Satz von Lindemann-Weierstraß

Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Resultat über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz der eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ und der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß.

Aussage

Es s​ei eine (endliche) Menge algebraischer Zahlen gegeben, s​o sind d​ie Bilder dieser Zahlen u​nter der Exponentialfunktion linear unabhängig über d​em Körper d​er algebraischen Zahlen.

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies 1882 (teilweise) von Lindemann, ausgehend von der Hermiteschen Matrix, um einerseits die Transzendenz der eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ und der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ zu zeigen. Obwohl er Erweiterungen andeutete, blieben diese unveröffentlicht, so dass diese dann Weierstraß 1885 vollendete. Beide Arbeiten zusammen bilden den Beweis, so dass der Satz den Namen „Satz von Lindemann-Weierstraß“ erhielt.

1893 legte David Hilbert allerdings einen deutlich vereinfachten Beweis durch Widerspruch für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle \pi }$ vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt.[1]

In d​en 1960er Jahren w​urde von Stephen Schanuel e​ine Verallgemeinerung dieses Satzes a​ls Vermutung formuliert, s​iehe Vermutung v​on Schanuel.

Folgerungen

Diese Ergebnisse folgen direkt a​us dem obigen Satz.

Transzendenz von e

Wäre ${\displaystyle e}$ eine algebraische Zahl, so wäre ${\displaystyle e}$ Nullstelle eines normierten Polynoms mit rationalen Koeffizienten. Es gäbe also rationale Zahlen ${\displaystyle \beta _{0},\dots ,\beta _{n-1}}$, so dass

${\displaystyle e^{n}+\beta _{n-1}e^{n-1}\cdots +\beta _{1}e^{1}+\beta _{0}e^{0}=0}$.

Damit wären die ersten ${\displaystyle n+1}$ Potenzen von e linear abhängig über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (und damit auch über ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$) im Widerspruch zum Satz von Lindemann-Weierstraß.

Transzendenz von π

Um die Transzendenz der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ zu zeigen, nehmen wir zunächst an, dass ${\displaystyle \pi }$ eine algebraische Zahl ist. Da die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bildet, müsste auch ${\displaystyle \pi i}$ algebraisch sein (${\displaystyle i}$ bezeichnet hier die imaginäre Einheit). Nun ist aber

${\displaystyle e^{\pi i}+e^{0}=-1+1=0}$

im Widerspruch zu linearen Unabhängigkeit von ${\displaystyle e^{\pi i}}$ und ${\displaystyle e^{0}}$.

Dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ muss also transzendent sein.

Literatur

• Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. In: Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 77, (1873), S. 18–24.
• Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. Gauthier-Villars, Paris (1874).
• Ferdinand Lindemann: Über die Ludolph'sche Zahl. In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 2 (1882), S. 679–682.
• Ferdinand Lindemann: Über die Zahl ${\displaystyle \pi }$. In: Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213–225.
• Karl Weierstraß: Zu Lindemann's Abhandlung. „Über die Ludolph'sche Zahl“. In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin 5 (1885), S. 1067–1085.
• David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und ${\displaystyle \pi }$. In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216–219.

Einzelnachweise

1. David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle \pi }$, Digitalisat, auch Wikibooks