Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck i​st ein Dreieck m​it einem rechten Winkel.

Dreieck mit dem rechten Winkel ${\displaystyle \gamma }$ und der Ankathete und der Gegenkathete von ${\displaystyle \alpha }$

Bezeichnungen

Als Hypotenuse[1] bezeichnet m​an die längste Seite e​ines rechtwinkligen Dreiecks. Sie l​iegt dem rechten Winkel gegenüber.

Als Kathete (aus dem griechischen káthetos, das Herabgelassene, Senkblei) wird jede der beiden kürzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden. In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel (in der Skizze ${\displaystyle \alpha }$) des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels (die dem Winkel anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete).

Sätze

• Die Beziehung zwischen den Längen der Katheten und der Hypotenuse beschreibt der Satz des Pythagoras, der auch als Hypotenusensatz bezeichnet wird. (Der Satz lautet: Sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die Seitenlängen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und ist ${\displaystyle c}$ die Seitenlänge der Hypotenuse, so gilt die Gleichung ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$). Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes. Der Kosinus von ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ist 0, wodurch sich die Formel deutlich vereinfacht.

• Anders formuliert besagt der Satz des Pythagoras, dass die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist. Aus dieser Tatsache folgen der Kathetensatz und der Höhensatz (siehe auch Satzgruppe des Pythagoras). Die Höhe ${\displaystyle h=h_{c}}$ eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Teile ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$, sodass die beiden Teildreiecke mit den Seiten ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle b}$ wiederum rechtwinklig sind. Bei Kenntnis zweier der sechs Angaben (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle h}$) lassen sich die fehlenden vier anderen Werte aus den in folgender Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.

Satz des Pythagoras	${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$
Kathetensatz	${\displaystyle a^{2}=c\cdot p}$
	${\displaystyle b^{2}=c\cdot q}$
Höhensatz	${\displaystyle h^{2}=p\cdot q}$

• Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck am Halbkreisbogen ein rechtwinkliges Dreieck ist. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist das Zentrum des Thaleskreises, des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks.

• Der Fußpunkt der Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte. Der Kathetensatz und der Höhensatz machen Aussagen über die Längen dieser Teilstrecken.

• Die trigonometrischen Funktionen beschreiben die rechnerischen Zusammenhänge zwischen den Winkeln und den Seitenverhältnissen.

Berechnung und Konstruktion

Konstruktion SWW-Fall, gegeben sind Hypotenuse ${\displaystyle c}$ und Winkel ${\displaystyle \beta }$

SSS-Fall: kleinster Tripel: ${\displaystyle (3,4,5)}$

Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch drei Bestimmungsstücke vollständig bestimmt: den rechten Winkel, eine Seite sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel. Des Weiteren ist die Höhe ${\displaystyle h_{a}}$ gleich der Kathete ${\displaystyle b}$ sowie die Höhe ${\displaystyle h_{b}}$ gleich der Kathete ${\displaystyle a}$.

• Sind beide Katheten gegeben, so lässt sich das Dreieck nach dem SWS-Fall behandeln.

Die Kathete ${\displaystyle b}$ senkrecht auf die Kathete ${\displaystyle a}$ anordnen. Der Abstand ${\displaystyle |AB|}$ ergibt die fehlende Hypotenuse ${\displaystyle c}$ und somit das Dreieck ${\displaystyle ABC}$.

• Sind eine Kathete und die Hypotenuse gegeben, so wird der SSW-Fall angewandt.

Die Hypotenuse halbieren und über den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ den Thaleskreis ziehen. Ist z. B. die Kathete ${\displaystyle b}$ gegeben, schneidet der Kreisbogen um ${\displaystyle A}$ mit dem Radius ${\displaystyle b}$ den Thaleskreis in ${\displaystyle C}$. Die Verbindung ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle B}$ vollendet das Dreieck ${\displaystyle ABC}$.

• Sind eine Seite und ein nicht-rechter Winkel gegeben, so lässt sich über die Winkelsumme der dritte Winkel bestimmen. Danach kann man das Dreieck nach dem WSW- bzw. SWW-Fall behandeln.

Ist z. B. die Kathete ${\displaystyle a}$ und der Winkel ${\displaystyle \beta }$ gegeben (WSW-Fall), wird ab ${\displaystyle B}$ eine gerade Linie gezogen, die mit der Kathete ${\displaystyle a}$ den Winkel ${\displaystyle \beta }$ bildet. Die abschließende Senkrechte auf ${\displaystyle a}$ ab ${\displaystyle C}$ schneidet die gerade Linie in ${\displaystyle A}$ und erzeugt somit das Dreieck ${\displaystyle ABC}$.

Ist z. B., wie im nebenstehenden Bild zu sehen, die Hypotenuse ${\displaystyle c}$ und der Winkel ${\displaystyle \beta }$ gegeben (SWW-Fall), wird ${\displaystyle c}$ halbiert und über den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ der Thaleskreis gezogen. Beim Festlegen des Winkels ${\displaystyle \beta }$ mit Scheitel ${\displaystyle B}$ ergibt sich ${\displaystyle C}$ auf dem Thaleskreis und damit die Kathete ${\displaystyle a}$. Die Verbindung ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle A}$ liefert die Kathete ${\displaystyle b}$ und vollendet somit das rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle ABC}$.

• Stehen im SSS-Fall die Seiten zueinander im Verhältnis gleich dem eines pythagoreischen Tripels, beispielsweise ${\displaystyle (3,4,5)}$, ist das Dreieck rechtwinklig.

Mathematische Formeln zum rechtwinkligen Dreieck
Flächeninhalt	${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a\cdot b}{2}},\\A&=\rho \cdot (\rho +2\cdot r)\end{aligned}}}$
Hypotenuse	${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\c&={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}-h_{c}^{2}}}},\\c&={\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-h_{c}^{2}}}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}c&={\frac {a}{\sin(\alpha )}}={\frac {b}{\cos(\alpha )}},\\c&={\frac {b}{\sin(\beta )}}={\frac {a}{\cos(\beta )}}\end{aligned}}}$
Kathete	${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {c^{2}-b^{2}}},\\a&={\frac {b\cdot h_{c}}{\sqrt {b^{2}-h_{c}^{2}}}},\\a&={\sqrt {{\frac {c}{2}}\cdot \left(c-{\sqrt {c^{2}-4\cdot h_{c}^{2}}}\right)}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}a&=c\cdot \sin(\alpha )=c\cdot \cos(\beta ),\\a&=b\cdot \tan(\alpha )=b\cdot \cot(\beta )\end{aligned}}}$
	${\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {c^{2}-a^{2}}},\\b&={\frac {a\cdot h_{c}}{\sqrt {a^{2}-h_{c}^{2}}}},\\b&={\sqrt {{\frac {c}{2}}\cdot \left(c+{\sqrt {c^{2}-4\cdot h_{c}^{2}}}\right)}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}b&=c\cdot \cos(\alpha )=c\cdot \sin(\beta ),\\b&=a\cdot \cot(\alpha )=a\cdot \tan(\beta )\end{aligned}}}$
Umfang	${\displaystyle {\begin{aligned}U&=a+b+c,\\U&=2\cdot \rho +4\cdot r\end{aligned}}}$
Höhe	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{c}&={\frac {a\cdot b}{c}},\\{\frac {1}{{h_{c}}^{2}}}&={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{c}&=b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \cos(\alpha ),\\h_{c}&=a\cdot \sin(\beta )=b\cdot \cos(\beta )\end{aligned}}}$
Winkel	${\displaystyle \alpha +\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right),\\\alpha &=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {b}{a}}\right)\end{aligned}}}$
		${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {a}{c}}\right),\\\beta &=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {a}{b}}\right)\end{aligned}}}$
Inkreisradius	${\displaystyle \rho ={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {a\cdot b}{a+b+c}}}$
Umkreisradius	${\displaystyle r={\frac {c}{2}}}$

Ungleichungen

Für die Katheten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gilt ${\displaystyle (a-b)^{2}\geq 0}$, also ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\geq 2\cdot a\cdot b}$. Addition von ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ergibt ${\displaystyle 2\cdot a^{2}+2\cdot b^{2}\geq a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}$, also ${\displaystyle 2\cdot (a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}}$. Nach dem Satz des Pythagoras folgt daraus ${\displaystyle c^{2}\geq {\frac {(a+b)^{2}}{2}}}$ und die Ungleichungen

${\displaystyle c\geq {\frac {a+b}{\sqrt {2}}}\geq {\sqrt {2\cdot a\cdot b}}}$

Die rechte Ungleichung i​st ein Spezialfall d​er Ungleichung v​om arithmetischen u​nd geometrischen Mittel.

Division von ${\displaystyle 4\cdot a\cdot b\leq (a+b)^{2}}$ durch die linke Ungleichung ergibt ${\displaystyle {\frac {4\cdot a\cdot b}{c}}\leq {\sqrt {2}}\cdot (a+b)}$. Wegen ${\displaystyle h_{c}={\frac {a\cdot b}{c}}}$ folgt daraus

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}}$

Aus ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\geq 2\cdot a\cdot b}$ folgt wegen ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle b>0}$, ${\displaystyle c>0}$ für die Kehrwerte${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\leq {\frac {1}{2\cdot a\cdot b}}}$, also ${\displaystyle {\frac {1}{c}}\leq {\frac {1}{\sqrt {2\cdot a\cdot b}}}}$. Multiplikation mit ${\displaystyle a\cdot b}$ auf beiden Seiten ergibt ${\displaystyle {\frac {a\cdot b}{c}}\leq {\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}}$. Wegen ${\displaystyle h_{c}={\frac {a\cdot b}{c}}}$ folgen daraus die genaueren Ungleichungen

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}\leq {\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}}$

Die Gleichungen ${\displaystyle c={\frac {a+b}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2\cdot a\cdot b}}}$ und ${\displaystyle h_{c}={\frac {\sqrt {a\cdot b}}{\sqrt {2}}}={\frac {a+b}{2\cdot {\sqrt {2}}}}}$ gelten genau dann, wenn ${\displaystyle a=b}$, also für ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck mit den Innenwinkeln ${\displaystyle 45^{\circ }}$, ${\displaystyle 45^{\circ }}$ und ${\displaystyle 90^{\circ }}$.

Ausgezeichnete Punkte

Wie aus dem Bild ersichtlich, liegt von den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten im rechtwinkligen Dreieck, der Höhenschnittpunkt ${\displaystyle H}$ (hellbraun) direkt im Scheitel des rechten Winkles, Eckpunkt ${\displaystyle C}$, und der Umkreismittelpunkt ${\displaystyle U}$ (hellgrün) in der Mitte der Dreieckseite ${\displaystyle c.}$ Der Schwerpunkt ${\displaystyle S}$ (dunkelblau) sowie der Inkreismittelpunkt ${\displaystyle I}$ (rot) sind innerhalb des Dreiecks.

Der Mittelpunkt ${\displaystyle F}$ des Feuerbachkreises (beides hellblau) ist in der Mitte der Strecke ${\displaystyle {\overline {HU}}}$ und ebenfalls innerhalb des Dreiecks. Auf dem Feuerbachkreis liegen dessen neun ausgezeichnete Punkte, von denen aber, aufgrund der Position des Höhenschnittpunktes ${\displaystyle H,}$ nur fünf zu sehen sind. Es sind dies die Seitenmittelpunkte ${\displaystyle J,M}$ und ${\displaystyle O}$ sowie die Höhenfußpunkte ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle G.}$ Zwei der drei Mittelpunkte der sogenannten oberen Höhenabschnitte, nämlich ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle N,}$ liegen auf den Seitenmittelpunkten ${\displaystyle J}$ bzw. ${\displaystyle M.}$ Der dazugehörende dritte Mittelpunkt ${\displaystyle K}$ liegt auf dem Scheitelpunkt ${\displaystyle C.}$ Schließlich findet man den dritten Höhenfußpunkt ${\displaystyle L}$ auf dem Höhenschnittpunkt ${\displaystyle H.}$

Die Bezeichnungen d​er ausgezeichneten Punkte u​nd deren Positionen s​ind mit d​enen des spitzwinkligen Dreiecks vergleichbar.[2]

Die Punkte ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle H}$ befinden sich, wie bei allen Dreiecken, auf der Eulerschen Gerade ${\displaystyle e}$ (rot).

Rechtwinkliges Dreieck mit den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle H,}$ darüber hinaus der Mittelpunkt des Feuerbachkreises ${\displaystyle F}$ mit dessen neun ausgezeichneten Punkten (davon nur fünf sichtbar) und der Eulerschen Geraden ${\displaystyle e.}$

Satz von Eddy

Der Satz w​urde erst i​m Jahr 1991 formuliert, „ist a​ber sicher s​chon sehr v​iel älter“.[3]

Bild 2: Beweis durch Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)

Bild 1: Beweis durch Symmetrie

„Die Winkelhalbierende d​es rechten Winkels e​ines rechtwinkligen Dreiecks t​eilt das Hypotenusenquadrat i​n zwei kongruente Flächen.“

Es sei ein beliebiges Dreieck ${\displaystyle ABC}$ mit der Hypotenuse ${\displaystyle c,}$ dem Hypotenusenquadrat ${\displaystyle c^{2}}$ und mit der Winkelhalbierenden ${\displaystyle wh}$ des rechten Winkels am Scheitel ${\displaystyle C.}$ Die Winkelhalbierende ${\displaystyle wh}$ schneidet im Punkt ${\displaystyle F}$ sowie im Punkt ${\displaystyle G}$ das Hypotenusenquadrat ${\displaystyle c^{2}}$ in zwei Vierecke ${\displaystyle ADGF}$ und ${\displaystyle GEBF.}$

Beweise

A) Beweis d​urch Symmetrie, Bild 1,[3][4] gleichermaßen d​er Geometrischer Beweis d​urch Ergänzung für d​en Satz d​es Pythagoras.

B) Ansatz für e​inen alternativen Beweis, Bild 2:

• Die beiden Dreiecke ${\displaystyle IFM}$ und ${\displaystyle IGJ}$ müssen kongruent sein.
• Dies trifft nur zu, wenn die Winkelhalbierende ${\displaystyle wh}$ durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates ${\displaystyle c^{2}}$ verläuft.

Zuerst wird der Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ der Hypotenuse ${\displaystyle c}$ bestimmt, anschließend der Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {MB}}}$ um ${\displaystyle M}$ eingezeichnet und die Mittelsenkrechte des Durchmessers ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit den soeben erzeugten Schnittpunkten ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ eingetragen. Der Schnittpunkt ${\displaystyle I}$ entspricht dem Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates ${\displaystyle c^{2}.}$ Abschließend noch den Punkt ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle I}$ verbinden.

Das einbeschriebene Dreieck ${\displaystyle AIC}$ hat am Scheitel ${\displaystyle M}$ den Zentriwinkel mit der Winkelweite gleich ${\displaystyle 90^{\circ }.}$ Nach dem Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz) hat der Winkel ${\displaystyle ACI}$ folglich die Winkelweite ${\displaystyle 45^{\circ },}$ damit verläuft die Winkelhalbierende ${\displaystyle wh}$ ebenfalls durch den Mittelpunkt ${\displaystyle I}$ des Hypotenusenquadrates ${\displaystyle c^{2}.}$

Somit bestätigt sich, die beiden Dreiecke ${\displaystyle IFM}$ und ${\displaystyle IGJ}$ sind kongruent, demzufolge haben auch die Vierecke ${\displaystyle ADGF}$ und ${\displaystyle GEBF}$ gleiche Flächeninhalte.

Siehe auch

• Dreieck
• Gleichseitiges Dreieck
• Gleichschenkliges Dreieck
• Spitzwinkliges Dreieck
• Stumpfwinkliges Dreieck
• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
• Hypotenuse

Weblinks

• Rechtwinkliges Dreieck auf Webseite der TU Freiberg
• Rechner für interaktive Dreiecksberechnungen
• Eric W. Weisstein: rechtwinkliges Dreieck. In: MathWorld (englisch).

Anmerkungen und Einzelnachweise

1. Die Bezeichnung „Hypotenuse“ kommt von dem gleichbedeutenden, altgriechischen Begriff ὑποτείνουσα, hypoteinousa, der von: hypo – unter und teinein – spannen, sich erstrecken abgeleitet ist.
2. Arne Madincea: Der Feuerbachkreis … Der Satz über den 9-Punkte-Kreis: Aufgabe 1, S. 2 ff. (PDF) In: Materialien für Mathematikunterricht. Herder-Gymnasium Berlin, S. 7, abgerufen am 25. November 2018.
3. Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie: Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Springer Spektrum, Wiesbaden 2018, ISBN 978-3-658-22832-3, 2.7 Der Satz von Eddy, S. 30 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 16. August 2019]).
4. Jörg Meyer: Symmetrie. 3.Symmetrie beim Problemlösen. Universität des Saarlandes, Fachrichtung Mathematik, S. 4, abgerufen am 15. August 2019.