Einheitskreis

In der Mathematik ist der Einheitskreis der Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt. Der Einheitskreis besteht also aus den Punkten ${\displaystyle (x,y)}$ der Ebene, für die ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ gilt.

Punkte auf dem Einheitskreis ${\displaystyle (\cos \varphi ,\sin \varphi )}$

Die Menge der Punkte ${\displaystyle (x,y)}$ der Ebene, für die ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1}$ gilt, bezeichnet man als Einheitskreisscheibe. Ihr Inneres, also die Menge der Punkte ${\displaystyle (x,y)}$ der Ebene, für die ${\displaystyle x^{2}+y^{2}<1}$ gilt, ist die offene Einheitskreisscheibe.

Trigonometrische Zusammenhänge

Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis (Animation)

Liegt ein Punkt ${\displaystyle P}$ auf dem Einheitskreis, dann kann man einen Winkel ${\displaystyle \varphi }$ zu der x-Achse (Abszisse) definieren, unter dem ${\displaystyle P}$ vom Ursprung des Koordinatensystems aus gesehen wird. Für die Koordinaten ${\displaystyle (x_{p},y_{p})}$ von ${\displaystyle P}$ gilt dann

${\displaystyle x_{p}=\cos \varphi }$, ${\displaystyle y_{p}=\sin \varphi }$ und ${\displaystyle y_{p}/x_{p}=\tan \varphi .}$

Unter Zuhilfenahme d​er Beziehungen i​m rechtwinkligen Dreieck lassen s​ich folgende Zusammenhänge aufstellen:

${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}}$

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}}$

${\displaystyle \cot \varphi ={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}}}$

Außerdem existieren n​och die w​enig gebräuchlichen Funktionen Sekans u​nd Kosekans, d​ie definiert s​ind als d​ie Kehrwertfunktionen v​on Kosinus u​nd Sinus.

Die orientierte Länge der Tangente an den Kreis, welche senkrecht auf der x-Achse steht, bis zum Scheitelpunkt des Winkels ist der Tangens von ${\displaystyle \varphi }$.

Der Einheitskreis k​ann auch über d​ie Eulersche Identität i​n der Komplexen Zahlenebene dargestellt werden:

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \left(\varphi \right)+i\sin \left(\varphi \right)}$.

Rationale Parametrisierung

Rationale Parametrisierung

Auch ohne Rückgriff auf trigonometrische Funktionen lassen sich alle Punkte des Einheitskreises finden. Sei ${\displaystyle t}$ eine beliebige reelle Zahl. Ein Schnittpunkt der Geraden durch ${\displaystyle (-1,0)}$ und ${\displaystyle (0,t)}$ mit dem Einheitskreis ist trivialerweise ${\displaystyle (-1,0)}$. Der andere befindet sich bei ${\displaystyle \left({\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\tfrac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$, und durchläuft, wenn ${\displaystyle t}$ ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ durchläuft, den ganzen Kreis. Der Punkt ${\displaystyle (-1,0)}$ wird dabei allerdings nur nach dem Grenzübergang ${\displaystyle t\to \pm \infty }$ erreicht.

Diese Parametrisierung ist für alle Körper geeignet. Für rationale ${\displaystyle t=p/q}$ erhält man aus ihr durch elementare Umformungen pythagoräische Tripel ${\displaystyle (q^{2}-p^{2},2pq,q^{2}+p^{2})}$.

Andere Normen

Wird eine andere Norm als die euklidische Norm zur Abstandsmessung benutzt, so ist die Form des Einheitskreises im kartesischen Koordinatensystem eine andere. So ist zum Beispiel der Einheitskreis für die Maximumsnorm ein Quadrat mit den Ecken ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$ und der Einheitskreis für die Summennorm ein Quadrat mit den Ecken ${\displaystyle (\pm 1,0)}$ und ${\displaystyle (0,\pm 1)}$.

Weblinks

• Einführung Sinus und Kosinus am Einheitskreis (Video)