Datenmatrix

In d​er Statistik i​st die Datenmatrix, a​uch Versuchsplanmatrix,[1] Designmatrix[1] (von englisch research design: deutsch Versuchsplan), Modellmatrix, Beobachtungsmatrix o​der Regressormatrix genannt, e​ine Matrix, d​ie Daten über mehrere Merkmale mehrerer Personen o​der Objekte (statistische Einheiten) enthält. Sie i​st Grundlage d​es klassischen Modells d​er linearen Mehrfachregression.

Der Begriff Versuchsplan- bzw. Designmatrix (bezeichnet mit ${\displaystyle \mathbf {X} }$) kommt aus dem Teilgebiet der statistischen Versuchsplanung, die sich mit dem statistisch optimalen Entwurf von Experimenten beschäftigt (siehe Optimale Versuchsplanung). Wenn die Werte der ${\displaystyle x_{ij}}$ geplant sind (vom Forscher festgelegt), enthält die ${\displaystyle \mathbf {X} }$-Matrix im Wesentlichen den Versuchsplan und wird daher manchmal als Versuchsplanmatrix bezeichnet.[2]

Definition

Geht man davon aus, dass ${\displaystyle n}$ Untersuchungseinheiten vorliegen, an denen ${\displaystyle p=k+1}$ Variablen beobachtet wurden, dann ist der an der ${\displaystyle i}$-ten Untersuchungseinheit beobachtete Wert der ${\displaystyle j}$-ten Variable ${\displaystyle x_{ij}}$. Die Datenmatrix ist definiert als die ${\displaystyle n\times p}$-Matrix

${\displaystyle \mathbf {X} =(x_{ij})_{n\times p}={\begin{pmatrix}1&x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1k}\\1&x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n1}&x_{n2}&\cdots &x_{nk}\end{pmatrix}}}$.

Die ${\displaystyle i}$-te Zeile der Datenmatrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ist der – mit den am ${\displaystyle i}$-ten Objekt beobachteten Variablenwerten – gebildete Zeilenvektor ${\displaystyle \mathbf {x} _{i\mathbf {.} }^{\top }=(x_{i0},x_{i1},\dotsc ,x_{ik})}$, ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$. Man kann das ${\displaystyle i}$-te Objekt geometrisch als Punkt darstellen, indem man die Elemente als Koordinaten eines Punktes in einem ${\displaystyle p}$-dimensionalen Merkmalsraum deutet, der von ${\displaystyle p}$ rechtwinkelig angeordneten Merkmalsachsen aufgespannt wird. Wenn man auf diese Art alle Zeilenvektoren von ${\displaystyle \mathbf {X} }$ als Punkte darstellt, ergibt sich eine die Objekte (Untersuchungseinheiten) repräsentierende Verteilung von Punkten im Merkmalsraum.[3]

Ebenso kann man die Datenmatrix als Zusammenfassung der Spaltenvektoren ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathbf {.} j}=(x_{1j},x_{2j},\dotsc ,x_{nj})^{\top }}$, ${\displaystyle j=0,\dotsc ,k}$ deuten. Jeder Spaltenvektor ist einer Variablen ${\displaystyle X_{j}}$ zugeordnet und beinhaltet die an den Untersuchungseinheiten beobachteten Werte dieser Variablen. Mit diesen Werten können die Variablen in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem, in dem die Achsen die ${\displaystyle n}$ Untersuchungseinheiten repräsentieren, als Punkte dargestellt werden. Im von den ${\displaystyle n}$ Achsen aufgespannten Objektraum lassen sich die Beziehungen zwischen den Variablen veranschaulichen.[4]

Alternative Darstellungen

Die Datenmatrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$ kann als eine partitionierte Matrix bezüglich ihrer ${\displaystyle p=k+1}$ Spalten ausgedrückt werden als

${\displaystyle \mathbf {X} =(\mathbf {1} ,\mathbf {x} _{(1)},\mathbf {x} _{(2)},\dotsc ,\mathbf {x} _{(k)})}$.

Die Spalten der Datenmatrix ${\displaystyle \mathbf {X} }$ inklusive des Einsvektors ${\displaystyle \mathbf {1} }$ sind alle ${\displaystyle n}$-dimensionale Vektoren und daher Punkte im Datenraum. Da für gewöhnlich angenommen wird, dass ${\displaystyle \mathbf {X} }$ von Rang ${\displaystyle k+1}$ ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Die Menge aller möglichen Linearkombinationen der Spalten von ${\displaystyle \mathbf {X} }$ bilden eine Teilmenge des Datenraums.[5]

Einzelnachweise

1. design matrix. Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 19. Mai 2020 (englisch).
2. Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008., S. 139
3. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 3. Auflage. 2013, S. 420.
4. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 3. Auflage. 2013, S. 420.
5. Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008., S. 153.