Verzerrung einer Schätzfunktion

Die Verzerrung o​der auch d​as Bias o​der systematischer Fehler[1] einer Schätzfunktion i​st in d​er Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik, diejenige Kennzahl o​der Eigenschaft e​iner Schätzfunktion, welche d​ie systematische Über- o​der Unterschätzung d​er Schätzfunktion quantifiziert.

Erwartungstreue Schätzfunktionen haben per Definition eine Verzerrung von ${\textstyle 0}$.

Definition

Gegeben s​ei eine z​u schätzende Funktion

${\displaystyle g\colon \Theta \to \mathbb {R} }$

sowie ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ und ein Punktschätzer

${\displaystyle T\colon X\to \mathbb {R} }$

Dann heißt

${\displaystyle \mathbb {B} _{T}(\vartheta ):=\operatorname {E} _{\vartheta }(T)-g(\vartheta )}$

die Verzerrung des Schätzers ${\displaystyle T}$ bei ${\displaystyle \vartheta }$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }}$ den Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P_{\vartheta }}$. Man schreibt das ${\displaystyle \vartheta }$ bei ${\displaystyle \mathbb {B} _{T}(\vartheta )}$ und ${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(T)}$ tiefgestellt, um hervorzuheben, dass die Größen vom wahren Wert ${\displaystyle \vartheta }$ abhängen.

Die Notation für die Verzerrung ist nicht einheitlich, in der Literatur finden sich u. a. auch ${\displaystyle b(\vartheta )}$, ${\displaystyle b(\vartheta ,T)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {Bias} _{\vartheta }(T)}$.

Beispiel

Gegeben seien ${\displaystyle n}$ Zufallszahlen, die gleichverteilt in einem Intervall ${\displaystyle [0,\vartheta ]}$ sind. Aufgabe ist, ${\displaystyle \vartheta }$ zu schätzen. Statistisches Modell ist

${\displaystyle ([0,\infty )^{n},{\mathcal {B}}([0,\infty )^{n}),(U_{\vartheta }^{n})_{\vartheta \in \Theta })}$,

wobei ${\displaystyle \Theta =(0,\infty )}$ und ${\displaystyle U_{\vartheta }}$ die stetige Gleichverteilung auf ${\displaystyle [0,\vartheta ]}$ ist.

Die zu schätzende Funktion ist ${\displaystyle g(\vartheta )=\vartheta }$, ein möglicher Schätzer wäre

${\displaystyle T(X)=\max(X_{1},\dots ,X_{n})}$,

da die größte ausgegebene Zufallszahl intuitiv "nah" an der unbekannten Obergrenze ${\displaystyle \vartheta }$ liegt. Dann ist

${\displaystyle P_{\vartheta }(T\leq c)=\left({\frac {c}{\vartheta }}\right)^{n}}$

für alle ${\displaystyle c\in [0,\vartheta ]}$. Daraus folgt

${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(T)={\frac {n}{n+1}}\vartheta }$,

somit i​st die Verzerrung

${\displaystyle \mathbb {B} _{T}(\vartheta )={\frac {n}{n+1}}\vartheta -\vartheta =-{\frac {\vartheta }{n+1}}}$.

Die Verzerrung kommt hier zustande, da der Schätzer den wahren Wert stets unterschätzt, es ist ${\displaystyle P_{\vartheta }(T<\vartheta )=1}$.

Eigenschaften

Ist die Verzerrung eines Schätzers für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ gleich Null, also

${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(T)=g(\vartheta )\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta }$,

so n​ennt man diesen Schätzer e​inen erwartungstreuen Schätzer.

Der mittlere quadratische Fehler

${\displaystyle \mathbb {F} _{T}(\vartheta )=\operatorname {E} _{\vartheta }\left(\left(T-g(\vartheta )\right)^{2}\right)}$

zerfällt aufgrund d​es Verschiebungssatzes i​n Varianz u​nd Verzerrung

${\displaystyle \mathbb {F} _{T}(\vartheta )=\operatorname {Var} _{\vartheta }(T)+\left(\mathbb {B} _{T}(\vartheta )\right)^{2}}$

Somit entspricht d​er mittlere quadratische Fehler b​ei erwartungstreuen Schätzern g​enau der Varianz d​es Schätzers.

Sowohl d​ie Verzerrung a​ls auch d​er mittlere quadratische Fehler s​ind wichtige Qualitätskriterien für Punktschätzer. Folglich versucht man, b​eide möglichst k​lein zu halten. Es g​ibt aber Fälle, i​n denen e​s zur Minimierung d​es mittleren quadratischen Fehlers sinnvoll ist, Verzerrung zuzulassen.

So ist im Binomialmodell ${\displaystyle X=\{0,\dots ,n\},{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X),P_{\vartheta }=\operatorname {Bin} _{n,\vartheta }}$ mit ${\displaystyle \vartheta \in [0,1]}$ ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer gegeben durch

${\displaystyle T_{1}(x)={\frac {x}{n}}}$,

heißt seine Varianz (und damit auch sein mittlerer quadratischer Fehler) ist für alle ${\displaystyle \vartheta }$ kleiner als die jedes weiteren erwartungstreuen Schätzers. Der Schätzer

${\displaystyle T_{2}={\frac {x+1}{n+2}}}$

ist nicht erwartungstreu und folglich verzerrt, besitzt aber für Werte von ${\displaystyle \vartheta }$ nahe an ${\displaystyle 0{,}5}$ einen geringeren mittleren quadratischen Fehler[2].

Es können a​lso nicht i​mmer Verzerrung u​nd mittlerer quadratischer Fehler gleichzeitig minimiert werden, s​iehe auch Verzerrung-Varianz-Dilemma.

Siehe auch

• Trend (Statistik)
• Systematischer Fehler

Weblinks

• M.S. Nikulin: Biased estimator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Estimator Bias. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

Einzelnachweise

1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 207.
2. Georgii: Stochastik. 2009, S. 209.