Quadratur des Kreises

Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Das wiederum entspricht der Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ (halber Kreisumfang) aus der Strecke, deren Länge gleich $1$ Längenmaßeinheit ist. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, so ist die Aufgabe aufgrund der Transzendenz von $\pi$ unlösbar. Erst im Jahre 1882 konnte dies von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden.

Das Quadrat und der Kreis haben den gleichen Flächeninhalt.

Die Quadratur des Kreises gehört zu den populärsten Problemen der Mathematik. Jahrhundertelang suchten neben Mathematikern auch immer wieder Laien vergeblich nach einer Lösung. Der Begriff Quadratur des Kreises ist in vielen Sprachen zu einer Metapher für eine unlösbare Aufgabe geworden.

Geschichte

Vorgeschichte

Näherungsverfahren des Ahmes im Papyrus Rhind:
Ein Kreis mit Durchmesser 9 in einem Quadrat der Seitenlänge 9, das in neun kleinere Quadrate der Seitenlänge 3 zerlegt wird.
Der Flächeninhalt des Kreises entspricht ungefähr dem eines (unregelmäßigen) Achtecks (7·9) und etwas genauer dem eines Quadrats mit Seitenlänge 8 (64).

Bereits in den altorientalischen Hochkulturen gab es Verfahren zur Berechnung von Kreisflächen. Beispielsweise wird im Papyrus Rhind (um 1650 v. Chr.) der Durchmesser des Kreises in 9 Teile geteilt. Sein genauer Flächeninhalt in diesen Einheiten ist ${\tfrac {\pi }{4}}\cdot 9^{2}=63{,}62\ldots$ . Dieser Wert wird dann durch ein Quadrat der Kantenlänge 8 angenähert, also durch $8^{2}=64$ . In einem zweiten Verfahren wird der Kreis durch ein unregelmäßiges Achteck angenähert. Dazu werden von dem 9×9-Quadrat, in das er einbeschrieben ist, an allen vier Ecken gleiche Dreiecke mit zusammen 18 Flächeneinheiten abgeschnitten, sodass 63 übrig bleiben. Derartige Musterlösungen waren aus der Praxis gewonnen und für die Praxis bestimmt, es gab keine weitergehenden theoretischen Überlegungen, insbesondere wurde kein Unterschied zwischen exakter Lösung und Näherung gemacht.[1]

Eine deduktive Vorgehensweise in der Mathematik, bei der durch Beweise gestützte Sätze die Musteraufgaben ersetzen, entwickelte sich ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. in Griechenland. Ansatzweise ist sie schon bei Thales von Milet, deutlicher in der von Pythagoras von Samos gegründeten Schule der Pythagoreer zu erkennen.[2] Mit der gemeinhin dem Pythagoreer Hippasos von Metapont zugeschriebenen Entdeckung inkommensurabler Strecken im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v. Chr. stellte sich heraus, dass es konstruierbare Objekte gibt (beispielsweise die Diagonale eines Quadrats), die nicht als ganzzahliges Verhältnis darstellbar sind. Dies schien bemerkenswert, da die einzigen bekannten Arten von Zahlen die ganzen Zahlen und die Verhältnisse ganzer Zahlen (im heutigen Sprachgebrauch die „rationalen Zahlen“) waren. Beliebige geometrische Strecken mussten dem entsprechend stets kommensurabel sein, also in einem ganzzahligen Längenverhältnis zueinander stehen. Durch die Entdeckung waren nun Längen geometrisch konstruierbar, die arithmetisch nicht als „Zahl“ im bisherigen Sinn darstellbar waren (im heutigen Sprachgebrauch handelt es sich um „irrationale Zahlen“). Die Geometrie konnte plötzlich mehr darstellen, als die Arithmetik es vermochte.[3][4] Als Folge dieser Entdeckung trat die Arithmetik zugunsten der Geometrie in den Hintergrund, Gleichungen mussten jetzt geometrisch gelöst werden, etwa durch Aneinanderlegung von Figuren und Überführung verschiedener Figuren in Rechtecke oder Quadrate. Aus dem späten 5. Jahrhundert stammen die drei klassischen Konstruktionsprobleme der antiken Mathematik, neben der Quadratur des Kreises noch die Aufgabe der Dreiteilung des Winkels und das Delische Problem der Verdoppelung des Würfels.[5]

Eine Beschränkung der Konstruktionsmittel auf Zirkel und Lineal wurde dabei nicht generell gefordert. Während der Beschäftigung mit den klassischen Problemen wurden schon früh Lösungen gefunden, die auf weitergehenden Hilfsmitteln basieren. Allerdings kristallisierte sich im Lauf der Zeit eine Haltung heraus, die eine möglichst weitgehende Beschränkung verlangt. Spätestens bei Pappos war diese weitestgehende Beschränkung zur Maßregel geworden.[6][7]

Frühe Arbeiten

Als einer der ersten soll dem griechischen Schriftsteller Plutarch zufolge der Philosoph Anaxagoras „im Gefängnis die Quadratur des Kreises aufgeschrieben (oder: gezeichnet, altgriechisch ἔγραφε)“ haben,[8] nähere Angaben zu Anaxagoras’ Konstruktion macht Plutarch nicht. Ein Gefängnisaufenthalt des Anaxagoras wäre auf etwa 430 v. Chr. zu datieren, als der Philosoph in Athen wegen Gottlosigkeit angeklagt war.[9]

Ausführlichere Quellen zu den Anfängen der Forschung sind hauptsächlich spätantike Kommentare zu Werken des Aristoteles, Schriften also, die mit einer zeitlichen Distanz von rund 900 Jahren entstanden sind. Dementsprechend unsicher sind zeitliche Reihenfolge und genaue Gedankengänge der ersten Ansätze. Die wichtigsten Arbeiten des 5. Jahrhunderts v. Chr. stammen von Hippokrates von Chios, Antiphon, Bryson von Herakleia und Hippias von Elis.[10]

Die „Möndchen des Hippokrates“: Der Flächeninhalt des grauen „Möndchens“ entspricht dem des rechtwinkligen Dreiecks ABC.

Die Überführung von Dreiecken in Rechtecke, von Rechtecken in Quadrate (Quadratur des Rechtecks) oder die Addition zweier Quadrate (Satz des Pythagoras) war mit den bekannten geometrischen Sätzen bereits damals elementar zu bewältigen. Hippokrates von Chios konnte um 440 v. Chr. ein Beispiel für eine krummlinig begrenzte Fläche geben, die exakt in ein Quadrat überführt werden konnte. Ausgehend von dem bei ihm noch als Axiom benutzten Satz, dass sich die Flächeninhalte ähnlicher Kreissegmente wie die Quadrate über ihren Sehnen verhalten, gelang es Hippokrates, von Kreisbögen begrenzte Flächen, die sogenannten „Möndchen des Hippokrates“, zu quadrieren.[11] Die Quadratur des Kreises ist auf diese Weise jedoch nicht zu erreichen, da nur bestimmte Möndchen – zum Beispiel die über der Seite des Quadrats, nicht jedoch die über der Seite eines regelmäßigen Sechsecks – quadrierbar sind.

Dass Dreiecke (und damit beliebige Vielecke) in ein Quadrat übergeführt werden konnten, war ein zweiter Ansatz, ein dem Kreis flächengleiches Polygon zu konstruieren. Antiphon hatte die Idee, den Kreis durch einbeschriebene Vielecke anzunähern. Bryson von Herakleia verfeinerte dieses Vorgehen, indem er den Kreis zusätzlich durch umbeschriebene Vielecke näherte und einen Zwischenwert bildete.[12]

Hippias von Elis entwickelte etwa 425 v. Chr. zur Lösung der Winkeldreiteilung eine Kurve, die mechanisch durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung erzeugt wurde. Gut hundert Jahre später entdeckte Deinostratos, dass mithilfe dieser Kurve, der sogenannten Quadratrix, die Strecke der Länge $2/\pi$ – und damit mithilfe weiterer elementarer Konstruktionen ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $\pi$ – konstruiert werden kann. Da die Quadratrix selbst jedoch eine sogenannte transzendente Kurve ist (siehe hierzu Beweis der Unmöglichkeit), also nicht mit Zirkel und Lineal zu erzeugen ist, war die Lösung im strengen Sinne damit nicht erreicht.[13][14]

Archimedes

Kreisquadratur mithilfe der Spirale: A bezeichne den Punkt der Spirale um den Ursprung O, den sie nach der ersten Umdrehung erreicht. Die Tangente an die Spirale in diesem Punkt schneide die Senkrechte zu OA in B. Nach Archimedes ist die Strecke BO gleich dem Umfang des Kreises mit Radius OA, der Flächeninhalt des roten Kreises also gleich dem Flächeninhalt des blauen Dreiecks.

Eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel Kreismessung ist von Archimedes überliefert.[15] Archimedes bewies in dieser Arbeit drei grundlegende Sätze:

Der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Kreisradius als der einen und dem Kreisumfang als der anderen Kathete. Berechnen lässt sich die Kreisfläche also als ½ · Radius · Umfang.
Der Flächeninhalt eines Kreises verhält sich zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie ¹¹/₁₄.
Der Umfang eines Kreises ist größer als 3+¹⁰/₇₁ und kleiner als 3+¹⁰/₇₀ des Durchmessers.

Mit dem ersten Satz wurde das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage nach der Konstruierbarkeit des Umfangs eines Kreises aus dem vorgegebenen Radius und damit auf die Konstruierbarkeit von $\pi$ zurückgeführt. Im dritten Satz gab Archimedes gleich eine ebenso einfache wie genaue Näherung dieser Zahl an, nämlich ²²/₇, ein Wert (≈ 3,143), der für praktische Zwecke noch heute Verwendung findet. Der zweite Satz ist ein einfaches Korollar aus den beiden anderen; dass sich der Flächeninhalt eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält, und war bereits Euklid bekannt.[16] Archimedes gab hier den Wert der Proportionalitätskonstanten an.

Zum Beweis seiner Aussagen zog Archimedes die Idee des Bryson von Herakleia heran, mit der man eine beliebige Annäherung des Kreises durch ein- und umbeschriebene regelmäßige Polygone erreicht. Ausgehend vom einbeschriebenen Sechseck und umbeschriebenen Dreieck gelangte Archimedes durch sukzessive Verdoppelung der Seitenzahl jeweils beim 96-Eck an. Eine geschickte Abschätzung der in den einzelnen Rechenschritten auftretenden Quadratwurzeln ergab seine in Satz 3 genannten Schranken.[17][18]

In einer weiteren Arbeit Über Spiralen[19] beschrieb Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten archimedischen Spirale, die ähnlich wie Hippias’ Quadratrix durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung gewonnen wird. Er zeigte, dass durch das Anlegen der Tangente an diese Spirale der Umfang eines Kreises auf einer Geraden abgetragen werden kann. Auf die damit geleistete Vorarbeit zur Quadratur des Kreises weisen spätere Kommentatoren hin, Archimedes selbst machte dazu keine Aussage. Wie bei der Quadratrix sind allerdings weder seine Spirale selbst noch etwa ihre Tangente mit Zirkel und Lineal konstruierbar.[20]

Mittelalter

Die Kreisquadratur des Franco von Lüttich: Franco zerlegt den Kreis in 44 Sektoren, die er zu einem Rechteck zusammensetzt.

Infolge eines verstärkten Interesses für die antike Mathematik im christlichen Europa ab etwa dem 11. Jahrhundert entstanden etliche Abhandlungen über die Quadratur des Kreises, jedoch ohne dass dabei wesentliche Beiträge zur eigentlichen Lösung geleistet wurden. Als Rückschritt zu betrachten ist, dass im Mittelalter der Archimedische Näherungswert von ²²/₇ für die Kreiszahl lange Zeit als exakt galt.[21]

Einer der ersten Autoren des Mittelalters, der das Problem der Kreisquadratur wiederaufnahm, war Franco von Lüttich. Um 1050 entstand sein Werk De quadratura circuli.[22] Franco stellt darin zunächst drei Quadraturen vor, die er verwirft. Die ersten beiden geben für die Seitenlänge des Quadrates ⁷/₈ beziehungsweise für die Diagonale ¹⁰/₈ des Kreisdurchmessers an, was relativ schlechten Näherungen von 3¹/₁₆ und 3¹/₈ für $\pi$ entspricht. Der dritte Vorschlag wiederum setzt den Umfang des Quadrates dem Kreisumfang gleich, verlangt also die Rektifikation des letzteren.

Francos eigene Lösung geht von einem Kreis mit Durchmesser 14 aus. Dessen Fläche setzt er als genau 7² × ²²/₇ = 154 an. Nach Francos Argumentation lässt sich rechnerisch kein flächengleiches Quadrat finden, da die Quadratwurzel aus ²²/₇ irrational ist, als geometrisch konstruierbare inkommensurable Strecke (siehe Vorgeschichte) jedoch liefert die Quadratwurzel aus ²²/₇ die Quadratur. Dazu zerlegt er den Kreis in 44 gleiche Sektoren, die er zu einem Rechteck der Seitenlängen 11 und 14 zusammenfügt. Den nötigen Kunstgriff, bei dem er die Kreissektoren durch rechtwinklige Dreiecke mit Katheten der Länge 1 und 7 ersetzt, erläutert Franco allerdings nicht.[23] Problematisch ist auch sein nicht ganz geglückter Versuch, das Rechteck anschließend durch eine geeignete Zerlegung in ein Quadrat zu überführen. Offensichtlich war Franco das althergebrachte griechische Verfahren nicht geläufig.[23]

Spätere Abhandlungen der Scholastik erschöpfen sich mehr oder minder in einer Abwägung der Argumente der bekannten Klassiker. Erst mit der Verbreitung lateinischer Übersetzungen der archimedischen Schriften im Spätmittelalter wurde der Wert ²²/₇ wieder als Näherung erkannt und nach neuen Lösungen des Problems gesucht, so beispielsweise von Nikolaus von Kues. Dieser griff die Idee, den Kreis durch eine Folge regelmäßiger Vielecke mit wachsender Seitenzahl anzunähern, wieder auf, suchte im Gegensatz zu Archimedes jedoch nicht den Kreisumfang, sondern den Kreisradius bei vorgegebenem gleichbleibendem Umfang der Polygone zu bestimmen. In einem Brief an den Arzt und Naturforscher Paolo Toscanelli gab von Kues eine solche Lösung, die er für genau hielt, an. Der daraus ermittelte Wert für die Kreiszahl liegt auch immerhin zwischen den von Archimedes gegebenen Grenzen. Die eigentlichen Arbeiten von Kues zum Thema liefern deutlich schlechtere Näherungen und wurden damit zum Ziel einer Streitschrift des Regiomontanus, der die Ungenauigkeit der Berechnungen nachwies und die Beweise „als philosophische, aber nicht als mathematische“ bezeichnete.[24]

Fortschritte der Kreismessung in der frühen Neuzeit

Ab dem 16. Jahrhundert brachten die Weiterentwicklung des archimedischen Näherungsverfahrens sowie das Aufkommen moderner analytischer Methoden Fortschritte in der Kreisberechnung.

Bei der ursprünglichen Methode des Archimedes wird der Kreisumfang durch den Umfang eines dem Kreis einbeschriebenen und den eines dem Kreis umbeschriebenen Vielecks abgeschätzt. Genauere Schranken ergeben sich durch eine Erhöhung der Eckenzahl. Der niederländische Mathematiker Willebrord van Roijen Snell (Snellius) fand heraus, dass auch, ohne die Seitenzahl zu vergrößern, feinere Schranken für die Länge eines Bogenstückes als nur die Sehnen der Polygone angegeben werden können. Er konnte dieses Ergebnis allerdings nicht streng beweisen.[25] Die Ausarbeitung und Verbesserung des snelliusschen Ansatzes leistete Christiaan Huygens in seiner Arbeit De circuli magnitudine inventa,[26] in der er auch den Beweis der von Snellius aufgestellten Sätze erbrachte.[27] Auf rein elementargeometrischem Weg gelang Huygens eine so gute Eingrenzung der zwischen Vieleck und Kreis liegenden Fläche, dass er bei entsprechender Seitenzahl der Polygone die Kreiszahl auf mindestens viermal so viel Nachkommastellen genau erhielt wie Archimedes mit seinem Verfahren.[28]

Der rein geometrische Ansatz zur Bestimmung der Kreiskonstanten war mit Huygens’ Arbeit im Wesentlichen ausgeschöpft. Bessere Näherungen ergaben sich mithilfe von unendlichen Reihen, speziell der Reihenentwicklung trigonometrischer Funktionen.[27] Zwar hatte François Viète schon Ende des 16. Jahrhunderts durch die Betrachtung bestimmter Streckenverhältnisse aufeinanderfolgender Polygone eine erste exakte Darstellung von $\pi$ durch ein unendliches Produkt gefunden, doch erwies sich diese Formel als unhandlich. Eine einfachere Reihe, die darüber hinaus nur mit Multiplikationen und Divisionen auskommt, stammt von John Wallis,[29] eine weitere Darstellung der Kreiszahl als Kettenbruch von William Brouncker.[30] Wichtiger für die Praxis war die von James Gregory und davon unabhängig von Gottfried Wilhelm Leibniz gefundene Reihe für den Arcustangens.[31] Obwohl diese Reihe selbst nur langsam konvergiert, kann man aus ihr andere Reihen ableiten, die sich wiederum sehr gut zur Berechnung der Kreiszahl eignen. Anfang des 18. Jahrhunderts waren mithilfe solcher Reihen über 100 Stellen von $\pi$ berechnet,[32] neue Erkenntnisse über das Problem der Kreisquadratur konnten dadurch allerdings nicht gewonnen werden.

Algebraische Problemstellung und Irrationalität von π

Descartes beschreibt am Anfang seiner Géométrie den neuen Ansatz der analytischen Geometrie.

Oronce Fine, Quadratura circuli, 1544.

J. P. de Fauré, Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature mathematique du cercle, 1747.

Zur Lösung des Problems bedurfte es zum einen der Möglichkeit, dem geometrischen Begriff „konstruierbar“ eine algebraische Bedeutung zu geben, zum anderen genauerer Einsicht der Eigenschaften der Kreiszahl.

Eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal geht von einer endlichen Anzahl vorgegebener Punkte aus und ermittelt in einer endlichen Anzahl von Schritten neue Punkte durch das Schneiden zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden mit einem Kreis. Die Übersetzung dieser Vorgehensweise in die Sprache der Algebra gelang durch die Einführung von Koordinatensystemen im Rahmen der im 17. Jahrhundert hauptsächlich von Pierre de Fermat und René Descartes entwickelten analytischen Geometrie.[33] Geraden und Kreise konnten mit den neuen Mitteln durch Gleichungen beschrieben, Schnittpunkte durch das Lösen von Gleichungssystemen bestimmt werden. Es stellte sich heraus, dass die mit Zirkel und Lineal von einer Strecke der Länge 1 ausgehend konstruierbaren Streckenlängen genau den Zahlen entsprechen, die sich durch eine endliche Zahl von rationalen (Grund-)Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie einer endlichen Anzahl aus der Umkehroperation des Quadrierens resultierender Quadratwurzeln aus der Zahl 1 ableiten lassen.[34] Insbesondere entsprechen diese Längen algebraischen Zahlen, also einer Teilmenge der Zahlen, die eine Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen Grades mit rationalen Koeffizienten sind. Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. Dem entsprechend sind transzendente Längen ausgehend von der Länge 1 nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal konstruierbar.[35][36]

Ausgangspunkt für die weiteren Untersuchungen der Kreiszahl waren einige grundlegende Erkenntnisse Leonhard Eulers, die dieser 1748 in seinem Werk Introductio in analysin infinitorum[37] veröffentlicht hatte. Euler stellte unter anderem mit der nach ihm benannten eulerschen Formel

e^{i\,z}=\cos z+i\sin z

erstmals einen Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion her und lieferte darüber hinaus einige Kettenbruch- und Reihendarstellungen von $\pi$ und der später nach ihm benannten eulerschen Zahl e.[38]

Diese Vorarbeit machte sich Johann Heinrich Lambert zunutze, der mithilfe einer der eulerschen Kettenbruchentwicklungen 1766 erstmals zeigen konnte, dass e und $\pi$ irrationale, also nicht durch einen ganzzahligen Bruch darstellbare Zahlen sind.[39] Eine kleine Lücke in Lamberts Beweisführung wurde 1806 von Adrien-Marie Legendre geschlossen, der gleichzeitig den Irrationalitätsbeweis für $\pi ^{2}$ erbrachte.[40]

Die Vermutung, dass $\pi$ nicht algebraisch sein könnte, wurde zumindest von Euler, Lambert und Legendre ausgesprochen. Dennoch war bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts noch nicht klar, dass es überhaupt transzendente Zahlen geben musste. Dieser Nachweis gelang 1844/1851 Joseph Liouville durch explizite Konstruktion von transzendenten liouvilleschen Zahlen.[41]

Beweis der Unmöglichkeit

Ferdinand von Lindemann konnte 1882 schließlich beweisen, dass $\pi$ nicht algebraisch, sondern transzendent ist. Deshalb ist $\pi$ in gerader Linie nicht konstruierbar und die Quadratur des Kreises unmöglich.[42]

Lindemann griff in seiner Arbeit auf ein Ergebnis des französischen Mathematikers Charles Hermite zurück. Dieser hatte 1873 gezeigt, dass die eulersche Zahl e transzendent ist.[43] Darauf aufbauend konnte Lindemann den sogenannten Satz von Lindemann-Weierstraß beweisen, der besagt, dass für beliebige, voneinander verschiedene algebraische Zahlen $z_{1},\dots ,z_{r}$ und für beliebige algebraische Zahlen $n_{1},\dots ,n_{r}$ die Gleichung

\sum _{i=1}^{r}n_{i}e^{z_{i}}=0

nur dann gelten kann, wenn alle $n_{i}$ den Wert Null haben.[44] Insbesondere kann für keine von Null verschiedene algebraische Zahl z der Ausdruck $e^{z}$ eine rationale Zahl ergeben. Nach dieser Vorbereitung konnte Lindemann die Annahme, $\pi$ sei algebraisch, mithilfe der eulerschen Identität $e^{i\pi }=-1$ zum Widerspruch führen; $\pi$ musste somit transzendent sein.[43]

Lindemanns Beweis für die Transzendenz von $\pi$ wurde in den folgenden Jahren und Jahrzehnten noch wesentlich vereinfacht, so etwa durch David Hilbert im Jahre 1893.[45]

Popularität der Kreisquadratur

Die Quadratur des Kreises erreichte wie nur wenige andere Fragestellungen auch außerhalb der Mathematik eine große Popularität. Als Folge versuchten sich viele mathematische Laien an der Lösung des einfach erscheinenden Problems; etliche glaubten, sie gefunden zu haben.

Berichte über ein wachsendes Aufkommen an Amateurarbeiten ab dem 18. und 19. Jahrhundert und Beispiele zum Thema finden sich bei Jean-Étienne Montucla,[46] Johann Heinrich Lambert[47] und Augustus de Morgan.[48] In der Regel handelte es sich um Verfahren, bei denen das Problem mechanisch, numerisch oder durch eine geometrische Näherungskonstruktion „exakt“ gelöst wurde. Derartige Arbeiten wurden in einer derart großen Zahl an Mathematiker oder wissenschaftliche Institutionen herangetragen, dass sich zum Beispiel die Pariser Akademie der Wissenschaften 1775 genötigt sah, die weitere Untersuchung von vorgeblichen Lösungen der Kreisquadratur offiziell abzulehnen:[49]

« L’Académie a pris, cette année, la résolution de ne plus examiner aucune solution des problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l’angle ou de la quadrature du cercle, ni aucune machine annoncée comme un mouvement perpétuel. »

„Die Akademie hat dieses Jahr die Entscheidung getroffen, in Zukunft weder die Lösungen der mathematischen Probleme betreffend die Verdoppelung des Würfels, die Dreiteilung des Winkels sowie die Quadratur des Kreises, noch jedwede Maschine mit dem Anspruch eines ‚Perpetuum mobile‘ zu untersuchen.“

Auch nach dem Unmöglichkeitsbeweis durch Lindemann von 1882 wurden noch im 20. Jahrhundert vermeintliche Kreisquadraturen veröffentlicht, die in jüngerer Zeit als vergebliche Versuche der Amateurmathematiker Stoff der Unterhaltungsmathematik geworden sind.

Ein Hauptgrund für die gerade für mathematische Laien hohe Attraktivität ist wohl die sehr elementare Problemstellung, die auch ohne tiefergehendes mathematisches Wissen verstanden werden kann oder zumindest verständlich zu sein scheint. Zusammen mit den zahlreichen vergeblichen Lösungsversuchen etablierter Wissenschaftler erlangte die Kreisquadratur einen regelrechten Nimbus.[50]

Ein weiterer, nicht zu unterschätzender Grund für die zahlreichen Bemühungen um die Quadratur des Kreises war die verbreitete Meinung, auf die Lösung des Problems sei ein hoher Preis ausgesetzt – ein Irrglaube, der möglicherweise auf die irrige Vermutung zurückgeht, die Kreisquadratur stünde in direkter Verbindung mit dem ebenfalls lange ungelösten Problem der exakten Bestimmung der geographischen Länge zur See, auf dessen Lösung in der Tat Preise ausgesetzt waren. Die Sage von den Preisausschreiben hielt sich so hartnäckig, dass selbst 1891 in Meyers Konversations-Lexikon noch zu lesen war, dass „Karl V. 100.000 Thaler und die holländischen Generalstaaten eine noch höhere Summe“ ausgesetzt hätten.[51]

Prominente Kreisquadrierer

Prominentes Beispiel für einen Amateurmathematiker, der die Quadratur des Kreises gefunden zu haben glaubte, war der englische Philosoph Thomas Hobbes. Seine 1665 in seinem Werk De corpore veröffentlichte Lösung – in Wirklichkeit eine Näherungskonstruktion – wurde von John Wallis noch im selben Jahr widerlegt. In der Folgezeit entspann sich zwischen den beiden eine in scharfem Tonfall geführte Auseinandersetzung, die erst mit Hobbes’ Tod im Jahr 1679 ein Ende fand.[52]

Lambert berichtet von drei Kreisquadraturen mittels eines bestimmten rationalen Wertes. Die in der Mitte des 18. Jahrhunderts erschienenen Arbeiten beruhen auf der Näherung ³⁵/₃₁ für das Verhältnis von Kreisdurchmesser zur Seite des flächengleichen Quadrates. Für die Kreiszahl erhält man daraus die Näherung

\pi \approx {\frac {3844}{1225}}=3{,}1{\color {red}37\;9\;\ldots }\;.

[53]

Einem der drei Autoren, dem Prediger Merkel aus Ravensburg, widmete Gotthold Ephraim Lessing das Gedicht „Auf den Herrn M** den Erfinder der Quadratur des Zirkels“.[54]

Die Kreisquadratur des amerikanischen Arztes Edward J. Goodwin erschien 1894 sogar im ersten Band des American Mathematical Monthly, wenn auch nur als Annonce des Autors. Die Arbeit selbst ist in sich widersprüchlich und lässt je nach Lesart mehrere Werte für $\pi$ zu. Sie war Grundlage für einen 1897 dem Parlament von Indiana vorgelegten Gesetzentwurf, der sogenannten Indiana Pi Bill, durch den die Erkenntnisse Goodwins zum Gesetz erhoben werden sollten.[55]

Kunst und Kultur

Als frühester Beleg für das Auftauchen eines sogenannten „Kreisquadrierers“ oder „Quadrators“ wird gelegentlich eine Stelle in Aristophanes’ Komödie Die Vögel aus dem 5. Jahrhundert vor Chr. zitiert, in der Meton als Vermesser auftritt und den Grundriss einer neuen Stadt mit geometrischen Hilfsmitteln so festlegen will, dass „der Kreis ein Viereck werde“. Gemeint ist damit jedoch nicht die Quadratur eines Kreises, sondern das Anlegen zweier rechtwinklig aufeinandertreffender Straßen, auch wenn der Ausdruck wie eine Anspielung auf die Kreisquadratur erscheint.[56][57]

Im Jahr 1321 stellte Dante Alighieri in seinem Werk Göttliche Komödie das Quadrieren des Kreises als eine Aufgabe dar, die über das menschliche Verständnis hinausgeht und die er mit seiner eigenen Unfähigkeit vergleicht, das Paradies zu verstehen:

„Wie um den Kreis zu messen sich vergeblich
Der Mathematiker abmüht mit Denken,
Weil ihm der Grundsatz fehlt, den er bedarf: 135

So ging es mir bei diesem neuen Anblick.
Ich wollte sehn, wie sich das Bild zum Kreise
Verhielte, und wo seinen Platz es fände;

Doch meine Schwingen reichten hier nicht aus,
Wär’ nicht mein Geist von einem Blitz getroffen,
Der die Erfüllung meines Wunsches betrachte.“

– Dante Alighieri, Ludwig Gottfried Blanc (Übersetzer): Die Göttliche Komödie – Paradies − Gesang 33, Zeilen 133 bis 141[58]

In James Joyces wegweisendem Roman Ulysses aus dem Jahr 1922 ist die Hauptfigur Leopold Bloom, seines Zeichens Annoncenakquisiteur. Er arbeitete im Sommer des Jahres 1882 angestrengt an einer Lösung des Problems Die Quadratur des Kreises, um damit ein vermeintlich großes Vermögen zu erhalten. Gegen Ende des Romans musste er sich in einem langen Dialog mit seinem Vater, Rudolf Virág, traurig und enttäuscht eingestehen, dass er versagt hatte.[59][60]

„VIRAG […] Du trugst dich doch mit der Absicht, ein volles Jahr dem Studium des Religionsproblems und die Sommermonate des Jahres 1882 der Quadratur des Kreises und dem Gewinn jener Million zu widmen. Granatapfel! Vom Erhabenen zum Lächerlichen ist nur ein Schritt. Pyjamas, könnten wir doch sagen? […]

BLOOM Ich wollte, es wäre das Ende jetzt. Nachtanzug war nie. Daher dieser. Aber morgen ist ein neuer Tag, wird sein. Vergangenheit war, ist heute. Was jetzt ist, wird dann morgen, wie es jetzt war, vergangenes Gestern sein.“

– James Joyce: Ulysses: Roman[59]

Näherungskonstruktionen

Babylonisches Verfahren nach Dürer (1525)

Obwohl eine exakte Lösung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, gibt es Näherungskonstruktionen für die Kreisquadratur, die für viele Zwecke exakt genug sind. Einfache, schon in der Antike bekannte Verfahren geben ein ganzzahliges Verhältnis von Durchmesser oder Radius des Kreises zur Seite oder Diagonalen des Quadrates an. Neben der im Papyrus Rhind erwähnten Gleichsetzung des Kreises vom Durchmesser 9 mit dem Quadrat der Seitenlänge 8 war auch die des Kreises vom Durchmesser 8 mit dem Quadrat der Diagonalen 10 bekannt. Diese Konstruktion findet sich folgend einerseits bei den Babyloniern und andrerseits angedeutet in den Veröffentlichungen des römischen Feldmessers Vitruv.[21] Sie liefert den Wert 3¹/₈ für $\pi$ . Um ein bequemes zeichnerisches Verfahren anzugeben, nimmt Albrecht Dürer diese Konstruktion im Jahr 1525 in seinem Werk Vnderweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt wieder auf. Dürer ist sich dabei bewusst, dass es sich um eine reine Näherungslösung handelt, er schreibt explizit, dass eine exakte Lösung noch nicht gefunden sei:

„Vonnöten wäre zu wissen Quadratura circuli, das ist die Gleichheit eines Zirkels und eines Quadrates, also daß eines ebenso viel Inhalt hätte als das andere. Aber solches ist noch nicht von den Gelehrten demonstrirt. Mechanice, das ist beiläufig, also daß es im Werk nicht oder nur um ein kleines fehlt, mag diese Gleichheit also gemacht werden. Reiß eine Vierung und teile den Ortsstrich in zehn Teile und reiße danach einen Zirkelriß, dessen Durchmesser acht Teile haben soll, wie die Quadratur deren 10; wie ich das unten aufgerissen habe.“

– Albrecht Dürer: Vnderweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt[61]

Konstruktion von Kochański

Näherungskonstruktion von Kochański (1685).

Eine klassische Näherungslösung für den halben Kreisumfang entdeckte der polnische Mathematiker Adam Adamandy Kochański im Jahr 1685. Sie kommt mit nur einer Zirkelöffnung aus. Die eigentliche Konstruktion besteht aus einer Rektifikation des Halbkreises. Kochanski konstruierte aus dem vorgegebenen Radius $r$ näherungsweise eine gerade Strecke der Länge $r\cdot \pi ,$ d. h. annähernd den halben Kreisumfang ${\tfrac {U}{2}}.$ Das in der nebenstehenden Zeichnung rot eingezeichnete Rechteck hat folglich mit ${\overline {AZ}}\cdot r=r\;\cdot \approx \pi \cdot r$ nahezu den gleichen Flächeninhalt wie der Kreis. Die angenäherte Quadratur folgt daraus elementar mithilfe mathematischer Gesetze des rechtwinkligen Dreiecks, beschrieben in Quadratur des Rechtecks. Die Kreiszahl wird bei Kochański auf vier Nachkommastellen genau angenähert:[62]

\pi =3{,}141\;592\ldots \approx {\overline {AZ}}=r\cdot {\sqrt {(3-\tan 30^{\circ })^{2}+4\,}}\ \approx \ 3{,}141\;5{\color {red}33}\cdot r

Beispiele zur Veranschaulichung der Fehler:

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 m wäre der Fehler der Seitenlänge a ≈ −1,7 mm.

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 m wäre der Fehler des Flächeninhalts A ≈ −59 mm².

Konstruktion von Jacob de Gelder

Konstruktion von Jacob de Gelder mit Weiterführung (gestrichelte Linien).

1849 erschien in Grünerts Archiv eine elegante und offensichtlich einfache Konstruktion von Jacob de Gelder (1765–1848). Das war 64 Jahre früher als die Veröffentlichung der vergleichbaren Konstruktion von S. A. Ramanujan.[63]

Sie beruht auf der Näherung

\pi \approx {\frac {355}{113}}=3{,}141\;592{\color {red}\;9\;\ldots }

und der Aufteilung des Wertes in die zwei Summanden

3+0{,}141\;592{\color {red}\;9\;\ldots }.

[63]

Der Wert dieses Bruchs hat mit der Kreiszahl $\pi$ bereits sechs Nachkommastellen gemeinsam. Er stammt vom chinesischen Mathematiker Zu Chongzhi aus dem 5. Jahrhundert und wird deshalb auch Zu Chongzhi-Bruch genannt.[64]

Jacob de Gelder konstruierte nicht die Seite des Quadrats; es genügte ihm den folgenden Wert zu finden:

{\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}=0{,}141\;592{\color {red}\;9\;\ldots }

.

Die nebenstehende Abbildung – im Folgenden beschrieben – zeigt die Konstruktion von Jacob de Gelder mit Weiterführung.

Zeichne zwei zueinander senkrechte Mittellinien eines Kreises mit Radius CD = 1 und bestimme die Schnittpunkte A und B. Lege die Strecke CE = ${\tfrac {7}{8}}$ fest und verbinde E mit A. Bestimme auf AE und ab A die Strecke AF = ${\tfrac {1}{2}}$ . Zeichne FG parallel zu CD und verbinde E mit G. Zeichne FH parallel zu EG, dann ist AH = ${\tfrac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.$ Bestimme BJ = CB und anschließend JK = AH. Halbiere AK in L und ziehen den Thaleskreis um L ab A, dabei ergibt sich der Schnittpunkt M. Die Strecke BM ist die Wurzel aus AK und damit die Seitenlänge a des gesuchten nahezu flächengleichen Quadrates.

Beispiele zur Veranschaulichung der Fehler:

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seitenlänge a ≈ 7,5 mm

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 m wäre der Fehler des Flächeninhalts A ≈ 0,3 mm²

Konstruktion von E. W. Hobson

Näherungskonstruktion nach E. W. Hobson, mit Weiterführung der Konstruktion.

Eine besonders einfache und gut nachvollziehbare Konstruktion stammt von E. W. Hobson aus dem Jahr 1913. Sie benötigt für die Seite des Quadrates nur drei Halbkreise und zwei zueinander rechtwinklig stehende Strecken.[65]

Das nebenstehende Bild zeigt die Konstruktion mit eingezeichnetem Kreis und dem gesuchten Quadrat.

Vorgaben und Beschreibung:

Kreis mit Durchmesser $AOB$
${\overline {OD}}={\frac {3}{5}}\cdot r,\;{\overline {OF}}={\frac {3}{2}}\cdot r,\;{\overline {OE}}={\frac {1}{2}}\cdot r.$

Zeichne die Halbkreise $DGE,AHF$ mit ${\overline {DE}}$ und ${\overline {AF}}$ als Durchmesser. Errichte abschließend die Senkrechte zu ${\overline {AB}}$ durch $O.$ Die dadurch erzeugten Schnittpunkte $G$ und $H$ liefern die Seitenlänge des gesuchten Quadrates

{\overline {GH}}=r\cdot 1{,}772\;4{\color {red}67\ldots }\;[LE].

Bei einem Kreis mit dem Radius $r=1\;[LE]$ gleichen vier Nachkommastellen der Seitenlänge des Quadrates denen in ${\sqrt {\pi }}=1{,}772\;453$ [65]

Beispiel zur Veranschaulichung der Fehler:

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 m wäre der Fehler der Seitenlänge a ≈ 1,4 mm

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 m wäre der Fehler des Flächeninhalts A ≈ 46 mm².

Konstruktionen von S. A. Ramanujan

Näherungskonstruktion nach S. A. Ramanujan (1913) mit eingezeichnetem Quadrat

Ebenfalls im Jahr 1913 erschien eine Konstruktion des indischen Mathematikers Srinivasa Ramanujan,[66] die ebenfalls auf der Näherung

\pi \approx {\frac {355}{113}}=3{,}141\;592{\color {red}\;9\;\ldots }

beruht. Ramanujan merkte bezüglich der Genauigkeit seines Verfahrens an, dass bei einer Kreisfläche von 140.000 Quadratmeilen die konstruierte Quadratseite nur um etwa einen Zoll vom wahren Wert abweiche.

Beschreibung (Übersetzung):[66]

Es sei PQR ein Kreis mit dem Mittelpunkt O, von dem PR der Durchmesser ist. Halbiere PO in H, und T sei der Punkt aus der Dreiteilung von OR nahe R. Zeichne TQ senkrecht zu PR und setze die Sehne RS = TQ.

Verbinde P mit S und zeichne OM und TN parallel zu RS. Setze eine Sehne PK = PM und zeichne die Tangente PL = MN. Verbinde R mit L, R mit K und K mit L. Abschnitt RC = RH. Zeichne CD parallel zu KL, [CD] trifft auf RL in D.

Dann ist das Quadrat über RD annähernd gleich dem Kreis PQR.

Denn

RS^{2}={\frac {5}{36}}d^{2},

worin

d

der Durchmesser des Kreises ist.

Somit $PS^{2}={\frac {31}{36}}d^{2}.$

Aber

PL

und

PK

sind gleich

MN

bzw.

PM.

Somit

PK^{2}={\frac {31}{144}}d^{2},

und

PL^{2}={\frac {31}{324}}d^{2}.

Folglich

RK^{2}=PR^{2}-PK^{2}={\frac {113}{144}}d^{2},

und

RL^{2}=PR^{2}+PL^{2}={\frac {355}{324}}d^{2}.

Aber

{\frac {RK}{RL}}={\frac {RC}{RD}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {113}{355}}},

und

RC={\frac {3}{4}}d.

Darum

RD={\frac {d}{2}}{\sqrt {\frac {355}{113}}}=r{\sqrt {\pi }},

nahezu gleich.

Anmerkung: Wenn die Fläche des Kreises 140.000 Quadratmeilen ist, dann ist RD um etwa einen Zoll größer als die wahre Länge.

Näherungskonstruktion nach S. A. Ramanujan (1914) mit Weiterführung der Konstruktion (gestrichelte Linien),
siehe hierzu die Animation.

In einer Arbeit aus dem Folgejahr (1914) lieferte Ramanujan neben anderen Näherungsverfahren eine weitere Quadratur mit Zirkel und Lineal. Dieser liegt der Wert

\pi \approx {\sqrt[{4}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}=3{,}141\;592\;65{\color {red}2\;\ldots }

zugrunde, der $\pi$ sogar auf acht Stellen nahekommt.[67] Ramanujan konstruierte in dieser Quadratur nicht die Seitenlänge des gesuchten Quadrates; es genügte ihm, die Strecke OS darzustellen. In der nebenstehenden Weiterführung der Konstruktion wird die Strecke OS zusammen mit der Strecke OB zur Darstellung der mittleren Proportionalen (rote Strecke OE) herangezogen.

Beschreibung (Übersetzung):[68]

Es sei AB (Fig. 2.) ein Durchmesser eines Kreises, dessen Zentrum O ist. Halbiere den Kreisbogen ACB in C und drittle AO in T. Verbinde B mit C und trage darauf CM und MN gleich lang wie AT ab. Verbinde A mit M sowie A mit N und trage auf dem Letzteren AP gleich lang wie AM ab. Zeichne PQ parallel zu MN, dabei trifft Q auf AM. Verbinde O mit Q und zeichne TR parallel zu OQ, dabei trifft R auf AQ. Zeichne AS senkrecht auf AO und gleich lang wie AR, anschließend verbinde O mit S. Dann wird die mittlere Proportionale zwischen OS und OB sehr nahe einem Sechstel des Kreisumfanges sein, wobei der Fehler kleiner als ein Zwölftel eines Zolls sein wird, wenn der Durchmesser 8000 Meilen lang ist.

Weiterführung der Konstruktion bis zur gesuchten Seitenlänge $a$ des Quadrates:
Verlängere AB über A hinaus und schlage den Kreisbogen b₁ um O mit Radius OS, es ergibt sich S'. Halbiere BS' in D und ziehe den Thaleskreis b₂ über D. Zeichne eine gerade Linie ab O durch C bis zum Thaleskreis b₂, sie schneidet b₂ in E. Die Strecke OE ist die oben beschriebene mittlere Proportionale zwischen OS und OB auch genannt geometrisches Mittel,[69] sie ergibt sich aus dem Höhensatz des Euklid. Verlängere die Strecke EO über O hinaus und übertrage EO darauf noch zweimal, es ergeben sich F und A₁ und somit die Länge der Strecke EA₁ mit dem oben beschriebenen Näherungswert von $\pi$ , den halben Kreisumfang. Halbiere die Strecke EA₁ in G und zeichne den Thaleskreis b₃ über G. Übertrage die Strecke OB ab A₁ auf die Strecke EA₁, es ergibt sich H. Errichte auf EA₁ eine Senkrechte ab H bis zum Thaleskreis b₃, es ergibt sich B₁. Verbinde A₁ mit B₁, somit ist die gesuchte Seitenlänge $a$ für ein nahezu flächengleiches Quadrat A₁B₁C₁D₁ konstruiert.

Beispiele zur Veranschaulichung der Fehler:

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10.000 km wäre der Fehler der Seitenlänge a ≈ −2,8 mm

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler des Flächeninhalts A ≈ −0,2 mm²

Konstruktion von Louis Loynes

Loynes’ Konstruktion (1961).

Eine einfachere Methode veröffentlichte Louis Loynes 1961.[70] Sie beruht auf der Feststellung, dass der Flächeninhalt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat über der größeren Kathete ist, wenn der Tangens des kleineren Winkels, also das Verhältnis von kleinerer zu größerer Kathete,

{\sqrt {{\frac {4}{\pi }}-1}}=0{,}5227232\dots

beträgt, ein Wert, der sehr nahe an dem Bruch

{\frac {23}{44}}=0{,}5227272\dots

liegt. Daraus ergibt sich eine einfache Näherung, indem man das (konstruierbare) rechtwinklige Dreieck mit dem Katheten-Verhältnis 23:44 zur Quadratur benutzt. Der angenäherte Wert für die Kreiszahl von

\pi \approx {\frac {7744}{2465}}=3{,}141\;5{\color {red}82\;\ldots }

ist etwas besser als bei Kochańskis Konstruktion.

Beispiele zur Veranschaulichung der Fehler:

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 km wäre der Fehler der Seitenlänge a ≈ −3 mm.

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 m wäre der Fehler des Flächeninhalts A ≈ −11 mm².

Näherungslösung mithilfe eines konstruierten Bruchs

Wird auf einem Strahl ein Bruch, dessen Wert annähernd der Kreiszahl $\pi$ entspricht, mithilfe des dritten Strahlensatzes konstruiert, ist es mit mehr oder weniger konstruktivem Aufwand möglich, jede gewünschte Anzahl Nachkommastellen von $\pi$ darzustellen. Für die Ermittlung der Seitenlänge des Quadrates kann z. B. der Bruch

{\frac {245850922}{78256779}}=3{,}141\;592\;653\;589\;793{\color {red}\;160\;\ldots }

herangezogen werden. Als Näherungswert der Kreiszahl $\pi$ liefert er beachtliche fünfzehn gleiche Nachkommastellen. Der Kehrbruch dieses Bruchs stammt von Johann Heinrich Lambert, der ihn u. a. m. bereits 1770 in seinem Buch Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung[71] veröffentlichte.

Nicht-klassisches Verfahren mittels Quadratrizes

Lockert man die Beschränkung auf Zirkel und Lineal und lässt weitere Konstruktionsmittel zu, so erhält man eine Vielzahl von Möglichkeiten, den Kreis zu quadrieren beziehungsweise die Seitenlänge des Quadrates ${\sqrt {\pi }}$ exakt zu konstruieren.

Mithilfe spezieller transzendenter Kurven, den sogenannten Quadratrizes, als einzigem zusätzlichem Hilfsmittel ist es möglich, einen Kreis exakt zu quadrieren.[72] Dabei wird im mathematischen Modell die Existenz beziehungsweise Verfügbarkeit einer solchen Quadratrix einfach vorausgesetzt. Zum praktischen Zeichnen auf Papier steht sie zum Beispiel in Form einer Schablone oder eines Plotterausdrucks zur Verfügung, zudem existieren einige spezielle mechanische Zeichengeräte, mit denen sich solche Kurven erzeugen lassen. Zu den ältesten bereits seit der Antike bekannten Quadratrizes, die bei der Kreisquadratur Verwendung finden, gehören z. B. die im Folgenden beschriebenen Kurven Quadratrix des Hippias und die Spirale des Archimedes.

Quadratur des Kreises mithilfe der Quadratrix des Hippias

Das Bild 1 zeigt die Quadratur des Einheitskreises mithilfe der Quadratrix des Hippias, deren Graph durch $E,\;{\tfrac {2}{\pi }}$ und $D$ verläuft.[73]

Nach der Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel, ergibt sich durch Verlängern der Strecke ${\overline {BH}}$ nach dem Satz des Thales die Wurzel aus ${\overline {A\pi }}={\overline {AI}}={\sqrt {\pi }}.$ Das eingezeichnete Quadrat mit der Seitenlänge ${\sqrt {\pi }}$ hat exakt den gleichen Flächeninhalt, wie der Kreis um $A.$

Bild 1
Quadratur des Kreises mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel.
Bild 2
Quadratur des Kreises mit der archimedischen Spirale als zusätzliches Hilfsmittel.

Quadratur des Kreises mithilfe der archimedischen Spirale

Im Bild 2 ist die Quadratur des Einheitskreises mithilfe der archimedischen Spirale dargestellt. Deren „Windungsabstand“ beträgt (mit $a=2$ ) $a\cdot {\tfrac {\pi }{2}}$ . Der Graph der Spirale schneidet die $y$ -Achse in $B$ und liefert somit die Kreiszahl als Strecke ${\overline {OB}}.$ [74]

Nun bedarf es nur noch des Projizierens der Kreiszahl $\pi$ auf die $x$ -Achse und der Konstruktion der Wurzel ${\sqrt {\pi }}.$ Das abschließend eingezeichnete Quadrat mit der Seitenlänge ${\sqrt {\pi }}$ hat exakt den gleichen Flächeninhalt, wie der Kreis um $O.$

Varianten

Tarskis Problem der Quadratur des Kreises

Alfred Tarski stellte 1925 die Aufgabe, einen Kreis in beliebig viele Teile zu stückeln und diese dann durch reine Bewegung (also ohne Streckung) so zu verschieben, dass ein Quadrat entsteht.[75]

Miklós Laczkovich gelang 1989 die Lösung: Er bewies, dass es möglich ist, einen Kreis in endlich viele Teile zu zerlegen und diese nur durch Bewegung so zu verschieben, dass ein Quadrat entsteht.[76] Er zerteilte den Kreis in 10⁵⁰ Stücke. Für den Beweis benötigt er jedoch das Auswahlaxiom, das von den meisten Wissenschaftlern heute zwar akzeptiert wird, aber nicht selbstverständlich ist. Der Beweis ähnelt stark dem Banach-Tarski-Paradoxon.

Laczkovich hat zwar bewiesen, dass (unter Annahme des Auswahlaxioms) so eine Zerlegung existiert, diese Zerlegung lässt sich jedoch nicht explizit angeben.[75]

Lemniskate

Quadratur der Lemniskate:

A=2a^{2}

Im Gegensatz zum Kreis ist es möglich, zu einer Lemniskate (∞) zwei Quadrate zu konstruieren, welche die gleiche Fläche einspannen. Deren Seitenlängen entsprechen dem größten Lemniskatenradius a.[77]

Siehe auch

Literatur und Quellen

Allgemein

Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises. 2. Auflage. Teubner, Leipzig 1920. (Digitalisat)
Moritz Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Teubner, Leipzig 1880–1908, 4 Bände. (Digitalisat)
Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. Springer, Berlin 1984, ISBN 3-540-11647-8.
Helmuth Gericke: Mathematik im Abendland. Springer, Berlin 1990, ISBN 3-540-51206-3.
Thomas Little Heath: A History of Greek Mathematics. Band 1. Clarendon Press, Oxford 1921. (Nachdruck: Dover, New York 1981, ISBN 0-486-24073-8.)
Klaus Mainzer: Geschichte der Geometrie. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1980, ISBN 3-411-01575-6.
Ferdinand Rudio: Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. Teubner, Leipzig 1892. (Digitalisat)

Zur Transzendenz von π

Ferdinand Lindemann: Ueber die Zahl $\pi$ . In: Mathematische Annalen, 20, 1882, S. 213–225 (Digitalisat).
David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und $\pi$ . In: Mathematische Annalen, 43, 1893, S. 216–219 (Digitalisat).
Lorenz Milla: Die Transzendenz von $\pi$ und die Quadratur des Kreises. 2020, arxiv:2003.14035
Paul Albert Gordan: Transcendenz von e und $\pi$ . In: Mathematische Annalen, 43, 1893, S. 222–224 (Digitalisat).
Theodor Vahlen: Beweis des Lindemann’schen Satzes über die Exponentialfunction. In: Mathematische Annalen, 53, 1900, S. 457–460 (Digitalisat).

Unterhaltungsmathematik

Underwood Dudley: Mathematik zwischen Wahn und Witz. Trugschlüsse, falsche Beweise und die Bedeutung der Zahl 57 für die amerikanische Geschichte. Birkhäuser, Basel 1995, ISBN 3-7643-5145-4 (englischer Originaltitel: Mathematical cranks).

Weblinks

Wikiversity: Eine Vorlesung zur Quadratur des Kreises – Kursmaterialien

Commons: Quadratur des Kreises – Sammlung von Bildern

Wiktionary: Quadratur des Kreises – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Die Quadratur des Kreises – Lern- und Lehrmaterialien

… mit 245850922 ${\displaystyle$ 78256779, dem Kehrwert eines Bruchs von Johann Heinrich Lambert

Squaring the circle- MacTutor History of Mathematics archive (englisch)

Einzelnachweise

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Árpád Szabó: Wie ist die Mathematik zu einer deduktiven Wissenschaft geworden? In: Jean Christianidis (Hrsg.): Classics in the History of Greek Mathematics. Boston Studies in the Philosophy of Science, Band 240, Springer Science & Business Media, 2013, S. 68 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Wolfgang Tzschoppe: 2.3 Die Zahlengerade füllt sich. In: Struktur der Mathematik - Mathematik der Strukturen. Books on Demand, 2012, S. 40 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: 4.1.1 Ein kurzer historischer Überblick. In: Elementare Analysis: Von der Anschauung zur Theorie. Springer-Verlag, 2010, S. 107 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Detlef Gronau: Die Klassischen Probleme der Antike. (PDF) Vorlesung zur frühen Geschichte der Mathematik. Karl-Franzens-Universität Graz, 2009, S. 32, abgerufen am 22. Februar 2020.
Arthur Donald Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Oskar Becker (Hrsg.): Zur Geschichte der griechischen Mathematik; Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1965, S. 146–202
Detlef Gronau: Athenische Periode (∼450−∼300 v. u. Z.). (PDF) Vorlesung zur frühen Geschichte der Mathematik. Karl-Franzens-Universität Graz, 2009, S. 31 ff., abgerufen am 22. Februar 2020.
Helmuth Gericke: 4. Die Quadratur des Kreises; Mathematik in Antike und Orient, Springer-Verlag, 2013, S. 94 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Paul Deussen: Anaxagoras. Allgemeine Geschichte der Philosophie. Band 2. F.A. Brockhaus, Leipzig 1911, S. 124 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Albin Lesky: Die Aufklärung und ihre Gegner: Die Fachwissenschaften. Geschichte der griechischen Literatur. Walter de Gruyter, 2015, S. 545 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Oskar Becker: 3. Lunulae Hippocratis; Das mathematische Denken der Antike. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1966, S. 58 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: Möndchenquadratur des Hippokrates. 5000 Jahre Geometrie: Geschichte Kulturen Menschen. Springer-Verlag, 2013, S. 48 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
James Gow: A Short History of Greek Mathematics, Franco von Lüttich. 1884, Reprint: Cambridge University Press, 2010, S. 162–164 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Jean-Paul Delahaye: Geschichte der Zahl $\pi$ zur Zeit der Geometrie; $\pi$ — Die Story: Aus dem Französischen von Manfred Stern. Springer-Verlag, 2013, S. 71 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
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F. Rudio: III. Der Umfang eines jeden Kreises ist dreimal so groß wie der Durchmesser und noch um etwas größer, … Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 75 ff. (Textarchiv – Internet Archive)
Eugen Beutel: Archimedes Die Quadratur des Kreises. 1920, 2. Auflage. Teubner, Leipzig 1920. S. 14 ff.; umich.edu (PDF)
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Helmuth Gericke: Wissenschaft im christlichen Abendland (6.–10. Jh.), Franco von Lüttich. Mathematik im Abendland: Von den römischen Feldmessern bis zu Descartes. Springer-Verlag, 2013, S. 74 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
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F. R. Scherer: Vergleichung dreier Verfahren zur angenäherten Rektifikation von Kreisbogen. (PDF) Naturforschende Gesellschaft in Zürich, 1929, S. 2, abgerufen am 22. Februar 2020.
F. Rudio: III Christian Huygens (1629–1695). Über die gefundene Größe des Kreises (De circuli magnitudine inventa). Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 130 (Textarchiv – Internet Archive)
Jean-Paul Delahaye: Die Geschichte von $\pi$ zur Zeit der Analysis; $\pi$ — Die Story. Aus dem Französischen von Manfred Stern. Springer-Verlag, 2013, S. 84 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
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Karl Helmut Schmidt: Zu Unendlich; Pi Geschichte und Algorithmen Einer Zahl. Books on Demand, 2001, S. 37 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Rudolf Wolf: Die Reform der Goniometrie durch und seit Euler, Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur, F. Schulthess, Zürich 1890, Bd. 1, S. 177 (Digitalisat)
Franka Miriam Brückler: Entstehung der analytischen Geometrie. Geschichte der Mathematik kompakt. Springer-Verlag, 2017, S. 83 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Franka Miriam Brückler: Entstehung der analytischen Geometrie. Geschichte der Mathematik kompakt. Springer-Verlag, 2017, S. 85 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
ausführlich etwa bei Felix Klein: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie. Teubner, Leipzig 1895 (Digitalisat)
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F. Rudio: § 12. Der Beweis der Irrationalität der Zahl $\pi$ durch Lambert und Legendre. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 54 ff. (Textarchiv – Internet Archive)
F. Rudio: Legendre, Beweis, dass das Verhältnis des Kreisumfanges zum Durchmesser und das Quadrat desselben irrationale Zahlen sind. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 165–166 (Textarchiv – Internet Archive)
F. Rudio: § 13. Die Entdeckungen Liouville’s. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 58–60 (Textarchiv – Internet Archive)
Knut Smoczyk: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal; Geometrie für das Lehramt. Books on Demand, 2019, S. 238 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
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Horst Hischer: 1 Zusammenhang zwischen Quadratrix und Trisectrix. (PDF) Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt(2). Lösung klassischer Probleme. horst.hischer, 1994, S. 279, abgerufen am 20. Februar 2020.
Horst Hischer: 2 Ein Vorschlag zur Behandlung von Trisectrix und Quadratrix in der Oberstufe. (PDF) Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme. horst.hischer, 1994, S. 282–287, abgerufen am 20. Februar 2020.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 145–146 (Auszug (Google))
Mario Gerwig: Der Weg zum Lehrstück, (8) Rück- und Ausblick. Mathematik im Abendland: Beweisen verstehen im Mathematikunterricht: Axiomatik, Pythagoras und Primzahlen als Exempel der Lehrkunstdidaktik. Springer-Verlag, 2015, S. 209 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
M. Laczkovich: Equidecomposability and discrepancy; a solution to Tarski’s circle-squaring problem. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. SUB, Göttinger Digitalisierungszentrum, 1990, S. 77–117, abgerufen am 10. März 2020.
Marwin Wirtz: 2.3 Fläche der Lemniskate. Die Cassinischen Kurven und insbesondere die Lemniskate von Bernoulli. (PDF) Universität Mainz, 2017, S. 9, abgerufen am 20. Februar 2020.

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[1] Detlef Gronau: Der Papyrus Rhind. (PDF) Vorlesung zur frühen Geschichte der Mathematik. Karl-Franzens-Universität Graz, 2009, S. 11, abgerufen am 2. März 2020.

[2] Árpád Szabó: Wie ist die Mathematik zu einer deduktiven Wissenschaft geworden? In: Jean Christianidis (Hrsg.): Classics in the History of Greek Mathematics. Boston Studies in the Philosophy of Science, Band 240, Springer Science & Business Media, 2013, S. 68 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[3] Wolfgang Tzschoppe: 2.3 Die Zahlengerade füllt sich. In: Struktur der Mathematik - Mathematik der Strukturen. Books on Demand, 2012, S. 40 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[4] Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: 4.1.1 Ein kurzer historischer Überblick. In: Elementare Analysis: Von der Anschauung zur Theorie. Springer-Verlag, 2010, S. 107 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[5] Detlef Gronau: Die Klassischen Probleme der Antike. (PDF) Vorlesung zur frühen Geschichte der Mathematik. Karl-Franzens-Universität Graz, 2009, S. 32, abgerufen am 22. Februar 2020.

[6] Arthur Donald Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Oskar Becker (Hrsg.): Zur Geschichte der griechischen Mathematik; Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1965, S. 146–202

[7] Detlef Gronau: Athenische Periode (∼450−∼300 v. u. Z.). (PDF) Vorlesung zur frühen Geschichte der Mathematik. Karl-Franzens-Universität Graz, 2009, S. 31 ff., abgerufen am 22. Februar 2020.

[8] Helmuth Gericke: 4. Die Quadratur des Kreises; Mathematik in Antike und Orient, Springer-Verlag, 2013, S. 94 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[9] Paul Deussen: Anaxagoras. Allgemeine Geschichte der Philosophie. Band 2. F.A. Brockhaus, Leipzig 1911, S. 124 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[10] Albin Lesky: Die Aufklärung und ihre Gegner: Die Fachwissenschaften. Geschichte der griechischen Literatur. Walter de Gruyter, 2015, S. 545 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[11] Oskar Becker: 3. Lunulae Hippocratis; Das mathematische Denken der Antike. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1966, S. 58 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[12] Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: Möndchenquadratur des Hippokrates. 5000 Jahre Geometrie: Geschichte Kulturen Menschen. Springer-Verlag, 2013, S. 48 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[13] James Gow: A Short History of Greek Mathematics, Franco von Lüttich. 1884, Reprint: Cambridge University Press, 2010, S. 162–164 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[14] Jean-Paul Delahaye: Geschichte der Zahl $\pi$ zur Zeit der Geometrie; $\pi$ — Die Story: Aus dem Französischen von Manfred Stern. Springer-Verlag, 2013, S. 71 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[15] In englischer Übersetzung von Thomas Little Heath: Measurement of a Circle. The works of Archimedes. ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897, S. 91 ff.; Digitalisat (PDF; 1,3 MB)

[16] Rudolf Haller (Übersetzer): XII.2. Kreise stehen im Verhältnis der Quadrate über ihren Durchmessern. (PDF) Euklid: Elemente Stoicheia. Markgröningen: Edition Opera-Platonis, 2017, S. 2 ff., abgerufen am 25. Februar 2020.

[17] F. Rudio: III. Der Umfang eines jeden Kreises ist dreimal so groß wie der Durchmesser und noch um etwas größer, … Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 75 ff. (Textarchiv – Internet Archive)

[18] Eugen Beutel: Archimedes Die Quadratur des Kreises. 1920, 2. Auflage. Teubner, Leipzig 1920. S. 14 ff.; umich.edu (PDF)

[19] In englischer Übersetzung von Thomas Heath: On Spirals, The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. S. 151 ff., (Digitalisat) (PDF; 1,2 MB)

[20] Hans-Dieter Rinkens: $\pi$ .3.2 Rektifizierung des Kreises mit Hilfe der archimedischen Spirale. (PDF) $\pi$ i e Skript Wintersemester 2017/18. 2017, S. 19, abgerufen am 2. März 2020.

[HelmuthG-21] Helmuth Gericke: Wissenschaft im christlichen Abendland (6.–10. Jh.), Franco von Lüttich. Mathematik im Abendland: Von den römischen Feldmessern bis zu Descartes. Springer-Verlag, 2013, S. 75 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[22] Helmuth Gericke: Wissenschaft im christlichen Abendland (6.–10. Jh.), Franco von Lüttich. Mathematik im Abendland: Von den römischen Feldmessern bis zu Descartes. Springer-Verlag, 2013, S. 74 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[HelmuthGericke-23] Helmuth Gericke: Wissenschaft im christlichen Abendland (6.–10. Jh.), Franco von Lüttich. Mathematik im Abendland: Von den römischen Feldmessern bis zu Descartes. Springer-Verlag, 2013, S. 76 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[24] F. Rudio: § 8. Die Zeit der Renaissance. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 27–28 (Textarchiv – Internet Archive)

[25] F. R. Scherer: Vergleichung dreier Verfahren zur angenäherten Rektifikation von Kreisbogen. (PDF) Naturforschende Gesellschaft in Zürich, 1929, S. 1, abgerufen am 22. Februar 2020.

[26] F. Rudio: III Christian Huygens (1629–1695). Über die gefundene Größe des Kreises (De circuli magnitudine inventa). Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 83–131 (Textarchiv – Internet Archive)

[Scherer-27] F. R. Scherer: Vergleichung dreier Verfahren zur angenäherten Rektifikation von Kreisbogen. (PDF) Naturforschende Gesellschaft in Zürich, 1929, S. 2, abgerufen am 22. Februar 2020.

[28] F. Rudio: III Christian Huygens (1629–1695). Über die gefundene Größe des Kreises (De circuli magnitudine inventa). Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 130 (Textarchiv – Internet Archive)

[29] Jean-Paul Delahaye: Die Geschichte von $\pi$ zur Zeit der Analysis; $\pi$ — Die Story. Aus dem Französischen von Manfred Stern. Springer-Verlag, 2013, S. 84 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[30] Katrin Plank: Darstellung als Kettenbruch. (PDF) Die Faszination der Zahl $\pi$ . Karl-Franzens-Universität Graz, 2015, S. 16, abgerufen am 22. Februar 2020.

[31] Karl Helmut Schmidt: Zu Unendlich; Pi Geschichte und Algorithmen Einer Zahl. Books on Demand, 2001, S. 37 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[32] Rudolf Wolf: Die Reform der Goniometrie durch und seit Euler, Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur, F. Schulthess, Zürich 1890, Bd. 1, S. 177 (Digitalisat)

[33] Franka Miriam Brückler: Entstehung der analytischen Geometrie. Geschichte der Mathematik kompakt. Springer-Verlag, 2017, S. 83 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[34] Franka Miriam Brückler: Entstehung der analytischen Geometrie. Geschichte der Mathematik kompakt. Springer-Verlag, 2017, S. 85 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[35] usführlich etwa bei Felix Klein: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie. Teubner, Leipzig 1895 (Digitalisat)

[36] Adalbert Kerber: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. (PDF) Lineare Algebra, WS 2002/2003. Universität Bayreuth, 4. September 2004, S. 327, abgerufen am 22. Februar 2020.

[37] Leonhard Euler: Introductio in analysin infinitorum. Lausanne 1748. Deutsch von H. Maser: Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Springer, Berlin 1885. (Reprint des ersten Bandes)

[38] Edmund Weitz: Die Exponentialfunktion im Komplexen. Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker. Springer Link, 9. August 2018, S. 644, abgerufen am 23. Februar 2020.

[39] F. Rudio: § 12. Der Beweis der Irrationalität der Zahl $\pi$ durch Lambert und Legendre. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 54 ff. (Textarchiv – Internet Archive)

[40] F. Rudio: Legendre, Beweis, dass das Verhältnis des Kreisumfanges zum Durchmesser und das Quadrat desselben irrationale Zahlen sind. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 165–166 (Textarchiv – Internet Archive)

[41] F. Rudio: § 13. Die Entdeckungen Liouville’s. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 58–60 (Textarchiv – Internet Archive)

[42] Knut Smoczyk: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal; Geometrie für das Lehramt. Books on Demand, 2019, S. 238 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[Green-43] David J. Green: Transzendenz von e und $\pi$ . (PDF) Universität Jena, 2006, S. 1 ff., abgerufen am 24. Februar 2020.

[44] F. Rudio: Quadratur des Zirkels. Viertes Kapitel. § 15. Die endgültige Erledigung des Problems etc. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 66–67 (Textarchiv – Internet Archive)

[45] David Hilbert: Ueber die Transcendenz von e und $\pi$ . DigiZeitschriften, 1893, S. 216–219, abgerufen am 24. Februar 2020.

[46] Jean-Étienne Montucla: Histoire des recherches sur la quadrature du cercle. Paris 1754 (Digitalisat der korrigierten Neuauflage 1831)

[47] J. H. Lambert: V. Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen. Bayträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung. SUB, Göttinger Digitalisierungszentrum, 1770, S. 140 ff., abgerufen am 9. März 2020.

[48] Augustus de Morgan: A Budget of Paradoxes. The Project Gutenberg EBook, 2007, S. div., abgerufen am 13. März 2020.

[49] Histoire de L’Académie royale des sciences, année 1775. Paris 1778, S. 61 ff.; gallica.bnf.fr

[50] F. Rudio: § 1. Über die verschiedenen Ursachen der großen Popularität des Problems. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 4 (Textarchiv – Internet Archive)

[51] Quadratur des Zirkels. In: Meyers Konversations-Lexikon. 4. Auflage. Band 18, Verlag des Bibliographischen Instituts, Leipzig/Wien 1885–1892, S. 756.

[52] Douglas M. Jesseph, reviewed by David Graves: Squaring the Circle: The War Between Hobbes and Wallis Rezension. In: MAA Review. Mathematical Association of America, 27. Juli 1999, abgerufen am 23. Februar 2020.

[53] J. H. Lambert: V. Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen. Bayträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung. SUB, Göttinger Digitalisierungszentrum, 1770, S. 143 ff., abgerufen am 9. März 2020.

[54] Gotthold Ephraim Lessing: Auf den Herrn M** den Erfinder der Quadratur des Zirkels. In: Lessings Schriften. Erster Theil. L. F. Voß, 1753, S. 217 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[55] Ryan Schwier: Legislating Pi. Indiana Legal Archiv, 14. März 2015, abgerufen am 23. Februar 2020.

[56] Thomas Heath: VII. Special Problems – The squaring of the circle. In: A History of Greek Mathematics. Volume 1. 1921, S. 220 ff. (englisch); Textarchiv – Internet Archive

[57] Gino Loria, Fritz Schütte (Übersetzer): Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven. B.G. Teubner, Leipzig 1902, S. 5 (Textarchiv – Internet Archive).

[58] Dante Alighieri, L. G. Blanc (Übersetzer) Die Göttliche Komödie – Paradies − Gesang 33, Operone, Bühnenwerke mit Musik, abgerufen am 10. März 2020

[Joyce-59] James Joyce: Ulysses. Roman. Suhrkamp Verlag, 2015; eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche

[60] Éléonore Quinaux: Leopold Bloom (Odysseus); Ulysses von James Joyce (Lektürehilfe): Detaillierte Zusammenfassung, Personenanalyse und Interpretation. derQuerleser.de, 2018, S. 16 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[61] Helmuth Gericke: Albrecht Dürer: Vnderweysung der messung; Mathematik im Abendland: Von den römischen Feldmessern bis zu Descartes, Springer-Verlag, 2013, S. 191. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche), abgerufen am 25. Februar 2020

[62] Dieter Grillmayer: 2. Die Näherungskonstruktion von Kochański. In: Im Reich der Geometrie. Teil I: Ebene Geometrie. Books on Demand, 2009, S. 49 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[Hobson-63] Ernest William Hobson: The First Period. Fig. 17. In: Squaring the Circle: A History of the Problem. Cambridge University Press, 1913, S. 34 (englisch; Textarchiv – Internet Archive)

[64] Ian Stewart: 2. Meister des Weges Liu Hui. Größen der Mathematik: 25 Denker, die Geschichte schrieben. Rowohlt Verlag, 2018, (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[William-65] Ernest William Hobson: The First Period. Fig. 19. In: Squaring the Circle: A History of the Problem. Cambridge University Press, 1913, S. 35 (englisch; Textarchiv – Internet Archive)

[Srinivasa-66] S. A. Ramanujan: Squaring the circle. In: Journal of the Indian Mathematical Society 5. The Institute of Mathematical Sciences, 1913, S. 132, abgerufen am 29. Juli 2019.

[67] S. A. Ramanujan: Modular Equations and Approximations to $\pi$ . 12. Another curious approximation to $\pi$ is. In: Quarterly Journal of Mathematics. The Institute of Mathematical Sciences, 1914, S. 350–372, abgerufen am 29. Juli 2019.

[68] S. A. Ramanujan: Modular Equations and Approximations to $\pi$ . In: Quarterly Journal of Mathematics. The Institute of Mathematical Sciences, 1914, S. 350–372, abgerufen am 29. Juli 2019.

[69] Eckard Specht: A.14 Das arithmetische Mittel. Universität Magdeburg, abgerufen am 25. April 2020.

[70] Louis Loynes: 2978. Approximate quadrature of the circle. The Mathematical Gazette, Volume 45. Cambridge University Press, 1961, S. 330, abgerufen am 9. März 2020 (englisch).

[71] Johann Heinrich Lambert: Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung. Quadratur des Circuls, S. 157 Berlin, im Verlag der Buchhandlung der Realschule, 1770, abgerufen am 11. Juli 2016

[72] Horst Hischer: 1 Zusammenhang zwischen Quadratrix und Trisectrix. (PDF) Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt(2). Lösung klassischer Probleme. horst.hischer, 1994, S. 279, abgerufen am 20. Februar 2020.

[73] Horst Hischer: 2 Ein Vorschlag zur Behandlung von Trisectrix und Quadratrix in der Oberstufe. (PDF) Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme. horst.hischer, 1994, S. 282–287, abgerufen am 20. Februar 2020.

[74] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 145–146 (Auszug (Google))

[Gerwig-75] Mario Gerwig: Der Weg zum Lehrstück, (8) Rück- und Ausblick. Mathematik im Abendland: Beweisen verstehen im Mathematikunterricht: Axiomatik, Pythagoras und Primzahlen als Exempel der Lehrkunstdidaktik. Springer-Verlag, 2015, S. 209 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[76] M. Laczkovich: Equidecomposability and discrepancy; a solution to Tarski’s circle-squaring problem. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. SUB, Göttinger Digitalisierungszentrum, 1990, S. 77–117, abgerufen am 10. März 2020.

[77] Marwin Wirtz: 2.3 Fläche der Lemniskate. Die Cassinischen Kurven und insbesondere die Lemniskate von Bernoulli. (PDF) Universität Mainz, 2017, S. 9, abgerufen am 20. Februar 2020.