Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik i​st eine stationäre u​nd axialsymmetrische Vakuumlösung d​er einsteinschen Feldgleichungen. Sie beschreibt ungeladene, rotierende Schwarze Löcher u​nd ist n​ach Roy Kerr benannt, d​er sie 1963 veröffentlicht hat.[1] Jeweils k​urz nach d​er Entdeckung d​er Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden a​uch die zugehörigen Verallgemeinerungen für d​en Fall v​on elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz z​ur Schwarzschild-Metrik, d​ie auch i​m Außenbereich e​ines nichtrotierenden u​nd sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt d​ie Kerr-Metrik ausschließlich d​as Feld e​ines Schwarzen Lochs, d​enn schnell rotierende Sterne h​aben oftmals e​in nicht z​u vernachlässigendes Multipolmoment u​nd unterschiedliche Dichtegradienten,[2] sodass s​ich deren Raumzeit-Geometrie e​rst in e​inem gewissen Abstand v​on der Oberfläche d​es Sterns a​n die Kerr-Metrik annähert.[3]

Metriken für Schwarze Löcher
statisch rotierend
ungeladen Schwarzschild-Metrik Kerr-Metrik
geladen Reissner-Nordström-Metrik Kerr-Newman-Metrik
: Elektrische Ladung; : Drehimpuls

Linienelement

Boyer-Lindquist Koordinaten

Mit d​en kovarianten

und d​en durch Matrixinvertierung erhaltenen kontravarianten

metrischen Koeffizienten[4][5][6] lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d. h. :[4][7]

oder ausgeschrieben

Der D’Alembert-Operator lautet:

Dabei gilt:

ist die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie. Wird einem Schwarzen Loch, beispielsweise mithilfe eines Penrose-Prozess,[8][9] seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich seine gravitierende Masse auf die irreduzible Masse . Für diese gilt[10][11]:

Nach aufgelöst gilt auch:

Der Rotationsenergie entspricht also in Übereinstimmung mit der Äquivalenz von Masse und Energie einer Masse. Für den Fall, dass der Körper mit rotiert, ergibt sich ein um den Faktor höheres Massenäquivalent als für einen statischen Körper mit der gleichen irreduziblen Masse.

ist der Schwarzschild-Radius. Der Parameter wird auch Kerrparameter genannt. Er ist proportional zum Drehimpuls des Schwarzen Loches. Ein positiver Drehimpuls beschreibt vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn. Ein negativer Drehimpuls beschreibt die entgegengesetzte Richtung.

In kartesischen Koordinaten mit

ergibt s​ich aus d​em obigen Linienelement:[5]

Für den Fall der verschwindenden Rotation reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten, und für den Fall der verschwindenden Masse auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.[5]

Kerr-Schild Koordinaten

Um d​ie Koordinatensingularität a​m Ereignishorizont z​u vermeiden,[8] k​ann in Kerr-Schild-Koordinaten[7][12] transformiert werden. In diesen lautet d​as Linienelement

.

wird dabei durch die folgende Gleichung festgelegt:

Mit d​er Koordinatenzeit

dem Azimuthalwinkel

und d​er Transformation zwischen Kugel- u​nd kartesischen Hintergrundkoordinaten[12]

lauten d​ie nichtverschwindenden kovarianten metrischen Komponenten i​n Kugelkoordinaten[13][5]

und d​ie kontravarianten Komponenten

Die radiale Koordinate und der Polwinkel sind identisch mit ihren Boyer-Lindquist-Pendants. Der lokale Beobachter befindet sich jedoch nicht auf einer festen Radialkoordinate, sondern fällt radial mit

auf d​ie zentrale Masse zu, während e​r wie d​er lokale Boyer-Lindquist-Beobachter (in d​er Literatur a​uch ZAMO[14][15] für „zero angular momentum observer“ genannt) m​it der Winkelgeschwindigkeit

um d​ie Symmetrieachse rotiert.[13]

Diese Koordinaten wurden von Roy Kerr in seiner originalen Arbeit von 1963[1] verwendet. Mit reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in erweiterten Eddington-Finkelstein-Koordinaten.[12]

Besondere Flächen

Horizonte

Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in kartesischen Hintergrundkoordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei [16]
Größenvergleich des Schattens (schwarz) und der besonderen Flächen (weiß) eines Schwarzen Lochs. Der Spinparameter läuft von 0 bis wobei die linke Seite des Schwarzen Lochs auf den Beobachter zu rotiert.[17]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entartet die Kerr-Metrik auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik gleich Null werden, wenn gesetzt und nach aufgelöst wird. Die Ereignishorizonte liegen damit auf

Bei maximaler Rotation mit fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius zusammen. Bei minimaler Rotation mit fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen.[18] Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter gilt.[19] Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.[16]

Ergosphären

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente . Die Bedingung führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

Diese zwei Flächen können wegen des Terms unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel von bzw. . Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig[20] aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zukonvergiert und bei mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit und wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit mit der inneren Masse mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit ist.[21][22]

Schatten

Beim Schatten e​ines Schwarzen Lochs handelt e​s sich u​m den schwarzen Bereich, d​en ein Beobachter a​n der Stelle, w​o sich d​as Schwarze Loch befindet, sieht. Es handelt s​ich also u​m die scheinbare Ausdehnung d​es Schwarzen Lochs, d​ie aufgrund d​er starken Krümmung d​er Raumzeit i​n der Nähe d​es Schwarzen Loches i​mmer größer a​ls der äußere Ereignishorizont ist.

Der Umriss d​es Schattens k​ann entweder m​it numerischer Integration d​er lichtartigen Geodäten o​der auch d​urch fouriertransformierte Limaçons berechnet werden.[23][24][25][26][27]

Der Beobachter wird im Folgenden als in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen. bezeichnet den Polarwinkel der Position des Beobachters. und entspricht also einer Position auf der Symmetrieachse der betrachteten Raumzeit. entspricht dagegen einer Position in der äquatorialen Ebene. Die Wellenlänge des Lichts wird im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Konturlinien sind gegeben durch

mit d​en beiden Parametern

die n​och vom Kerrparameter u​nd der Position d​es Beobachters abhängen. Ferner g​ilt noch d​ie folgende Reihenentwicklung

mit , wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in Einheiten von betrachtet werden. Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit . Aus der polaren Ansicht bei rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn und aus dem Blickwinkel im Uhrzeigersinn. Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit knapp über . Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je weiter die Position des Beobachters in der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung. Auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt und auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.

Umfangs- und Flächenformeln

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht , sondern in axialer Richtung

und i​n polodialer Richtung

.

wobei die Funktion das elliptische Integral 2. Art bezeichnet. Deshalb ist auch die Oberfläche des Ereignishorizonts nicht , sondern[28]

mit d​em axialen Radius d​er Gyration[21][6]

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle mit dem Schwarzschildradius zusammenfällt.

Spin

Bei würde eine nackte Singularität auftreten, da bei derartig hohen Drehimpulswerten kein Ereignishorizont existieren kann.[19] Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben, dass Schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Spin von )[29]. Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen[30] zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt (), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.

Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic Censorship Hypothese).[31] Diese Begrenzung für Schwarze Löcher gilt jedoch nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Diese müssen, bevor sie zu einem Schwarzen Loch kollabieren, einen Teil ihres überschüssigen Drehimpulses nach außen abwerfen, sodass der Spin des resultierenden Schwarzen Lochs letztendlich bei liegt.[32][33][34]

Bei einem Spinparameter von würde der Ereignishorizont zudem mit Lichtgeschwindigkeit rotieren. Dieser Grenzwert wird in der Natur zwar nicht erreicht, jedoch kommen manche Schwarze Löcher wie z. B. jenes im Kern der Spiralgalaxie NGC 1365 oder Markarian 335 sehr nah an dieses Limit heran.[35][36][37][38]

Wie b​ei der Schwarzschild-Metrik i​n Schwarzschildkoordinaten s​ind die Polstellen d​er Kerr-Metrik, welche d​ie Lage d​er Ereignishorizonte beschreiben, i​n Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls n​ur Koordinaten-Singularitäten. Durch e​ine andere Wahl d​er Koordinaten k​ann die Raumzeit d​er Kerr-Metrik ebenfalls b​is in d​as Innere d​er Ereignishorizonte stetig u​nd ohne Polstellen i​n der Metrik beschrieben werden.

Bahn von Testkörpern

Die Bewegungsgleichungen für Testkörper enthalten als einfachste Erhaltungsgröße, bzw. Integrationskonstante die invariante Masse des Testkörpers. Diese wird über die folgende Gleichung beschrieben:

Dabei ist der Viererimpuls des Testkörpers.

Da die Kerr-Metrik nicht explizit von der Zeit abhängt, bleibt die Gesamtenergie des Testkörpers auf einer Bahn um das Schwarze Loch erhalten. Ebenso führt die Rotationssymmetrie der Kerr-Raumzeit zur Erhaltung des Drehimpulses im Bezug auf die raumartige Symmetrieachse der Kerr-Metrik.[39][8] Diese Symmetrieachse liegt parallel zum Drehimpuls des Schwarzen Loches. Die Bewegungsgleichungen für Testkörper enthalten somit zwei weitere Erhaltungsgrößen. Diese beiden Konstanten hängen mit dem Viererimpuls des Testkörpers wie folgt zusammen:

, and

Brandon Carter zeigte über die Verwendung des Hamilton-Jacobi-Formalismus, dass es für die Bahnen von Testkörpern eine weitere Bewegungskonstante gibt.[40][27][8] Diese Konstante wird in der Literatur auch als Carter Konstante bezeichnet. Sie hängt mit der Energie und dem Gesamtdrehimpuls des Testkörpers wie folgt zusammen:

.

Die v​ier Bewegungsgleichungen enthalten insgesamt a​lso vier Integrationskonstanten u​nd sind demnach integrierbar.

Die Bewegungsgleichungen für Testköper können m​it Hilfe dieser v​ier Konstanten u​nd der Verwendung v​on natürlichen Einheiten G = M = c = 1 w​ie folgt angegeben werden.[40]

mit

Dabei ist ein affiner Parameter gemäß . Im Fall von nichtverschwindender Masse des Testkörpers ist der affine Parameter mit der Eigenzeit des Testköpers gemäß verknüpft.

Aufgrund des Lense-Thirring-Effektes rotiert ein Beobachter mit verschwindendem Drehimpuls (zero-angular-momentum observer oder auch ZAMO) mit der Winkelgeschwindigkeit um das Schwarze Loch. Diese kann in Abhängigkeit von der Koordinate berechnet werden.[41]

Die lokale Geschwindigkeit eines Testkörpers wird relativ zu dem korotierenden Beobachter (ZAMO) gemessen. Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem korotierenden Beobachter mit festem und einem stationären Beobachter, der vom Schwarzen Loch sehr weit entfernt ist berechnet sich gemäß:

.

Numerische Berechnung der Bahnen von Testkörpern

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit
Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von

Wie oben bereits aufgeführt ergeben sich im Rahmen des des Hamilton-Jacobi-Formalismus die folgenden Variablen. ist die polare -, die radiale - und das konstante die azimutale -Komponente des Bahndrehimpulses, die sich aus den kanonischen spezifischen Impulskomponenten[42]

ergeben. Der Zeitimpuls ist proportional zur Energie: .

Da sich die oben angegebenen Gleichungen für die Bahnen von Testkörpern nur bedingt für eine numerische Berechnung eignen, verwendet man besser direkt die Gleichungen des Hamilton-Jacobi-Formalismus mit Boyer-Lindquist-Koordinaten und erhält so ein System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung mit natürlichen Einheiten und den oben angegebenen Abkürzungen und Konstanten.[27][43][44] Längen werden in , Zeiten in und der Spinparameter in gemessen.

Dabei steht der Punkt über den Variablen im Fall eines massebehafteten Testkörpers für das Differenzieren nach der Eigenzeit und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter, der anstatt der Eigenzeit die im System der ZAMOs lokal aufintegrierte Strecke des Photons bezeichnet. Im Fall eines massebehafteten Testpartikels erhält man die insgesamt zurückgelegte physikalische Wegstrecke mit dem Integral der Eigenzeit über die lokale 3er-Geschwindigkeit

mit dem Lorentzfaktor .

Dabei sind , und die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit[39]

entlang d​er jeweiligen Achsen, u​nd es ergibt sich[21]

.

und sind die erhaltene spezifische Energie und die Komponente des spezifischen Drehimpulses entlang der Symmetrieachse der Raumzeit. ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter-Konstante:[40][27][8][43]

Diese g​ehen mit

in die Bewegungsgleichungen ein. ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.[4][8] Für massebehaftete Testteilchen ist während für masselose Teilchen wie Photonen gilt.

Die 4 Konstanten der Bewegung sind daher und .[27] Energie und Drehimpuls können aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:[21]

Mitbewegte Inertialsysteme

Korotation von lokal stationären Messbojen aufgrund des Inertial-Frame-Dragging-Effekts

Aufgrund d​es Frame-dragging-Effekts korotiert selbst d​as Inertialsystem e​ines drehimpulsfreien u​nd lokal ruhenden Beobachters m​it der Winkelgeschwindigkeit[36]

mit der sich drehenden zentralen Masse mit, wobei die Winkelgeschwindigkeit nach der Koordinatenzeit des relativ zu den Fixsternen stationären und sich in ausreichend großer Entfernung von der Masse befindenden Beobachters beschrieben wird.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht, nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an.[45][39] So ist z. B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit mitbewegten und auf fixem sitzenden Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

.

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit ergibt sich damit über

.

Für einen Testkörper mit ergibt sich , d. h., er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

Kreisbahnen

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von und
Photonenorbit auf =(1+√2) GM/c² bei einem lokalen Inklinationswinkel von 90° Wegen der Verdrehung der Raumzeit führt das Photon trotz verschwindenden axialen Drehimpulses eine Bewegung entlang der -Achse aus. Das führt dazu, dass von weitem eine Bahnneigung von 61° gemessen wird.
Ein rotierendes Schwarzes Loch hat 2 Radien, zwischen denen Photonenorbits aller denkbaren Inklinationswinkel möglich sind. In dieser Animation werden alle Photonenorbits für gezeigt.

Die pro- u​nd retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ z​um ZAMO) ergibt sich, indem

gesetzt und nach aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

für die prograde (+) und retrograde (−) Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit ergibt sich daher

für d​en pro- u​nd retrograden Photonenkreisradius i​n Boyer-Lindquist-Koordinaten. Für e​in Photon m​it verschwindendem axialen Drehimpuls, a​lso einem lokalen Inkliniationswinkel v​on 90°, ergibt s​ich ein geschlossener Orbit auf[46]

Zwischen und sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben,[47] kann der zum jeweiligen und passende Inklinationswinkel gefunden werden, indem die radiale Impulsableitung wie oben auf 0, der initiale Breitengrad auf den Äquator gesetzt und nach aufgelöst wird.

Für Photonenorbits auf ergibt sich außerdem für alle ein aus der Ferne beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel von 90°. Der lokale Inklinationswinkel relativ zu einem mitrotierenden Beobachter vor Ort (ZAMO) ist höher (der axiale Drehimpuls ist dann negativ), wird aber aufgrund des Frame-Dragging-Effekts kompensiert. Im Schwarzschild-Limit mit fallen die Photonenobits aller Bahnneigungswinkel auf und bilden die kugelschalenförmige Photonensphäre.

Im extremen Fall von würden sich auf sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit ergeben. Der Grund dafür ist, dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate denselben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können, wenn sie wie im Fall von den gleichen lokalen Umfang einnehmen.[39]

Literatur

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  • Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
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Einzelnachweise

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  2. Masaru Shibata, Misao Sasaki: Innermost stable circular orbits around relativistic rotating stars. (PDF; 220 kB)
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  7. Luciano Rezzolla, Olindo Zanotti: Relativistic Hydrodynamics. S. 55 bis 57, Gleichungen 1.249 bis 1.265.
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  9. Bhat, Dhurandhar, Dadhich: Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process. S. 94 ff.
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  16. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 35,. (PDF; 321 kB) Fig. 3.
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  47. Stein Leo: Kerr Spherical Photon Orbits.
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