der Grafik wurden mit der folgenden quadratischen Funktion ${\displaystyle g}$ generiert und besitzen daher einen deterministischen funktionalen Zusammenhang, der allerdings nicht linear ist[A 9]

${\displaystyle g(x)\equiv 1{,}1x^{2}-1{,}1}$.

Obwohl das Bestimmtheitsmaß gleich Null ist, lässt sich nicht daraus schließen, dass es keinen Zusammenhang zwischen der abhängigen und den unabhängigen Variablen für die konstruierten Datenpunkte gibt. Eine Regressionsanalyse für nichtlineare Fälle verallgemeinert die lineare Regression auf andere Klassen von Funktionen und mehrdimensionale Definitionsbereiche von ${\displaystyle g}$.

• Wählt man aus den Daten mit quadratischem Zusammenhang (Parabel ${\displaystyle g}$) nur die Datenpunkte mit positivem ${\displaystyle x}$-Werten aus, kann auch das Bestimmtheitsmaß sehr hoch sein und bei einem nach Konstruktion der Daten gegebenen quadratischem Zusammenhang durch ${\displaystyle g}$ in den Messdaten dennoch eine lineare Modellannahme suggerieren (z. B. wenn man nur die Daten aus der Parabel wählt, in der die Funktion positive Steigung besitzt).

Grenzen und Kritik

Dieses Streudiagramm zeigt die Regressionsgerade einer linearen Einfachregression, die optimal durch die „Punktwolke“ der Messung gelegt wurde. An der waagerechten Achse ist das Wachstum des realen BIP und auf der senkrechten Achse ist die Veränderung der Arbeitslosenquote in den USA (1961–2007) abgetragen. Die starke Korrelation zwischen beiden Größen (genannt Okunsches Gesetz) kommt visuell dadurch zum Ausdruck, dass sich die Regressiongerade gut an die Datenpunkte anpasst. Formal lässt sie sich anhand eines relativ hohen R-Quadrat-Wertes erkennen (hier: ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=69{,}20\,\%}$). Bei Betrachtung des Streudiagramms und des R-Quadrat-Wertes wird Kausalität suggeriert (starkes Wirtschaftswachstum ist die kausale Ursache für die Reduktion in der Arbeitslosigkeit). Das Bestimmtheitsmaß gibt allerdings nur Auskunft über die Stärke des Zusammenhangs, nicht über Kausalität.

• Das Bestimmtheitsmaß zeigt zwar die „Qualität“ der linearen Approximation, jedoch nicht, ob das Modell richtig spezifiziert wurde. Zum Beispiel kann ein nichtlinearer Zusammenhang bei einer der unabhängigen Variablen vorliegen. In einem solchen Fall können die unabhängigen Variablen unentdeckte Erklärungskraft enthalten, auch dann wenn das Bestimmtheitsmaß einen Wert nahe bei Null aufweist.[7] Modelle, die mittels der Kleinste-Quadrate-Schätzung geschätzt wurden, werden daher die höchsten R-Quadrat-Werte aufweisen.
• (Korrelation/Kausaler Zusammenhang) Das Bestimmtheitsmaß sagt nichts darüber aus, ob die unabhängige Variable ${\displaystyle x}$ der Grund (die kausale Ursache) für die Änderungen in ${\displaystyle y}$ sind. Zum Beispiel kann das Bestimmtheitsmaß zwischen der Anzahl der Störche ${\displaystyle x_{i}}$ und der Anzahl der neugeborenen Kinder ${\displaystyle y_{i}}$ in untersuchten Gebieten ${\displaystyle G_{i}}$ hoch sein. Ein direkter kausaler Zusammenhang zwischen Störchen und Neugeborenen ist jedoch biologisch ausgeschlossen (siehe Scheinkorrelation).[29]
• Das Bestimmtheitsmaß sagt nichts über die statistische Signifikanz des ermittelten Zusammenhangs und der einzelnen erklärenden Variablen aus. Um diesen zu ermitteln muss die Stichprobengröße bekannt sein und ein Signifikanztest durchgeführt werden.
• Das Bestimmtheitsmaß macht keine Aussage über Multikollinearität zwischen den unabhängigen Variablen ${\displaystyle x_{i}}$. Multikollinearität kann z. B. mithilfe des Varianzinflationsfaktors identifiziert werden (siehe auch unter Interpretation der Varianz der Regressionsparameter).
• Es zeigt nicht an, ob eine Verzerrung durch ausgelassene Variablen (engl. omitted variable bias) vorliegt.
• Es macht keine Aussage, ob eine Transformation der Daten die Erklärungskraft der Regression verbessert.
• Ein Nachteil des Bestimmtheitsmaßes ist die Empfindlichkeit gegenüber Trends: Wenn sich eine exogene Variable parallel zu einer erklärenden entwickelt, werden unabhängig von der wahren Erklärungskraft des Modells hohe R-Quadrat-Werte ausgewiesen.
• Zusammenfassend ist ein hohes Bestimmtheitsmaß kein Beweis für ein „gutes“ Modell und ein niedriges Bestimmtheitsmaß bedeutet nicht, dass es sich um ein „schlechtes“ Modell handelt. Dies wird anhand des Anscombe-Beispiels (1973)[30] deutlich. Anscombe zeigte auf der Basis von vier verschiedenen Datensätzen, dass ein in allen vier Fällen relativ hohes Bestimmtheitsmaß von ${\displaystyle 0{,}67}$ nichts darüber aussagt, ob der wahre Zusammenhang zwischen zwei Variablen richtig erfasst worden ist.[31]

Geschichte

Francis Galton

Karl Pearson

Die Grundlage d​es Bestimmtheitsmaßes stellt d​ie Regressionsanalyse u​nd der Korrelationskoeffizient dar. Der britische Naturforscher Sir Francis Galton (1822–1911) begründete i​n den 1870er-Jahren d​ie Regressionsanalyse. Er w​ar – wie a​uch sein Cousin Charles Darwin – e​in Enkel v​on Erasmus Darwin. Galton w​ar durch s​eine starke Leidenschaft Daten jeglicher Art z​u sammeln bekannt. Beispielsweise sammelte e​r Daten d​er Samen v​on Platterbsen. Beim Vergleich d​er Durchmesser d​er Samen konstruierte e​r das, w​as heute allgemein a​ls Korrelationsdiagramm bekannt ist. Den b​ei dieser Tätigkeit v​on ihm entdeckte Zusammenhang taufte e​r zunächst „Reversion“ (Umkehrung); später entschied e​r sich jedoch für d​ie Bezeichnung „Regression“. Bei d​er Analyse d​er Samen entdeckte e​r das Phänomen d​er Regression z​ur Mitte, n​ach dem – nach e​inem extrem ausgefallenen Messwert – d​ie nachfolgende Messung wieder näher a​m Durchschnitt liegt: Der Mediandurchmesser d​er Nachkommen d​er größeren Samen w​ar kleiner a​ls der Mediandurchmesser d​er Samen d​er Eltern (vice versa). In s​eine Korrelationsdiagramme zeichnete e​r eine Trendlinie ein, für d​ie er a​ls Steigung d​en Korrelationskoeffizienten verwendete.[32]

Die Bezeichnung „Varianz“ w​urde vom Statistiker Ronald Fisher (1890–1962) i​n seinem 1918 veröffentlichtem Aufsatz m​it dem Titel Die Korrelation zwischen Verwandten i​n der Annahme d​er Mendelschen Vererbung (Originaltitel: The Correlation between Relatives o​n the Supposition o​f Mendelian Inheritance) eingeführt.[33] Fisher w​ar einer d​er bedeutendsten Statistiker d​es 20. Jahrhunderts u​nd ist für s​eine Beiträge z​ur Evolutionstheorie berühmt. Ebenso i​st er für d​ie Entdeckung d​er Streuungszerlegung (engl. analysis o​f variance) bekannt, d​ie die Grundlage für d​as Bestimmtheitsmaß darstellt. Die – eng i​n Verbindung m​it dem Bestimmtheitsmaß stehende – F -Statistik i​st ebenfalls n​ach ihm benannt. Karl Pearson (1857–1936), d​er Begründer d​er Biometrie, lieferte schließlich e​ine formal-mathematische Begründung für d​en Korrelationskoeffizienten, dessen Quadrat d​em Bestimmtheitsmaß entspricht.[34]

Das Bestimmtheitsmaß w​urde in d​en folgenden Jahren s​tark kritisiert. Dies geschah a​uch da e​s die Eigenschaft hat, d​ass es u​mso größer wird, j​e größer d​ie Zahl d​er unabhängigen Variablen ist. Dies i​st unabhängig davon, o​b die zusätzlichen erklärenden Variablen e​inen Beitrag z​ur Erklärungskraft liefern. Um diesen Umstand Rechnung z​u tragen, schlug d​er Ökonometriker Henri Theil 1961[35] d​as adjustierte Bestimmtheitsmaß (auch bereinigtes, korrigiertes o​der angepasstes Bestimmtheitsmaß genannt) vor. Dies berücksichtigt, d​ass die Hinzunahme j​eder weiteren erklärenden Variablen m​it einem Verlust e​ines Freiheitsgrads verbunden ist, w​urde jedoch v​on Rinne (2004)[36] i​n der Hinsicht kritisiert, d​ass das Auswahlkriterium d​en Verlust a​n Freiheitsgraden m​it wachsender Anzahl a​n erklärenden Variablen n​icht ausreichend bestraft.

Das adjustierte Bestimmtheitsmaß

Definition

Das Bestimmtheitsmaß ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ hat die Eigenschaft, dass es umso größer wird, je größer die Zahl der unabhängigen Variablen ist. Dies ist unabhängig davon, ob die zusätzlichen unabhängigen Variablen einen Beitrag zur Erklärungskraft liefern. Daher ist es ratsam, das adjustierte (freiheitsgradbezogene) Bestimmtheitsmaß (auch bereinigtes, korrigiertes oder angepasstes Bestimmtheitsmaß genannt) zu Rate zu ziehen. Das adjustierte Bestimmtheitsmaß wird nach Mordecai Ezekiel[37][38] mit ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$ (lies: R Quer Quadrat) oder ${\displaystyle {\mathit {R}}_{\text{adj.}}^{2}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathit {R}}_{a}^{2}}$ notiert. Man erhält das adjustierte Bestimmtheitsmaß, wenn an Stelle der Quadratsummen die mittleren Abweichungsquadrate (englisch mean squares) ${\displaystyle MQR=SQR/(n-p)}$ und ${\displaystyle MQT=SQT/(n-1)}$ verwendet werden:[39][40]

${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}\equiv 1-{\frac {MQR}{MQT}}=1-{\frac {SQR}{SQT}}{\frac {n-1}{n-p}}=1-\left(1-{\mathit {R}}^{2}\right){\frac {n-1}{n-p}}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle MQR}$ das „mittlere Residuenquadrat“[41] (Mittleres Quadrat der Residuen, kurz: MQR) und ${\displaystyle MQT}$ das „mittlere Gesamtabweichungsquadrat“ (Mittleres Quadrat der Totalen Abweichungen, kurz: MQT). Das adjustierte Bestimmtheitsmaß modifiziert die Definition des Bestimmtheitsmaßes, indem es den Quotienten ${\displaystyle SQR/SQT}$ mit dem Faktor ${\displaystyle (n-1)/(n-p)}$ multipliziert.[42] Alternativ lässt sich das adjustierte Bestimmtheitsmaß algebraisch äquivalent darstellen als

${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}={\mathit {R}}^{2}-\left(1-{\mathit {R}}^{2}\right){\frac {k}{n-p}}}$.

Definitionsgemäß ist das adjustierte Bestimmtheitsmaß für mehr als eine erklärende Variable stets kleiner als das unadjustierte.[43] Beim adjustierten Bestimmtheitsmaß wird die Erklärungskraft des Modells, repräsentiert durch ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$, ausbalanciert mit der Komplexität des Modells, repräsentiert durch ${\displaystyle p=k+1}$, die Anzahl der Parameter. Je komplexer das Modell ist, desto mehr „bestraft“ das adjustierte Bestimmtheitsmaß jede neu hinzugenommene erklärende Variable. Das adjustierte Bestimmtheitsmaß steigt nur, wenn ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ ausreichend steigt, um den gegenläufigen Effekt des Quotienten ${\displaystyle (n-1)/(n-p)}$ auszugleichen und kann ebenfalls sinken (${\displaystyle k\uparrow \;\Rightarrow \;{\overline {\mathit {R}}}{}^{2}\uparrow \downarrow }$).[44] Auf diese Weise lässt sich ${\displaystyle {\overline {R}}{}^{2}}$ als Entscheidungskriterium bei der Auswahl zwischen zwei alternativen Modellspezifikationen (etwa einem restringierten und einem unrestringierten Modell) verwenden. Das adjustierte Bestimmtheitsmaß kann negative Werte annehmen und ist kleiner als das unbereinigte, außer falls ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=1}$ und damit auch ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}=1}$ ist. Als Ergebnis daraus folgt ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}\leq {\mathit {R}}^{2}}$. Das adjustierte Bestimmtheitsmaß nähert sich mit steigendem Stichprobenumfang ${\displaystyle n}$ dem unadjustierten Bestimmtheitsmaß. Dies liegt daran, dass bei fixer Anzahl der erklärenden Variablen für den Grenzwert für den Korrekturfaktor bzw. Strafterm gilt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n-1}{n-p}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-{\frac {1}{n}}}{1-{\frac {p}{n}}}}=1}$.

In der Praxis ist es nicht zu empfehlen, das adjustierte Bestimmtheitsmaß zur Modellselektion zu verwenden, da die „Bestrafung“ für neu hinzugefügte erklärende Variablen zu klein erscheint. Man kann zeigen, dass das ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$ schon steigt, wenn eine erklärende Variable mit einem t-Wert größer als Eins in das Modell inkludiert wird.[45] Aus diesem Grund wurden weitere Kriterien (sogenannte Informationskriterien) wie z. B. das Akaike-Informationskriterium und das bayessche Informationskriterium zur Modellauswahl entwickelt, die ebenfalls der Idee von Ockhams Rasiermesser folgen, dass ein Modell nicht unnötig komplex sein soll.

Konstruktion

Aus der allgemeinen Definition von ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ folgt, dass

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=1-{\frac {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \nolimits \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \nolimits \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}=1-{\frac {{\tilde {s}}_{\hat {\varepsilon }}^{2}}{{\tilde {s}}_{y}^{2}}}}$.

Wir wissen jedoch, dass ${\displaystyle {\tilde {s}}_{\hat {\varepsilon }}^{2}}$ und ${\displaystyle {\tilde {s}}_{y}^{2}}$ verzerrte Schätzer für die wahre Varianz der Störgrößen ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ und die der Messwerte ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}}$ sind. Aus dieser Tatsache wird deutlich, dass es sich beim multiplen Bestimmtheitsmaß ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ um eine Zufallsvariable handelt: Das multiple Bestimmtheitsmaß kann man als Schätzfunktion für das unbekannte Bestimmtheitsmaß in der Grundgesamtheit ${\displaystyle \rho ^{2}}$[A 10] (lies: rho Quadrat) betrachten. Dieses ist gegeben durch

${\displaystyle \rho ^{2}=1-{\frac {\sigma ^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}}$

und ist der Anteil der Streuung in ${\displaystyle y}$ in der Grundgesamtheit, der durch die erklärenden Variablen „erklärt“ wird.[46] Dividiert man die jeweiligen Quadratsummen durch ihre Freiheitsgrade, so erhält man jeweils das durchschnittliche Abweichungsquadrat (Varianz):

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-p}}\sum \nolimits \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}\quad }$ und ${\displaystyle \quad {\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \nolimits \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}$.

Die Varianzen ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$ und ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}^{2}}$ sind erwartungstreue Schätzer für die wahre Varianz der Störgrößen ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ und die der Messwerte ${\displaystyle \sigma _{y}^{2}}$. Setzt man nun bei ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ oben und unten die unverzerrten Schätzer ein, so erhält man das adjustierte Bestimmtheitsmaß:[46]

${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}=1-{\frac {\displaystyle {\frac {1}{n-p}}\sum \nolimits \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}{\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum \nolimits \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}=1-{\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{SQT/(n-1)}}}$.

Durch algebraische Umformungen erhält m​an schließlich

${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}=1-\left(1-{\mathit {R}}^{2}\right){\frac {n-1}{n-p}}}$.

Das adjustierte Bestimmtheitsmaß ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$ entspricht also dem um die unverzerrten Komponenten adjustiertem Bestimmtheitsmaß ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$. Oft wird das adjustierte Bestimmtheitsmaß auch korrigiertes Bestimmtheitsmaß genannt. Manche Autoren finden dies keine gute Bezeichnung, da sie impliziert dass ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$ ein unverzerrter Schätzer ist. Dies ist aber nicht der Fall, da das Verhältnis zweier unverzerrter Schätzer kein unverzerrter Schätzer ist[47]. Die Bezeichnung „adjustiertes R-Quadrat“ kann außerdem irreführend sein, da ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$ wie in obiger Formel nicht als das Quadrat irgendeiner Quantität berechnet wird[48]. Während im absoluten Sinne also kein Vorteil von ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$ zu ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ besteht, zeigen empirische Untersuchungen, dass die Verzerrung und auch die mittlere quadratische Abweichung von ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$ üblicherweise deutlich geringer ist als die von ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$[49][50].

Alternativen

Es existieren zahlreiche alternative Schätzer für das Bestimmtheitsmaß in der Grundgesamtheit ${\displaystyle \rho ^{2}}$ (siehe [51]). Von besonderer Bedeutung ist der Olkin-Pratt Schätzer[52], da es sich um einen unverzerrten Schätzer handelt. Es ist sogar der gleichmäßig beste unverzerrte Schätzer. Empirische Vergleiche der verschiedenen Schätzer kommen folgerichtig zu dem Schluss, dass in den meisten Fällen der approximative[49] oder der exakte[50] Olkin-Pratt Schätzer anstatt des korrigierten Bestimmtheitsmaßes verwendet werden sollte.

Matrixschreibweise

Das Bestimmtheitsmaß

In d​er multiplen linearen Regression, m​it dem multiplen linearen Modell i​n Matrixschreibweise

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}_{(n\times 1)}\quad =\quad {\begin{pmatrix}1&x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1k}\\1&x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&x_{n2}&\cdots &x_{nk}\end{pmatrix}}_{(n\times p)}\quad \cdot \quad {\begin{pmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{k}\end{pmatrix}}_{(p\times 1)}\quad +\quad {\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{n}\end{pmatrix}}_{(n\times 1)}}$ beziehungsweise in Kurzform ${\displaystyle \;\mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}$,

ergibt s​ich das Bestimmtheitsmaß d​urch die korrigierte Quadratsummenzerlegung (um d​en Mittelwert bereinigte Quadratsummenzerlegung)

${\displaystyle \underbrace {\left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)^{\top }\left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)} _{\text{zu erklärende Quadratsumme}}\quad =\quad \underbrace {\left({\hat {\mathbf {y} }}-{\overline {\mathbf {y} }}\right)^{\top }\left({\hat {\mathbf {y} }}-{\overline {\mathbf {y} }}\right)} _{\text{erklärte Quadratsumme}}\quad +\quad \underbrace {\left(\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}\right)^{\top }\left(\mathbf {y} -{\hat {\mathbf {y} }}\right)} _{\text{nicht erklärte Quadratsumme}}}$.

Die Bezeichnung „korrigiert“ hebt hervor, dass man die Summe über alle Beobachtungen der quadrierten Werte nimmt, nachdem um den Mittelwert „korrigiert“ wurde. Hierbei ist ${\displaystyle {\overline {\mathbf {y} }}}$ ein Vektor mit den Elementen ${\displaystyle {\overline {y}}}$ und ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ist definiert durch ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=\mathbf {X} \mathbf {b} }$, wobei ${\displaystyle \mathbf {b} =\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} }$ den Kleinste-Quadrate-Schätzvektor darstellt.[9] Das Bestimmtheitsmaß ist dann gegeben durch:[53]

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=1-{\frac {SQR}{SQT}}=1-{\frac {\left(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {b} \right)^{\top }\left(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {b} \right)}{\left(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }}\right)^{\top }(\mathbf {y} -{\overline {\mathbf {y} }})}}=1-{\frac {{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{{\hat {\mathbf {y} }}^{\top }{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}-n{\overline {y}}^{2}}}}$

Häufig findet s​ich auch d​ie algebraisch äquivalente Darstellung[54]

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}=1-{\frac {\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} -\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} }{\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} -n{\overline {y}}^{2}}}}$.

oder

${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}={\frac {SQE}{SQT}}={\frac {{\hat {\mathbf {y} }}^{\top }{\hat {\mathbf {y} }}-n{\overline {\hat {y}}}^{2}}{{\hat {\mathbf {y} }}^{\top }{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}-n{\overline {y}}^{2}}}={\frac {\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} -n{\overline {y}}^{2}}{\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} -n{\overline {y}}^{2}}}}$.

Die letzte Gleichheit ergibt sich aus dem Umstand, dass sich ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}=\mathbf {X} \mathbf {b} }$ aus der linksseitigen Multiplikation von ${\displaystyle \mathbf {y} }$ mit der Prädiktionsmatrix ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ergibt. Die Berechnung des Bestimmtheitsmaßes lässt sich in folgender Tafel der Varianzanalyse zusammenfassen:[55]

Variationsquelle	Abweichungsquadratsumme	Anzahl der Freiheitsgrade	Mittleres Abweichungsquadrat
Regression (erklärt)	${\displaystyle \mathbf {b} ^{\top }\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {y} -n{\overline {y}}^{2}}$	${\displaystyle k}$
Residuen (unerklärt)	${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$	${\displaystyle (n-p)}$	${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}/(n-p)={\hat {\sigma }}^{2}}$
Gesamt	${\displaystyle \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} -n{\overline {y}}^{2}}$	${\displaystyle (n-1)}$	${\displaystyle SQT/(n-1)=s_{y}^{2}}$
Bestimmtheitsmaß	${\displaystyle 1-{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}/(\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} -n{\overline {y}}^{2})={\mathit {R}}^{2}}$

Falls d​as lineare Modell d​as Absolutglied enthält, d​ann entspricht d​er empirische Mittelwert d​er Schätzwerte d​em der beobachteten Messwerte, wegen[4]

${\displaystyle {\overline {\hat {y}}}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}{\hat {y_{i}}}}{n}}={\frac {\mathbf {x} _{(0)}^{\top }{\hat {\mathbf {y} }}}{n}}={\frac {\mathbf {x} _{(0)}^{\top }\mathbf {X} \mathbf {b} }{n}}={\frac {\mathbf {x} _{(0)}^{\top }\left(\mathbf {y} -{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}\right)}{n}}={\frac {\mathbf {x} _{(0)}^{\top }\mathbf {y} }{n}}={\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}={\overline {y}}}$,

wobei ${\displaystyle \mathbf {x} _{(0)}}$ die, aus Einsen bestehende, erste Spalte der Datenmatrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$ darstellt. Es wurde die Eigenschaft benutzt, dass der Vektor der KQ-Residuen und der Vektor der erklärenden Variablen orthogonal und damit unkorreliert sind, d. h., es gilt ${\displaystyle \mathbf {x} _{(0)}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}=\mathbf {0} }$ (siehe auch Algebraische Eigenschaften der Kleinste-Quadrate-Schätzer).

Darstellung mittels Projektionsmatrix

Die Quadratsummenzerlegung und das Bestimmtheitsmaß lassen sich ebenfalls mittels einer speziellen idempotenten und symmetrischen ${\displaystyle (n\times n)}$-Projektionsmatrix ${\displaystyle \mathbf {M} ^{0}=(\mathbf {I} -(\mathbf {1} \mathbf {1} ^{\top })/n)}$ darstellen,[56] die den Vektor ${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$ mit den Elementen ${\displaystyle y_{i}}$ in den Vektor Abweichungen

${\displaystyle \mathbf {M} ^{0}\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}(y_{1}-{\overline {y}})\\(y_{2}-{\overline {y}})\\\vdots \\(y_{n}-{\overline {y}})\\\end{pmatrix}}}$

mit Elementen ${\displaystyle (y_{i}-{\overline {y}})}$ transformiert. Die linksseitige Multiplikation von ${\displaystyle \mathbf {y} }$ mit ${\displaystyle \mathbf {M} ^{0}}$ zentriert den Vektor ${\displaystyle \mathbf {y} }$. Daher wird diese Matrix auch als zentrierende Matrix bezeichnet. Die totale Quadratsumme lässt sich also mittels der zentrierenden Matrix auch darstellen als ${\displaystyle SQT=\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {M} ^{0}\mathbf {y} }$. Analog dazu lässt sich die Quadratsumme der Schätzwerte ${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ schreiben als ${\displaystyle SQE={\hat {\mathbf {y} }}^{\top }\mathbf {M} ^{0}{\hat {\mathbf {y} }}=\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {M} ^{0}\mathbf {X} \mathbf {b} }$ und die Residuenquadratsumme als ${\displaystyle SQR={\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }\mathbf {M} ^{0}{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$. Dadurch erhält man die Quadratsummenzerlegung als[57]

${\displaystyle \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {M} ^{0}\mathbf {y} =\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {M} ^{0}\mathbf {X} \mathbf {b} +{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$

wobei sich zeigen lässt, dass für die Streuung der Messwerte und die der Schätzwerte folgender Zusammenhang gilt: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}^{\top }\mathbf {M} ^{0}{\hat {\mathbf {y} }}={\hat {\mathbf {y} }}^{\top }\mathbf {M} ^{0}\mathbf {y} }$. Mithilfe dieses Zusammenhangs kann man zeigen, dass das multiple Bestimmtheitsmaß dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten zwischen ${\displaystyle \mathbf {y} }$ und ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ entspricht:[58]

Beweis

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {R}}^{2}={\frac {{\hat {\mathbf {y} }}^{\top }\mathbf {M} ^{0}{\hat {\mathbf {y} }}}{\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {M} ^{0}\mathbf {y} }}={\frac {\left({\hat {\mathbf {y} }}^{\top }\mathbf {M} ^{0}{\hat {\mathbf {y} }}\right)^{2}}{\left(\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {M} ^{0}\mathbf {y} \right)\left({\hat {\mathbf {y} }}^{\top }\mathbf {M} ^{0}{\hat {\mathbf {y} }}\right)}}&={\frac {\left({\hat {\mathbf {y} }}^{\top }\mathbf {M} ^{0}\mathbf {y} \right)^{2}}{\left(\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {M} ^{0}\mathbf {y} \right)\left({\hat {\mathbf {y} }}^{\top }\mathbf {M} ^{0}{\hat {\mathbf {y} }}\right)}}\\&={\frac {\left[\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})\right]^{2}}{\left[\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}\right]\left[\sum _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {y}})^{2}\right]}}=\left({\frac {SP_{y{\hat {y}}}}{\sqrt {SQ_{y}SQ_{\hat {y}}}}}\right)^{2}=r_{\mathbf {y} {\hat {\mathbf {y} }}}^{2}\end{aligned}}}$

Die Notation ${\displaystyle \mathbf {M} ^{0}}$ für die Matrix ${\displaystyle (\mathbf {I} -(\mathbf {1} \mathbf {1} ^{\top })/n)}$ rührt daher, dass die residuenerzeugende Matrix ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {I} -\mathbf {P} }$ – wobei ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }}$ die Prädiktionsmatrix darstellt – für den Fall, dass ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {1} }$ der Matrix ${\displaystyle \mathbf {M} ^{0}}$ entspricht. Die Matrix ${\displaystyle \mathbf {M} ^{0}}$ ist also ein Spezialfall der residuenerzeugenden Matrix.[59]

Das adjustierte Bestimmtheitsmaß

Man kann zeigen, dass die Veränderung des Bestimmtheitsmaßes, wenn eine zusätzliche Variable ${\displaystyle z}$ der Regression hinzugefügt wird[60]

${\displaystyle {\mathit {R}}_{\mathbf {X} z}^{2}={\mathit {R}}_{\mathbf {X} }^{2}+\left(1-{\mathit {R}}_{\mathbf {X} }^{2}\right)r_{yz}^{*2}}$.

beträgt. Folglich kann das Bestimmtheitsmaß durch die Aufnahme zusätzlicher erklärender Variablen nicht sinken. Hierbei stellt ${\displaystyle {\mathit {R}}_{\mathbf {X} z}}$ das Bestimmtheitsmaß in der Regression von ${\displaystyle y}$ auf ${\displaystyle \mathbf {X} }$ und einer zusätzlichen Variable ${\displaystyle z}$ dar. ${\displaystyle {\mathit {R}}_{\mathbf {X} }^{2}}$ ist das Bestimmtheitsmaß für die Regression von ${\displaystyle y}$ auf ${\displaystyle \mathbf {X} }$ alleine und ${\displaystyle r_{yz}^{*2}}$ ist die partielle Korrelation zwischen ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$, wenn man für ${\displaystyle \mathbf {X} }$ kontrolliert. Wenn man immer weitere Variablen in das Model hinzufügt, wird der R-Quadrat-Wert weiter ansteigen, bis hin zur oberen Grenze ${\displaystyle 1}$. Daher sollte das adjustierte Bestimmtheitsmaß herangezogen werden, das die Aufnahme jeder neu hinzugenommenen erklärenden Variable „bestraft“.

In Matrixschreibweise i​st das adjustierte Bestimmtheitsmaß gegeben d​urch den Quotienten a​us dem „mittleren Residuenquadrat“ u​nd dem „mittleren Quadrat d​er totalen Abweichungen“:

${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}=1-{\frac {{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}/(n-p)}{(\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} -n{\overline {y}}^{2})/(n-1)}}=1-{\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{\mathbf {y} }^{2}}}}$,

wobei

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}/(n-p)\quad }$ und ${\displaystyle \quad {\hat {\sigma }}_{\mathbf {y} }^{2}=(\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} -n{\overline {y}}^{2})/(n-1)}$

die unverzerrten Schätzer für die Varianzen von ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ und ${\displaystyle \mathbf {y} }$ darstellen.[9]

Bestimmtheitsmaß bei Heteroskedastizität

Wenn d​ie Anpassung d​urch die verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung erfolgt, können alternative Versionen d​es Bestimmtheitsmaßes entsprechend diesem statistischen Rahmenwerk berechnet werden, während d​as „einfache“ Bestimmtheitsmaß i​mmer noch nützlich s​ein kann, d​a es einfacher z​u interpretieren ist. Das Bestimmtheitsmaß b​ei vorliegen v​on Heteroskedastizität i​st durch d​ie gewichteten Summen d​er Abweichungsquadrate w​ie folgt definiert

${\displaystyle {\mathit {R}}_{GSQ}^{2}\equiv 1-{\frac {GSQR}{GSQT}}}$,

wobei ${\displaystyle GSQR}$ die „gewichtete Residuenquadratsumme“ (englisch weighted sum of squares residual, kurz: WSSR) und ${\displaystyle GSQT}$ die „gewichtete totale Quadratsumme“ (englisch weighted sum of squares total, kurz: WSST) darstellt.[61] Im verallgemeinerten linearen Regressionsmodell, also bei Vorliegen einer nichtskalaren Kovarianzmatrix der Störgrößen ${\displaystyle \mathbf {\Phi } =\sigma ^{2}\mathbf {\Psi } }$ mit der Gewichtsmatrix ${\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {\Psi } ^{-1}}$, ist ${\displaystyle {\mathit {R}}_{GSQ}^{2}}$ gegeben durch:[62]

${\displaystyle {\mathit {R}}_{\mathbf {\Psi } ^{-1}}^{2}={\frac {\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {\Psi } ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {b} _{\mathbf {\Psi } ^{-1}}-(({\mathbf {\Psi } ^{-1}})^{\top }\mathbf {y} )^{2}/({\mathbf {\Psi } ^{-1}})^{\top }\mathbf {1} }{\mathbf {y} ^{\top }\,\mathbf {\Psi } ^{-1}\mathbf {y} -(({\mathbf {\Psi } ^{-1}})^{\top }\mathbf {y} )^{2}/({\mathbf {\Psi } ^{-1}})^{\top }\mathbf {1} }}}$,

wobei[63]

${\displaystyle \mathbf {b} _{\mathbf {\Psi } ^{-1}}=\left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {\Psi } ^{-1}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {\Psi } ^{-1}\mathbf {y} }$

den verallgemeinerten Kleinste-Quadrate-Schätzer darstellt.

Interpretation der Varianz der Regressionsparameter

Die Kovarianzmatrix des Kleinste-Quadrate-Schätzvektors ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ist gegeben durch ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\mathbf {b} }=\sigma ^{2}(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}}$.[A 11] Die Diagonalelemente dieser Kovarianzmatrix stellen die Varianzen ${\displaystyle \operatorname {Var} (b_{j})}$ der jeweiligen Regressionsparameter dar. Es kann gezeigt werden, dass sich die Varianzen auch darstellen lassen als

${\displaystyle \operatorname {Var} (b_{j})={\frac {\sigma ^{2}}{(1-{\mathit {R}}_{j}^{2})\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{ij}-{\overline {x}}_{j})^{2}}}}$,

wobei ${\displaystyle {\mathit {R}}_{j}^{2}}$ das Bestimmtheitsmaß einer Hilfsregression ist, bei der die erklärende Variable ${\displaystyle x_{j}}$ (hier als abhängige Variable) auf alle anderen erklärenden Variablen (inkl. Absolutglied) regressiert wird. Je größer ceteris paribus die lineare Abhängigkeit einer erklärenden Variablen ${\displaystyle x_{j}}$ mit anderen erklärenden Variablen ist (Multikollinearität, gemessen durch ${\displaystyle {\mathit {R}}_{j}^{2}}$), desto größer ist die Varianz. Im Extremfall ${\displaystyle {\mathit {R}}_{j}^{2}\rightarrow 1}$ geht die Varianz gegen Unendlich.[64]

Diese Varianzformel liefert mithilfe d​er Varianzinflationsfaktors

${\displaystyle \operatorname {VIF} _{j}\equiv {\frac {1}{1-{\mathit {R}}_{j}^{2}}}\in \left[1;\infty \right)}$

ebenfalls ein Diagnosewerkzeug, um den Grad der Multikollinearität zu messen. Der Varianzinflationsfaktor quantifiziert einen Anstieg der Varianz von ${\displaystyle \beta _{j}}$ aufgrund der linearen Abhängigkeit von ${\displaystyle x_{j}}$ mit den restlichen erklärenden Variablen. Je größer die Korrelation zwischen ${\displaystyle x_{j}}$ und den anderen erklärenden Variablen ist, desto größer ist ${\displaystyle {\mathit {R}}_{j}^{2}}$ und damit der Varianzinflationsfaktor.[65]

Mithilfe des Standardfehlers der Residuen, lassen sich Konfidenzintervalle konstruieren. Ersetzt man bei der Standardabweichung des jeweiligen Parameterschätzers ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {Var} (b_{j})}}}$ das unbekannte ${\displaystyle \sigma }$ durch das bekannte ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ergibt sich der Standardfehler des Regressionskoeffizienten ${\displaystyle b_{j}}$ durch[66]

${\displaystyle \operatorname {SE} (b_{j})={\sqrt {\frac {{\tfrac {1}{n-p}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}}{(1-{\mathit {R}}_{j}^{2})\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{ij}-{\overline {x}}_{j})^{2}}}}}$.

Die Größe d​er Standardfehler d​er geschätzten Regressionsparameter hängt a​lso von d​er Residualvarianz, d​er Abhängigkeit d​er erklärenden Variablen untereinander u​nd der Streuung d​er jeweiligen erklärenden Variablen ab.

R-Quadrat-Schreibweise der F-Statistik

Die allgemeine Form d​er F-Statistik i​st definiert d​urch den relativen Zuwachs i​n der Residuenquadratsumme b​eim Übergang v​om unrestringierten z​um restringierten Modell[67]

${\displaystyle F\equiv {\frac {\left(SQR_{H_{0}}-SQR\right)/q}{SQR/(n-k-1)}}}$,

wobei ${\displaystyle q}$ die Anzahl der zu testenden Restriktionen darstellt. Beim Testen von Restriktionen ist es oft von Vorteil eine Darstellung der F-Statistik zu haben, bei der die Bestimmtheitsmaße des restringierten Modells und des unrestringierten Modells miteinbezogen werden. Ein Vorteil dieser Darstellung ist, dass das die Residuenquadratsumme sehr groß und deren Berechnung damit umständlich sein kann. Das Bestimmtheitsmaß dagegen liegt immer zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$. Die R-Quadrat-Schreibweise der F-Statistik ist gegeben durch

${\displaystyle F={\frac {\left({\mathit {R}}{}^{2}-{\mathit {R}}{}_{H_{0}}^{2}\right)/q}{\left(1-{\mathit {R}}{}^{2}\right)/(n-p)}}}$,

wobei d​er Umstand genutzt wurde, d​ass für d​ie Residuenquadratsumme d​es restringierten u​nd des unrestringierten Modells gilt

${\displaystyle SQR_{H_{0}}=SQT\left(1-{\mathit {R}}{}_{H_{0}}^{2}\right)\quad }$ und ${\displaystyle \quad SQR=SQT\left(1-{\mathit {R}}{}^{2}\right)}$.

Da d​as Bestimmtheitsmaß i​m Gegensatz z​u Residuenquadratsumme i​n jedem Regressionsoutput ausgegeben wird, k​ann man leicht d​ie Bestimmtheitsmaße d​es restringierten Modells u​nd des unrestringierten Modells benutzen, u​m auf Variablenexklusion z​u testen.[68]

Test auf Gesamtsignifikanz eines Modells

→ Hauptartikel: Globaler F-Test

Der globale F-Test prüft, ob mindestens eine Variable einen Erklärungsgehalt für das Modell liefert. Falls diese Hypothese verworfen wird, ist das Modell nutzlos. Dieser Test lässt sich so interpretieren, als würde man die gesamte Anpassungsgüte der Regression, also das Bestimmtheitsmaß ${\displaystyle {\mathit {R}}^{2}}$ der Regression, testen. Die Null- und die Alternativhypothese lauten:

${\displaystyle H_{0}\colon \beta _{1}=\beta _{2}=\ldots =\beta _{k}\;=\;0\Rightarrow {\mathit {R}}_{H_{0}}^{2}=0}$  gegen  ${\displaystyle H_{1}:\beta _{j}\;\neq \;0\;\mathrm {f{\ddot {u}}r\;mindestens\;ein} \;j\in \{1,\ldots ,k\}\Rightarrow {\mathit {R}}^{2}>0}$

und d​ie Teststatistik dieses Tests i​st gegeben durch[69]

${\displaystyle {\begin{aligned}F={\frac {{\mathit {R}}^{2}}{1-{\mathit {R}}^{2}}}{\frac {n-p}{k}}\;{\stackrel {H_{0}}{\sim }}\;F\left(k,n-p\right)\end{aligned}}}$.

Das Modell unter der Nullhypothese ${\displaystyle H_{0}}$ ist dann das sogenannte Nullmodell (Modell, das nur aus einer Regressionskonstanten ${\displaystyle \beta _{0}}$ besteht). Die Teststatistik ${\displaystyle F}$ ist unter der Nullhypothese F-verteilt mit ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle (n-p)}$ Freiheitsgraden.[A 12] Überschreitet der empirische F-Wert bei einem a priori festgelegten Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ den kritischen F-Wert ${\displaystyle F_{(1-\alpha )}(k,n-p)}$ (das ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil der F-Verteilung mit ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle (n-p)}$ Freiheitsgraden) so verwirft man die Nullhypothese, dass alle Steigungsparameter des Modells gleich null sind. Das Bestimmtheitsmaß ist dann ausreichend groß und mindestens eine erklärende Variable trägt vermutlich genügend Information zur Erklärung der abhängigen Variablen bei. Es ist naheliegend, bei hohen F-Werten die Nullhypothese zu verwerfen, da ein hohes Bestimmtheitsmaß zu einem hohen F-Wert führt. Wenn der Wald-Test für eine oder mehrere erklärende Variablen die Nullhypothese ablehnt, dann kann man davon ausgehen, dass die zugehörigen Regressionsparameter ungleich Null sind, so dass die Variablen in das Modell mit einbezogen werden sollten.[70]

Es k​ann gezeigt werden, d​ass unter d​er obigen Nullhypothese s​ich für d​as Bestimmtheitsmaß im Mittel

${\displaystyle \mathbb {E} \left({\mathit {R}}^{2}\right)={\frac {k}{n-1}}}$

ergibt.[71] Daraus folgt, dass wenn ${\displaystyle n=k+1=p}$, dann ist ${\displaystyle \mathbb {E} \left({\mathit {R}}^{2}\right)=1}$, d. h. die bloße Größe des R-Quadrat-Wertes ist bei kleinen Stichprobengrößen ein schlechter Indikator für die Anpassungsgüte.

Zusammenhang zwischen adjustiertem Bestimmtheitsmaß, F-Test und t-Test

Direkt aus der obigen Definition von ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$ folgt

${\displaystyle {\frac {SQR/(n-k-1)}{SQT/(n-1)}}=1-{\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$.

Wenn man diesen Ausdruck nun nach ${\displaystyle SQR}$ auflöst ergibt sich ${\displaystyle SQR=(n-k-1)(1-{\overline {R}}{}^{2})SQT/(n-1)}$. Analog dazu gilt für das adjustierte Bestimmtheitsmaß des Nullhypothesenmodells, welches nur ${\displaystyle k-q}$ erklärende Variablen besitzt ${\displaystyle SQR_{H_{0}}=(n-k-1+q)\left(1-{{\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}_{H_{0}}\right)SQT/(n-1)}$.

Bei Einsetzen d​er beiden Größen i​n den F-Wert

${\displaystyle F\equiv {\frac {\left(SQR_{H_{0}}-SQR\right)/q}{SQR/(n-k-1)}}\;{\stackrel {H_{0}}{\sim }}\;F(q,n-p)}$.

ergibt s​ich durch algebraische Umformungen

${\displaystyle F={\frac {(n-k-1)\left({\overline {\mathit {R}}}{}^{2}-{\overline {\mathit {R}}}{}_{H_{0}}^{2}\right)/q+\left(1-{\overline {\mathit {R}}}{}_{H_{0}}^{2}\right)}{1-{\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}}}$.

Als Folge daraus ist der F-Wert genau dann größer als ${\displaystyle 1}$, wenn

${\displaystyle (n-k-1)\left({\overline {\mathit {R}}}{}^{2}-{\overline {\mathit {R}}}{}_{H_{0}}^{2}\right)/q+\left(1-{\overline {\mathit {R}}}{}_{H_{0}}^{2}\right)>1-{\overline {\mathit {R}}}{}^{2}}$.

Durch Umstellen erhält man

${\displaystyle \left({\overline {\mathit {R}}}{}^{2}-{\overline {\mathit {R}}}{}_{H_{0}}^{2}\right)>-\left({\overline {\mathit {R}}}{}^{2}-{\overline {\mathit {R}}}{}_{H_{0}}^{2}\right)q/(n-k-1)}$.

Diese Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn ${\displaystyle {\overline {\mathit {R}}}{}^{2}>{\overline {\mathit {R}}}{}_{H_{0}}^{2}}$. Anders ausgedrückt übersteigt das adjustierte Bestimmtheitsmaß des unrestringiertes Modells das adjustierte Bestimmtheitsmaß des restringierten Modells genau dann wenn der F-Wert des F-Tests größer als ${\displaystyle 1}$ ist. Der t-Test stellt einen Spezialfall des F-Tests dar. Er ergibt sich im Fall einer Restriktion ${\displaystyle q=1}$. Für die Teststatistik eines solchen Tests gilt, dass die quadrierte t-Statistik der F-Statistik entspricht ${\displaystyle t^{2}=F}$. Die obige Ungleichung ist für einen t-Test ebenso erfüllt, genau dann wenn ${\displaystyle t^{2}>1}$.[72]

Verallgemeinerung mittels Zielfunktion

Ein weiterer Ansatz stellt die Verallgemeinerung des Bestimmtheitsmaßes mittels einer anderen Zielfunktionen als die Residuenquadratsumme dar. Sei ${\displaystyle Q_{N}(\mathbf {\theta } )}$ die Zielfunktion, die es zu maximieren gilt, ${\displaystyle Q_{0}}$ stellt den Wert in einem Nullmodell dar, ${\displaystyle Q_{\text{fit}}}$ bezeichnet den Wert im angepassten Modell, und ${\displaystyle Q_{\text{max}}}$ bezeichnet den größtmöglichen Wert von ${\displaystyle Q_{N}(\mathbf {\theta } )}$. Der maximale potentielle Zuwachs in der Zielfunktion, der durch die Hinzunahme von erklärenden Variablen resultiert ist ${\displaystyle Q_{\text{max}}-Q_{0}}$. Im Gegensatz dazu stellt der gegenwärtige Zuwachs ${\displaystyle Q_{\text{fit}}-Q_{0}}$ dar. Die Verallgemeinerung des Bestimmtheitsmaßes mittels Zielfunktionen ergibt sich dann durch

${\displaystyle {\mathit {R}}_{\text{RZ}}^{2}={\frac {Q_{\text{fit}}-Q_{0}}{Q_{\text{max}}-Q_{0}}}=1-{\frac {Q_{\text{max}}-Q_{\text{fit}}}{Q_{\text{max}}-Q_{0}}}}$.

Hier bei bedeutet das Subskript ${\displaystyle {\text{RZ}}}$ „relativer Zuwachs“. Bei der Kleinste-Quadrate-Schätzung ist die maximierte Verlustfunktion ${\displaystyle -SQR}$. Dann ist ${\displaystyle Q_{0}=-SQT}$,${\displaystyle Q_{\text{fit}}=-SQR}$ und ${\displaystyle Q_{\text{max}}=0}$, und somit gilt für das Bestimmtheitsmaß bei der Kleinste-Quadrate-Schätzung ${\displaystyle {\mathit {R}}_{\text{RZ}}^{2}=SQE/SQT}$. Die Vorteile dieser Verallgemeinerung mittels Zielfunktionen sind, dass das Maß ${\displaystyle {\mathit {R}}_{\text{RZ}}^{2}}$ zwischen Null und Eins liegt und steigt, wenn weitere erklärende Variablen dem Modell hinzugefügt werden. Wenn ${\displaystyle Q_{\text{max}}=0}$ (dies ist beispielsweise bei binären diskreten Entscheidungsmodellen und multinomialen Modellen der Fall), dann ergibt sich die verwandte Maßzahl ${\displaystyle {\mathit {R}}_{Q}^{2}=1-Q_{\text{fit}}/Q_{0}}$.[73]

Pseudo-Bestimmtheitsmaß

→ Hauptartikel: Pseudo-Bestimmtheitsmaß

Im Falle einer linearen Regression mit einer abhängigen metrischen Variablen ${\displaystyle y}$ wird die Varianz dieser Variablen benutzt um die Güte des Regressionsmodells zu beschreiben. Bei einem nominalen oder ordinalen Skalenniveau von ${\displaystyle y}$ existiert jedoch kein Äquivalent, da man die Varianz und damit ein Bestimmtheitsmaß nicht berechnen kann. Für diese wurden verschiedene Pseudo-Bestimmtheitsmaße vorgeschlagen, beispielsweise Maße die auf der logarithmischen Plausibilitätsfunktion (log-Likelihood-Funktion) basieren, wie z. B. das Pseudo-Bestimmtheitsmaß nach McFadden.

${\displaystyle {\mathit {R}}_{\text{McFadden}}^{2}\equiv 1-{\frac {\ln L_{1}}{\ln L_{0}}}}$ (für eine Erläuterung der Notation siehe Log-Likelihood-basierte Maße).

Bei nichtlinearen Modellen werden Pseudo-Bestimmtheitsmaße verwendet. Allerdings g​ibt es k​ein universelles Pseudo-Bestimmtheitsmaß. Je n​ach Kontext müssen andere Pseudo-Bestimmtheitsmaße herangezogen werden.[74]

Prognose-Bestimmtheitsmaß

→ Hauptartikel: PRESS-Statistik

Während d​as Bestimmtheitsmaß, d​as adjustierte Bestimmtheitsmaß o​der auch d​ie Pseudo-Bestimmtheitsmaße e​ine Aussage über d​ie Modellgüte machen, z​ielt das Prognose-Bestimmtheitsmaß a​uf die Vorhersagequalität d​es Modells. Im Allgemeinen w​ird das Prognose-Bestimmtheitsmaß kleiner a​ls das Bestimmtheitsmaß sein.

Zunächst w​ird der Wert d​es PRESS-Kriteriums, a​lso die prädiktive Residuenquadratsumme (engl.: predictive residual e​rror sum o​f squares) berechnet[75]

${\displaystyle {\text{PRESS}}\equiv \sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i,-i})^{2}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle y_{i}}$ der beobachtete Wert und ${\displaystyle {\hat {y}}_{i,-i}}$ der Wert, der sich als Schätzung von ${\displaystyle y_{i}}$ ergibt, wenn alle Beobachtungen außer der ${\displaystyle i}$-ten in das Regressionsmodell einfließen. Zur Berechnung des der prädiktiven Residuenquadratsumme müssten daher ${\displaystyle n}$ lineare Regressionsmodelle mit jeweils ${\displaystyle (n-1)}$ Beobachtungen berechnet werden.

Es lässt sich jedoch zeigen, dass das Residuum ${\displaystyle (y_{i}-{\hat {y}}_{i,-i})}$ aus den „gewöhnlichen Residuen“ ${\displaystyle (y_{i}-{\hat {y}}_{i})}$ (bei Benutzung aller ${\displaystyle n}$ Beobachtungen) berechnet werden kann. Das Prognose-Bestimmtheitsmaß ergibt sich dann als

${\displaystyle {\mathit {R}}_{\text{prog.}}^{2}\equiv 1-{\frac {\text{PRESS}}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}}$.

Mehrgleichungsmodelle

Für Mehrgleichungsmodelle lässt s​ich ein Bestimmtheitsmaß w​ie folgt definieren:

${\displaystyle {\mathit {R}}_{I}^{2}\equiv 1-{\frac {({\bar {\mathbf {y} }}-{\bar {\mathbf {X} }}{\tilde {\bar {\boldsymbol {\beta }}}})^{\top }({\hat {\mathbf {\Sigma } }}^{-1}\otimes \mathbf {I} )({\bar {\mathbf {y} }}-{\bar {\mathbf {X} }}{\tilde {\bar {\boldsymbol {\beta }}}})}{Q_{g}(\mathbf {0} )}}}$,

wobei ${\displaystyle ({\bar {\mathbf {y} }}-{\bar {\mathbf {X} }}{\tilde {\bar {\boldsymbol {\beta }}}})^{\top }({\hat {\mathbf {\Sigma } }}^{-1}\otimes \mathbf {I} )({\bar {\mathbf {y} }}-{\bar {\mathbf {X} }}{\tilde {\bar {\boldsymbol {\beta }}}})=Q_{g}({\tilde {\bar {\boldsymbol {\beta }}}})}$ die Residuenquadratsumme der durchführbaren verallgemeinerten KQ-Schätzung ist und ${\displaystyle Q_{g}(\mathbf {0} )}$ für ${\displaystyle Q_{g}({\tilde {\bar {\boldsymbol {\beta }}}})}$ steht im Fall, dass ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ nur aus einem Absolutglied besteht.[76]

Bestimmtheitsmaß in R

Als einfaches Beispiel z​ur Berechnung d​es Bestimmtheitsmaßes i​n R w​ird zunächst d​er Korrelationskoeffizient zweier Datenreihen berechnet:

# Groesse wird als numerischer Vektor
# durch den Zuweisungsoperator "<-" definiert:
Groesse <- c(176, 166, 172, 184, 179, 170, 176)

# Gewicht wird als numerischer Vektor definiert:
Gewicht <- c(65, 55, 67, 82, 75, 65, 75)

# Berechnung des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient mit der Funktion "cor":
cor(Gewicht, Groesse, method = "pearson")

Anschließend wird, u​m das Bestimmtheitsmaß z​u erhalten, d​er Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient quadriert:

# Das Bestimmtheitsmaß ist bei einer erklärenden Variablen das Quadrat des Korrelationskoeffizienten "cor":
cor(Gewicht, Groesse, method = "pearson")^2

# Bei Ausführung ergibt sich ein ''R''-Quadrat-Wert von 0,864, d. h. 86,40 % der Streuung im Körpergewicht kann durch die lineare Regression von Körpergewicht auf Körpergröße erklärt werden.

Grafikausgabe des Beispiels

Mithilfe d​er Statistiksoftware R k​ann eine einfache lineare Regression d​urch die Funktion lm ausgeführt werden, w​obei die abhängige Variable v​on den unabhängigen Variablen d​urch die Tilde getrennt wird. Die Funktion summary g​ibt die Koeffizienten d​er Regression u​nd weitere Statistiken, w​ie z. B. d​as adjustierte Bestimmtheitsmaß, hierzu aus:

# Lineare Regression mit Gewicht als Zielvariable
# Ergebnis wird als reg gespeichert:
reg <- lm(Gewicht ~ Groesse)

# Ausgabe der Ergebnisse der obigen linearen Regression:
summary(reg)

Weblinks

• Ann-Kristin Kreutzmann: Output einer linearen Regression in R. (Website) 5. Oktober 2017, abgerufen am 24. April 2018 (Wiki der freien Universität Berlin).
• Christian Kredler: Lineare Modelle mit Anwendungen. (PDF) 2003, abgerufen am 26. April 2018 (Materialien).
• Kazuhiro Ohtani, Hisashi Tanizaki: Exact distribution of R² and adjusted R² in a linear regression model with multivariate t error terms. (PDF) Abgerufen am 26. April 2018 (Wissenschaftliche Arbeit).
• Gerhard Osius: Statistik in den Naturwissenschaften. (PDF) 2009, abgerufen am 24. April 2018 (Arbeitspapier der Universität Bremen).
• Gibt es einen Zusammenhang zwischen Arbeitslosigkeit und AfD-Erfolgen? Nada Bretfeld & Philipp Stachelsky, abgerufen am 21. April 2018 (Online-Magazin für Wirtschaftspolitik).

Literatur

• George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4.
• Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang: Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen. 2. Auflage. Springer Verlag, 2009, ISBN 978-3-642-01836-7.
• Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015.
• J. Neter, M. H. Kutner, C.J. Nachtsheim, W. Wasserman: Applied linear statistical models. 4. Auflage. McGraw-Hill 1996.
• M.-W. Stoetzer: Regressionsanalyse in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung – Eine nichtmathematische Einführung mit SPSS und Stata. Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53823-4.
• William H. Greene: Econometric Analysis. 5. Auflage. Prentice Hall International, 2002, ISBN 0-13-110849-2. (englischsprachiges Standardlehrbuch)

Anmerkungen

1. Die durch die Kleinste-Quadrate-Schätzung gewonnenen Parameterschätzer ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}$ und ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$ werden oft auch als ${\displaystyle b_{0}}$ und ${\displaystyle b_{1}}$ notiert.
2. Es gibt in der Literatur keinen Konsens hinsichtlich der Abkürzungen ${\displaystyle {\text{SST}}}$, ${\displaystyle \textstyle {\text{SSE}}}$ und ${\displaystyle {\text{SSR}}}$. Die „totale Quadratsumme“ (sum of squares total) wird oft statt ${\displaystyle {\text{SST}}}$ auch als ${\displaystyle {\text{TSS}}}$ abgekürzt. Unglücklicherweise wird die „durch die Regression erklärte Quadratsumme“ (sum of squares explained), hier abgekürzt als ${\displaystyle {\text{SSE}}}$, manchmal als „Quadratsumme der Regression“ (sum of squares regression) bezeichnet und damit als ${\displaystyle {\text{SSR}}}$ abgekürzt. Wenn dieser Ausdruck jedoch mit seiner natürlichen Abkürzung ${\displaystyle {\text{SSR}}}$ abgekürzt wird, kann er leicht mit der „Residuenquadratsumme“ (sum of squares residual) verwechselt werden, die ebenfalls mit ${\displaystyle {\text{SSR}}}$ abgekürzt wird. Manche statistischen Programmpakete bezeichnen die „erklärte Quadratsumme“ (sum of squares explained) auch als „Modellquadratsumme“ (sum of squares model). Die Abkürzungsproblematik wird dadurch verschärft, dass die „Residuenquadratsumme“ oft auch als „Fehlerquadratsumme“ (sum of squares errors) bezeichnet wird (diese Bezeichnung ist besonders irreführend, da Störgrößen bzw. Fehler und Residuen unterschiedliche Größen sind).
3. Der Begriff Bestimmtheitsmaß ist eine Komposition aus den beiden Grundbegriffen der philosophischen Logik: Bestimmtheit und Maß. Der Begriff der (inneren) Bestimmtheit bezeichnet in der philosophischen Logik die „Qualität“ bzw. „Güte“ eines Dings und das Maß eine „qualitative Quantität“ (siehe Grundbegriffe der Logik).
4. Zur Vereinfachung werden im Artikel bei allgemeinen Definitionen die Summationsgrenzen weggelassen.
5. Die Bezeichnung Streuungszerlegung charakterisiert das Wesen, aber nicht den mathematischen Vorgang, indem nicht die Streuung, sondern die totale Quadratsumme zerlegt wird.
6. Dies gilt, wegen ${\displaystyle \displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}({\hat {y}}_{i}-{\overline {\hat {y}}})^{2}=\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}((b_{0}+b_{1}x_{i})-(b_{0}+b_{1}{\overline {x}}))^{2}=\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}(b_{1}(x_{i}-{\overline {x}}))^{2}=b_{1}^{2}\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}$.
7. Im Allgemeinen ist der Standardfehler der Regression gegeben durch ${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\tfrac {1}{n-p}}{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{\top }{\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}}$.
8. Bestimmung der Funktion auf Grundlage der verwendeten Abbildung, Prof. Engelbert Niehaus (2017) – Koeffizienten und Typ der Abbildung wurden aus dem Diagramm abgelesen, um Abbildung und Funktionsterm konsistent zu halten. Bestimmung der Koeffizienten von dem Funktionsterm ${\displaystyle \textstyle f(x)\equiv -{\tfrac {4}{3}}|x-0{,}9|+1{,}4}$ erfolgte, um die nebenstehende Abbildung nicht verändern zu müssen.
9. Bestimmung der quadratischen Funktion auf Grundlage der verwendeten Abbildung, Prof. Engelbert Niehaus (2017) – Koeffizienten und Typ der Abbildung wurden aus dem Diagramm abgelesen, um Abbildung und Funktionsterm konsistent zu halten. Bestimmung der Koeffizienten von dem Funktionsterm ${\displaystyle \textstyle g(x)\equiv 1{,}1x^{2}-1{,}1}$ erfolgte, um die nebenstehende Abbildung nicht verändern zu müssen.
10. Für Populationsgrößen werden konventionell griechische Buchstaben und für Stichprobengrößen lateinische Buchstaben verwendet.
11. Die wahre Kovarianzmatrix kann in Anwendungen nicht berechnet werden, da die Varianz der Störgrößen ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ unbekannt ist.
12. Mit ${\displaystyle {\stackrel {H_{0}}{\sim }}}$ ist die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese gemeint (siehe Liste mathematischer Symbole).

Einzelnachweise

1. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 3. Auflage. 2013, S. 313.
2. Thomas Schuster, Arndt Liesen: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. Ein Lehr- und Übungsbuch für das Bachelor-Studium. 2. Auflage. 2017, S. 207.
3. Christoph Egert: Lineare statistische Modellierung und Interpretation in der Praxis. 2013, Kapitel Regression, S. 10 (abgerufen über De Gruyter Online).
4. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 212.
5. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 151.
6. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 40.
7. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 113.
8. Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. 6., durchges. u. aktualisierte Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-40209-8, S. 69.
9. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 213.
10. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 30 (abgerufen über De Gruyter Online).
11. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 115.
12. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 147.
13. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 114.
14. G. U. Yule: On the theory of correlation. In: Journal of the Royal Statistical Society. 62, S. 249–295.
15. Karl Pearson, Alice Lee, G. U. Yule: On the Distribution of Frequency (Variation and Correlation) of the Barometric Height at Divers Stations. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Vol. 190, 1897, S. 423–469.
16. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 39.
17. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 41.
18. Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. 6., durchges. u. aktualisierte Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-40209-8, S. 183.
19. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 171.
20. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 112.
21. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 27 (abgerufen über De Gruyter Online).
22. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 112.
23. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 171.
24. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 29 (abgerufen über De Gruyter Online).
25. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 57.
26. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 3. Auflage. 2013, S. 313.
27. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 110.
28. A. Colin Cameron, Pravin K. Trivedi: Microeconometrics. Methods and Applications. Cambridge University Press, 2005, ISBN 0-521-84805-9, S. 287.
29. J. Neyman u. a.: Lectures and conferences on mathematical statistics and probability. 1952.
30. F. J. Anscombe: Graphs in statistical analysis American Stat. 1973, S. 17–21.
31. Matthias-W. Stoetzer: Regressionsanalyse in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung. Eine nichtmathematische Einführung mit SPSS und Stata. Band 1. Springer Verlag, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53823-4, S. 40–43, 216–219.
32. Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt: Das Wichtigste aus Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, angewandter Mathematik, Topologie und Mengenlehre. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-55573-6, S. 116.
33. Ronald Aylmer Fisher: The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inheritance. In: Trans. Roy. Soc. Edinb. 52, 1918, S. 399–433.
34. Franka Miriam Brückler: Geschichte der Mathematik kompakt: Das Wichtigste aus Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, angewandter Mathematik, Topologie und Mengenlehre. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-55573-6, S. 117.
35. Henri Theil: Economic Forecasts and Policy. Amsterdam 1961, S. 213.
36. Horst Rinne: Ökonometrie: Grundlagen der Makroökonometrie. Vahlen, 2004.
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41. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 3. Auflage. 2013, S. 335.
42. Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie. 2., aktualisierte Auflage. Pearson Deutschland, 2008, ISBN 978-3-86894-156-2, S. 82.
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48. William H. Greene: Econometric Analysis. 5. Auflage. Prentice Hall International, 2002, ISBN 0-13-110849-2, S. 35.
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52. Ingram Olkin, John W. Pratt: Unbiased Estimation of Certain Correlation Coefficients. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 29, Nr. 1, März 1958, ISSN 0003-4851, S. 201–211, doi:10.1214/aoms/1177706717 (Online [abgerufen am 23. April 2021]).
53. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 845.
54. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 29 (abgerufen über De Gruyter Online).
55. William H. Greene: Econometric Analysis. 5. Auflage. Prentice Hall International, 2002, ISBN 0-13-110849-2, S. 33.
56. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 169.
57. William H. Greene: Econometric Analysis. 5. Auflage. Prentice Hall International, 2002, ISBN 0-13-110849-2, S. 32.
58. William H. Greene: Econometric Analysis. 5. Auflage. Prentice Hall International, 2002, ISBN 0-13-110849-2, S. 34.
59. Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie. 2., aktualisierte Auflage. Pearson Deutschland, 2008, ISBN 978-3-86894-156-2, S. 81.
60. William H. Greene: Econometric Analysis. 5. Auflage. Prentice Hall International, 2002, ISBN 0-13-110849-2, S. 82. ff.
61. A. Colin Cameron, Pravin K. Trivedi: Microeconometrics. Methods and Applications. Cambridge University Press, 2005, ISBN 0-521-84805-9, S. 288.
62. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 52 (abgerufen über De Gruyter Online).
63. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 345.
64. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 119.
65. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 158.
66. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 101.
67. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 146.
68. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 150.
69. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 133.
70. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 458.
71. Alvin C. Rencher, G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics. John Wiley & Sons, 2008, S. 162.
72. Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. 6., durchges. u. aktualisierte Auflage. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 2013, S. 298.
73. A. Colin Cameron, Pravin K. Trivedi: Microeconometrics. Methods and Applications. Cambridge University Press, 2005, ISBN 0-521-84805-9, S. 288.
74. A. Colin Cameron, Pravin K. Trivedi: Microeconometrics. Methods and Applications. Cambridge University Press, 2005, ISBN 0-521-84805-9, S. 289.
75. Rainer Schlittgen: Multivariate Statistik. Walter de Gruyter, 2009, S. 187.
76. Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie. 2., aktualisierte Auflage. Pearson Deutschland, 2008, ISBN 978-3-86894-156-2, S. 371.