Hauptdiagonale

Die Hauptdiagonale einer Matrix besteht in der Mathematik aus denjenigen Elementen der Matrix, die auf einer gedachten diagonal von links oben unter 45° nach rechts unten verlaufenden Linie liegen. Die Diagonalen der Matrix, die parallel zur Hauptdiagonale verlaufen, werden als Nebendiagonalen der Matrix bezeichnet. Die Diagonale einer Matrix, die stattdessen von rechts oben nach links unten verläuft, wird Gegendiagonale der Matrix genannt.

Hauptdiagonale (rot) und Nebendiagonalen (blau) einer (4×4)-Matrix

Definition

Die Hauptdiagonale einer Matrix

A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{pmatrix}}

besteht aus denjenigen Einträgen der Matrix, die auf der Diagonale von oben links nach unten rechts stehen. Das sind die Einträge $a_{k,k}$ mit $1\leq k\leq \min\{m,n\}$ , also genau diejenigen Matrixeinträge $a_{i,j}$ , bei denen Zeilen- und Spaltenindex übereinstimmen.

Beispiele

Die Hauptdiagonale der Matrix

A={\begin{pmatrix}1&4&2&1\\3&0&3&1\\5&1&2&0\\4&1&2&3\end{pmatrix}}

besteht aus den vier Einträgen $1,0,2$ und $3$ .

Die folgenden 3 Matrizen haben ihre Hauptdiagonale gekennzeichnet durch rote Einsen.

{\begin{pmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {red}{1}&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\\0&0&0\end{pmatrix}}

Verwendung

Eine quadratische Matrix, bei der nur die Elemente auf der Hauptdiagonalen von null verschieden sind, heißt Diagonalmatrix. Besitzen alle diese Elemente den Wert eins, ergibt sich die sogenannte Einheitsmatrix. Die Summe der Hauptdiagonalelemente nennt man Spur der Matrix. Eine symmetrische Matrix ist eine Matrix, die symmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonale ist.

Der Begriff „Nebendiagonale“ hat keine einheitliche Definition und kann sich auf eine Diagonale beziehen, die parallel zur Hauptdiagonale oberhalb oder unterhalb von dieser verläuft, oder auf eine der Gegendiagonalen der Matrix, die von rechts oben nach links unten verlaufen.

Die Hauptdiagonale spielt eine besondere Rolle bei der Berechnung der Determinante einer Matrix. Bei einer $(2\times 2)$ -Matrix ergibt sich die Determinante als das Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Gegendiagonalelemente. Bei einer $(3\times 3)$ -Matrix kann die Determinante mit der Regel von Sarrus berechnet werden, bei der Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen betrachtet werden. Bei einer Dreiecksmatrix beliebiger Größe ergibt sich die Determinante direkt als das Produkt der Hauptdiagonalelemente.

Siehe auch

Diagonaldominante Matrix

Literatur

Christian Voigt, Jürgen Adamy: Formelsammlung der Matrizenrechnung. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58350-2, S. 19.
Peter Gabriel: Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra. Birkhäuser Verlag, Berlin/Basel/Boston 1996, ISBN 978-3-7643-5376-6, S. 475.

Weblinks

Eric W. Weisstein: Main Diagonal. In: MathWorld (englisch).

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