Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik i​st eine stationäre u​nd axialsymmetrische Vakuumlösung d​er einsteinschen Feldgleichungen. Sie beschreibt ungeladene, rotierende Schwarze Löcher u​nd ist n​ach Roy Kerr benannt, d​er sie 1963 veröffentlicht hat.[1] Jeweils k​urz nach d​er Entdeckung d​er Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden a​uch die zugehörigen Verallgemeinerungen für d​en Fall v​on elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz z​ur Schwarzschild-Metrik, d​ie auch i​m Außenbereich e​ines nichtrotierenden u​nd sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt d​ie Kerr-Metrik ausschließlich d​as Feld e​ines Schwarzen Lochs, d​enn schnell rotierende Sterne h​aben oftmals e​in nicht z​u vernachlässigendes Multipolmoment u​nd unterschiedliche Dichtegradienten,[2] sodass s​ich deren Raumzeit-Geometrie e​rst in e​inem gewissen Abstand v​on der Oberfläche d​es Sterns a​n die Kerr-Metrik annähert.[3]

Metriken für Schwarze Löcher

	statisch ${\displaystyle (J=0)}$	rotierend ${\displaystyle (J\neq 0)}$
ungeladen ${\displaystyle (Q=0)}$	Schwarzschild-Metrik	Kerr-Metrik
geladen ${\displaystyle (Q\neq 0)}$	Reissner-Nordström-Metrik	Kerr-Newman-Metrik
${\displaystyle Q}$: Elektrische Ladung; ${\displaystyle \ J}$: Drehimpuls

Linienelement

Boyer-Lindquist Koordinaten

Mit d​en kovarianten

${\displaystyle g_{tt}=\zeta -1,\ g_{rr}={\frac {\Sigma }{\Delta }},\ g_{\theta \theta }=\Sigma ,\ g_{\phi \phi }={\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }},\ g_{t\phi }=-a\zeta \sin ^{2}\theta }$

und d​en durch Matrixinvertierung erhaltenen kontravarianten

${\displaystyle g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \Sigma }},g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }},g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},g^{\phi \phi }={\frac {\Delta -a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Delta \Sigma \sin ^{2}\theta }},\ g^{t\phi }=-{\frac {a\zeta }{\Delta }}}$

metrischen Koeffizienten[4][5][6] lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d. h. ${\displaystyle G=c=1}$:[4][7]

${\displaystyle {\mathrm {d} s}^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=g_{tt}\mathrm {d} t^{2}+g_{rr}\mathrm {d} r^{2}+g_{\theta \theta }\mathrm {d} \theta ^{2}+g_{\phi \phi }\mathrm {d} \phi ^{2}+2g_{t\phi }\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi ,}$

oder ausgeschrieben

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=(\zeta -1)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+{\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} \phi ^{2}-2a\zeta \sin ^{2}\theta \mathrm {d} t\mathrm {d} \phi }$

Der D’Alembert-Operator lautet:

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }=g^{\mu \nu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=g^{tt}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}+g^{rr}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+g^{\theta \theta }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}+g^{\phi \phi }\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}+2g^{t\phi }\,{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

Dabei gilt:

${\displaystyle r_{\mathrm {s} }=2M,\quad a=J/M,\quad \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,\quad \Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }\ r+a^{2},\quad \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \Delta ,\quad \zeta =r_{\mathrm {s} }r/\Sigma }$

${\displaystyle M}$ ist die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie. Wird einem Schwarzen Loch, beispielsweise mithilfe eines Penrose-Prozess,[8][9] seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich seine gravitierende Masse ${\displaystyle M}$ auf die irreduzible Masse ${\displaystyle M_{\mathrm {irr} }}$. Für diese gilt[10][11]:

${\displaystyle M_{\mathrm {irr} }={\sqrt {\,{\frac {M^{2}+{\sqrt {M^{4}-a^{2}M^{2}}}}{2}}}}}$

Nach ${\displaystyle M}$ aufgelöst gilt auch:

${\displaystyle M=2{\sqrt {\frac {M_{\mathrm {irr} }^{4}}{4M_{\mathrm {irr} }^{2}-a^{2}}}}}$

Der Rotationsenergie ${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }=M-M_{\mathrm {irr} }}$ entspricht also in Übereinstimmung mit der Äquivalenz von Masse und Energie einer Masse. Für den Fall, dass der Körper mit ${\displaystyle a=M}$ rotiert, ergibt sich ein um den Faktor ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ höheres Massenäquivalent als für einen statischen Körper mit der gleichen irreduziblen Masse.

${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ ist der Schwarzschild-Radius. Der Parameter ${\displaystyle a}$ wird auch Kerrparameter genannt. Er ist proportional zum Drehimpuls ${\displaystyle J}$ des Schwarzen Loches. Ein positiver Drehimpuls beschreibt vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn. Ein negativer Drehimpuls beschreibt die entgegengesetzte Richtung.

In kartesischen Koordinaten mit

${\displaystyle x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi ,\quad y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\;\sin \theta \sin \phi ,\quad z=r\cos \theta }$

ergibt s​ich aus d​em obigen Linienelement:[5]

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {r\cos \phi \sin \theta }{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}}\mathrm {d} r+{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\cos \phi \cos \theta \mathrm {d} \theta -{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\sin \phi \sin \theta \mathrm {d} \phi }$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {r\sin \phi \sin \theta }{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}}\mathrm {d} r+{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\sin \phi \cos \theta \mathrm {d} \theta -{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\cos \phi \sin \theta \mathrm {d} \phi }$

${\displaystyle \mathrm {d} z=\cos \theta \mathrm {d} r-r\sin \theta \mathrm {d} \theta }$

Für den Fall der verschwindenden Rotation ${\displaystyle a=0}$ reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten, und für den Fall der verschwindenden Masse ${\displaystyle M=0}$ auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.[5]

Kerr-Schild Koordinaten

Um d​ie Koordinatensingularität a​m Ereignishorizont z​u vermeiden,[8] k​ann in Kerr-Schild-Koordinaten[7][12] transformiert werden. In diesen lautet d​as Linienelement

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}-\mathrm {d} {\hat {t}}^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }\ r^{3}}{r^{4}+a^{2}\ z^{2}}}\ \left(\mathrm {d} {\hat {t}}+{\frac {r\ (x\ \mathrm {d} x+y\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {a\ (y\ \mathrm {d} x-x\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z\ \mathrm {d} z}{r}}\right)^{2}}$.

${\displaystyle r}$ wird dabei durch die folgende Gleichung festgelegt:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+a^{2}\left(1-{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\right).}$

Mit d​er Koordinatenzeit

${\displaystyle {\hat {t}}=t+r_{\mathrm {s} }\int {\frac {r\ \mathrm {d} r}{\Delta }}\ ,\ \ \mathrm {d} {\hat {t}}=\mathrm {d} t+r_{\mathrm {s} }\ \mathrm {d} r\ r/\Delta ,}$

dem Azimuthalwinkel

${\displaystyle {\hat {\varphi }}=\phi +a\ \int {\frac {\mathrm {d} r}{\Delta }}\ ,\ \ \mathrm {d} {\hat {\varphi }}=\mathrm {d} \phi +\mathrm {d} r\ a/\Delta }$

und d​er Transformation zwischen Kugel- u​nd kartesischen Hintergrundkoordinaten[12]

${\displaystyle x=(r\ \cos {\hat {\varphi }}+a\ \sin \ {\hat {\varphi }})\ \sin \theta \ ,\ \ y=(r\ \sin {\hat {\varphi }}-a\ \cos \ {\hat {\varphi }})\ \sin \theta \ ,\ \ z=r\cos \theta }$

lauten d​ie nichtverschwindenden kovarianten metrischen Komponenten i​n Kugelkoordinaten[13][5]

${\displaystyle g_{{\hat {t}}{\hat {t}}}=\zeta -1,\ g_{{\hat {t}}r}=\zeta ,\ g_{{\hat {t}}{\hat {\varphi }}}=-\zeta a\sin ^{2}\theta ,\ g_{rr}=\zeta +1,\ g_{r{\hat {\varphi }}}=-(\zeta +1)a\sin ^{2}\theta ,\ g_{\theta \theta }=\Sigma ,\ g_{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}={\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}}$

und d​ie kontravarianten Komponenten

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{{\hat {t}}{\hat {t}}}&=-\zeta -1,\\g^{{\hat {t}}r}&=\zeta ,\\g^{rr}&=-{\frac {\zeta ^{2}a^{2}\Sigma \sin ^{2}\theta -\zeta \chi +\chi }{(\zeta +1)a^{2}\Sigma \sin ^{2}\theta -\chi }},\\g^{r{\hat {\varphi }}}&=-{\frac {a\Sigma }{(\zeta +1)a^{2}\Sigma \sin ^{2}\theta -\chi }},\\g^{\theta \theta }&={\frac {1}{\Sigma }},\\g^{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}&=-{\frac {\Sigma \csc ^{4}\theta }{(\zeta +1)a^{2}\Sigma -\chi \csc ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$

Die radiale Koordinate ${\displaystyle r}$ und der Polwinkel ${\displaystyle \theta }$ sind identisch mit ihren Boyer-Lindquist-Pendants. Der lokale Beobachter befindet sich jedoch nicht auf einer festen Radialkoordinate, sondern fällt radial mit

${\displaystyle \mathrm {d} r/\mathrm {d} t=-r_{\mathrm {s} }\ r\ \Delta /\chi }$

auf d​ie zentrale Masse zu, während e​r wie d​er lokale Boyer-Lindquist-Beobachter (in d​er Literatur a​uch ZAMO[14][15] für „zero angular momentum observer“ genannt) m​it der Winkelgeschwindigkeit

${\displaystyle \mathrm {d} \phi /\mathrm {d} t=r_{\mathrm {s} }\ r\ a/\chi }$

um d​ie Symmetrieachse rotiert.[13]

Diese Koordinaten wurden von Roy Kerr in seiner originalen Arbeit von 1963[1] verwendet. Mit ${\displaystyle a=0}$ reduziert sich das Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in erweiterten Eddington-Finkelstein-Koordinaten.[12]

Besondere Flächen

Horizonte

Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in kartesischen Hintergrundkoordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei ${\displaystyle R=a.}$[16]

Größenvergleich des Schattens (schwarz) und der besonderen Flächen (weiß) eines Schwarzen Lochs. Der Spinparameter ${\displaystyle a}$ läuft von 0 bis ${\displaystyle M,}$ wobei die linke Seite des Schwarzen Lochs auf den Beobachter zu rotiert.[17]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entartet die Kerr-Metrik auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente der Kerr-Metrik ${\displaystyle g_{rr}}$ gleich Null werden, wenn ${\displaystyle \Delta =0}$ gesetzt und nach ${\displaystyle r}$ aufgelöst wird. Die Ereignishorizonte liegen damit auf

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }\ =\ M\ \pm \ {\sqrt {M^{2}\ -\ a^{2}}}.}$

Bei maximaler Rotation mit ${\displaystyle a=M}$ fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius ${\displaystyle r_{G}=M}$ zusammen. Bei minimaler Rotation mit ${\displaystyle a=0}$ fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius ${\displaystyle r_{s}=2r_{G}}$ zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate ${\displaystyle r}$ bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, zeigt das Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte, dass diese eher die geometrischen Eigenschaften eines Rotationsellipsoids besitzen.[18] Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter ${\displaystyle a\leq M}$ gilt.[19] Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.[16]

Ergosphären

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente ${\displaystyle g_{tt}}$. Die Bedingung ${\displaystyle g_{tt}=0}$ führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.}$

Diese zwei Flächen können wegen des Terms ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel ${\displaystyle \theta }$ von ${\displaystyle 0}$ bzw. ${\displaystyle \pi }$. Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig[20] aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zukonvergiert und bei ${\displaystyle a=M}$ mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit ${\displaystyle r=r_{\text{H}}^{\text{+}}}$ und ${\displaystyle r=r_{\text{E}}^{\text{+}}}$ wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente ${\displaystyle g_{tt}}$ der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \Omega }$ mit der inneren Masse ${\displaystyle M}$ mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) ${\displaystyle v_{\mathrm {zamo} }=\Omega \ {\bar {R}}\ \varsigma }$ ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ ist.[21][22]

Schatten

Beim Schatten e​ines Schwarzen Lochs handelt e​s sich u​m den schwarzen Bereich, d​en ein Beobachter a​n der Stelle, w​o sich d​as Schwarze Loch befindet, sieht. Es handelt s​ich also u​m die scheinbare Ausdehnung d​es Schwarzen Lochs, d​ie aufgrund d​er starken Krümmung d​er Raumzeit i​n der Nähe d​es Schwarzen Loches i​mmer größer a​ls der äußere Ereignishorizont ist.

Der Umriss d​es Schattens k​ann entweder m​it numerischer Integration d​er lichtartigen Geodäten o​der auch d​urch fouriertransformierte Limaçons berechnet werden.[23][24][25][26][27]

Der Beobachter wird im Folgenden als in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen. ${\displaystyle \theta }$ bezeichnet den Polarwinkel der Position des Beobachters. ${\displaystyle \theta =0}$ und ${\displaystyle \theta =\pi }$ entspricht also einer Position auf der Symmetrieachse der betrachteten Raumzeit. ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ entspricht dagegen einer Position in der äquatorialen Ebene. Die Wellenlänge des Lichts wird im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Konturlinien sind gegeben durch

${\displaystyle 0=(x^{2}+z^{2}-x\ A)^{2}-B^{2}\ (x^{2}+z^{2})}$

mit d​en beiden Parametern

${\displaystyle A=\alpha \sin \theta +{\bar {a}}\sin ^{3}\theta \cos ^{2}\theta /5}$

${\displaystyle B=\beta +0{,}23\cos ^{4}\theta \ (1-{\sqrt {1-{\bar {a}}^{4}}}),}$

die n​och vom Kerrparameter u​nd der Position d​es Beobachters abhängen. Ferner g​ilt noch d​ie folgende Reihenentwicklung

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&-8892{,}68{\bar {a}}^{10}+30413{,}2{\bar {a}}^{9}-46107{,}4{\bar {a}}^{8}+\\&+37064{,}7{\bar {a}}^{7}-18685{,}4{\bar {a}}^{6}+4666{,}5{\bar {a}}^{5}-3894{,}54{\bar {a}}^{4}+\\&+49{,}5645{\bar {a}}^{3}-9672{,}25{\bar {a}}^{2}+2{,}27392{\bar {a}}+9669{,}01{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})\end{aligned}}}$

${\displaystyle \beta =5{,}19058-0{,}343743{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})+0{,}0284803{\bar {a}}-0{,}0470795{\bar {a}}^{\ 27{,}5224}\tan({\bar {a}})}$

mit ${\displaystyle {\bar {a}}=a/M}$, wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in Einheiten von ${\displaystyle GM/c^{2}}$ betrachtet werden. Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit ${\displaystyle r_{\mathrm {obs} }=A\cos \vartheta +B}$. Aus der polaren Ansicht bei ${\displaystyle \theta =0}$ rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn und aus dem Blickwinkel ${\displaystyle \theta =\pi }$ im Uhrzeigersinn. Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit knapp über ${\displaystyle 5GM/c^{2}}$. Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je weiter die Position des Beobachters in der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung. Auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt und auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.

Umfangs- und Flächenformeln

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht ${\displaystyle U=2\pi \ r}$, sondern in axialer Richtung

${\displaystyle U_{\phi }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}\ \mathrm {d} \phi =2\pi {\bar {R}}}$

und i​n polodialer Richtung

${\displaystyle U_{\theta }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\theta \theta }|}}\ \mathrm {d} \theta =4{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\ \xi \left({\frac {a^{2}}{a^{2}+r^{2}}}\right)}$.

wobei die Funktion ${\displaystyle \xi }$ das elliptische Integral 2. Art bezeichnet. Deshalb ist auch die Oberfläche des Ereignishorizonts nicht ${\displaystyle 4\pi r_{\text{H}}^{2}}$, sondern[28]

${\displaystyle A_{\mathrm {H} }=\int _{0}^{\pi }2\pi {\bar {R}}\ {\sqrt {\Sigma }}\,\mathrm {d} \theta =8\pi Mr_{\text{H}}}$

mit d​em axialen Radius d​er Gyration[21][6]

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta ,}$

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle ${\displaystyle a}$ mit dem Schwarzschildradius ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ zusammenfällt.

Spin

Bei ${\displaystyle a>M,\ r=r_{\text{H}}^{+}}$ würde eine nackte Singularität auftreten, da bei derartig hohen Drehimpulswerten kein Ereignishorizont existieren kann.[19] Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben, dass Schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Spin von ${\displaystyle a\approx 0{,}998M}$)[29]. Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen[30] zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt (${\displaystyle a=0{,}95M}$), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.

Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic Censorship Hypothese).[31] Diese Begrenzung für Schwarze Löcher gilt jedoch nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Diese müssen, bevor sie zu einem Schwarzen Loch kollabieren, einen Teil ihres überschüssigen Drehimpulses nach außen abwerfen, sodass der Spin des resultierenden Schwarzen Lochs letztendlich bei ${\displaystyle a<M}$ liegt.[32][33][34]

Bei einem Spinparameter von ${\displaystyle a=M}$ würde der Ereignishorizont zudem mit Lichtgeschwindigkeit rotieren. Dieser Grenzwert wird in der Natur zwar nicht erreicht, jedoch kommen manche Schwarze Löcher wie z. B. jenes im Kern der Spiralgalaxie NGC 1365 oder Markarian 335 sehr nah an dieses Limit heran.[35][36][37][38]

Wie b​ei der Schwarzschild-Metrik i​n Schwarzschildkoordinaten s​ind die Polstellen d​er Kerr-Metrik, welche d​ie Lage d​er Ereignishorizonte beschreiben, i​n Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls n​ur Koordinaten-Singularitäten. Durch e​ine andere Wahl d​er Koordinaten k​ann die Raumzeit d​er Kerr-Metrik ebenfalls b​is in d​as Innere d​er Ereignishorizonte stetig u​nd ohne Polstellen i​n der Metrik beschrieben werden.

Bahn von Testkörpern

Die Bewegungsgleichungen für Testkörper enthalten als einfachste Erhaltungsgröße, bzw. Integrationskonstante die invariante Masse ${\displaystyle \mu }$ des Testkörpers. Diese wird über die folgende Gleichung beschrieben:

${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta },}$

Dabei ist ${\displaystyle p^{\alpha }}$ der Viererimpuls des Testkörpers.

Da die Kerr-Metrik nicht explizit von der Zeit abhängt, bleibt die Gesamtenergie ${\displaystyle E}$ des Testkörpers auf einer Bahn um das Schwarze Loch erhalten. Ebenso führt die Rotationssymmetrie der Kerr-Raumzeit zur Erhaltung des Drehimpulses ${\displaystyle L_{z}}$ im Bezug auf die raumartige Symmetrieachse der Kerr-Metrik.[39][8] Diese Symmetrieachse liegt parallel zum Drehimpuls des Schwarzen Loches. Die Bewegungsgleichungen für Testkörper enthalten somit zwei weitere Erhaltungsgrößen. Diese beiden Konstanten hängen mit dem Viererimpuls des Testkörpers wie folgt zusammen:

${\displaystyle E=-p_{t}}$, and

${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$

Brandon Carter zeigte über die Verwendung des Hamilton-Jacobi-Formalismus, dass es für die Bahnen von Testkörpern eine weitere Bewegungskonstante ${\displaystyle Q}$ gibt.[40][27][8] Diese Konstante wird in der Literatur auch als Carter Konstante bezeichnet. Sie hängt mit der Energie und dem Gesamtdrehimpuls des Testkörpers wie folgt zusammen:

${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}\right)}$.

Die v​ier Bewegungsgleichungen enthalten insgesamt a​lso vier Integrationskonstanten u​nd sind demnach integrierbar.

Die Bewegungsgleichungen für Testköper können m​it Hilfe dieser v​ier Konstanten u​nd der Verwendung v​on natürlichen Einheiten G = M = c = 1 w​ie folgt angegeben werden.[40]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$

mit

${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$

${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$

${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

Dabei ist ${\displaystyle \lambda }$ ein affiner Parameter gemäß ${\displaystyle {\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}=p^{\alpha }}$. Im Fall von nichtverschwindender Masse des Testkörpers ${\displaystyle \mu >0}$ ist der affine Parameter ${\displaystyle \lambda }$ mit der Eigenzeit ${\displaystyle \tau }$ des Testköpers gemäß ${\displaystyle \lambda =\tau /\mu }$ verknüpft.

Aufgrund des Lense-Thirring-Effektes rotiert ein Beobachter mit verschwindendem Drehimpuls (zero-angular-momentum observer oder auch ZAMO) mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \Omega }$ um das Schwarze Loch. Diese kann in Abhängigkeit von der Koordinate ${\displaystyle t}$ berechnet werden.[41]

Die lokale Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ eines Testkörpers wird relativ zu dem korotierenden Beobachter (ZAMO) gemessen. Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem korotierenden Beobachter mit festem ${\displaystyle r}$ und einem stationären Beobachter, der vom Schwarzen Loch sehr weit entfernt ist berechnet sich gemäß:

${\displaystyle {\frac {t}{\tau }}={\sqrt {\frac {\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma }}}}$.

Numerische Berechnung der Bahnen von Testkörpern

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit ${\displaystyle a=0{,}9\ M}$

Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von ${\displaystyle a=0{,}95\ M}$

Wie oben bereits aufgeführt ergeben sich im Rahmen des des Hamilton-Jacobi-Formalismus die folgenden Variablen. ${\displaystyle p_{\theta }}$ ist die polare ${\displaystyle \theta }$-, ${\displaystyle p_{r}}$ die radiale ${\displaystyle r}$- und das konstante ${\displaystyle p_{\phi }=L_{z}}$ die azimutale ${\displaystyle \phi }$-Komponente des Bahndrehimpulses, die sich aus den kanonischen spezifischen Impulskomponenten[42]

${\displaystyle p_{\mu }=g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\nu }}$

ergeben. Der Zeitimpuls ist proportional zur Energie: ${\displaystyle p_{t}=-E}$.

Da sich die oben angegebenen Gleichungen für die Bahnen von Testkörpern nur bedingt für eine numerische Berechnung eignen, verwendet man besser direkt die Gleichungen des Hamilton-Jacobi-Formalismus mit Boyer-Lindquist-Koordinaten und erhält so ein System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung mit natürlichen Einheiten ${\displaystyle G=M=c=1}$ und den oben angegebenen Abkürzungen und Konstanten.[27][43][44] Längen werden in ${\displaystyle GM/c^{2}}$, Zeiten in ${\displaystyle GM/c^{3}}$ und der Spinparameter in ${\displaystyle a=Jc/(GM^{2})}$ gemessen.

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}}$

${\displaystyle p_{t}=-E}$

${\displaystyle p_{r}={\frac {v^{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}$

${\displaystyle p_{\theta }={\frac {v^{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}$

${\displaystyle p_{\phi }=L_{z}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{t}=0}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{\phi }=0}$

Dabei steht der Punkt über den Variablen im Fall eines massebehafteten Testkörpers für das Differenzieren nach der Eigenzeit ${\displaystyle \tau }$ und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter, der anstatt der Eigenzeit die im System der ZAMOs lokal aufintegrierte Strecke des Photons bezeichnet. Im Fall eines massebehafteten Testpartikels erhält man die insgesamt zurückgelegte physikalische Wegstrecke mit dem Integral der Eigenzeit über die lokale 3er-Geschwindigkeit

${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {s}}=\mathrm {d} \tau \ \mathrm {d} v\ \gamma \ ,\ \ {\bar {s}}=\int _{0}^{\tau }v(\tau ')\ \gamma \,\mathrm {d} \tau '}$ mit dem Lorentzfaktor ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {(1-v^{2})}}={\dot {t}}/\varsigma }$.

Dabei sind ${\displaystyle v^{r}}$, ${\displaystyle v^{\theta }}$ und ${\displaystyle v^{\phi }}$ die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit[39]

${\displaystyle v={\sqrt {(v^{r})^{2}+(v^{\theta })^{2}+(v^{\phi })^{2}}}={\sqrt {(v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}}}}$

entlang d​er jeweiligen Achsen, u​nd es ergibt sich[21]

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \Sigma }{\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}}$.

${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle L_{z}}$ sind die erhaltene spezifische Energie und die Komponente des spezifischen Drehimpulses entlang der Symmetrieachse der Raumzeit. ${\displaystyle Q}$ ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter-Konstante:[40][27][8][43]

${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I}$

Diese g​ehen mit

${\displaystyle k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+Q}$

in die Bewegungsgleichungen ein. ${\displaystyle I}$ ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.[4][8] Für massebehaftete Testteilchen ist ${\displaystyle \mu =-1}$ während für masselose Teilchen wie Photonen ${\displaystyle \mu =0}$ gilt.

Die 4 Konstanten der Bewegung sind daher ${\displaystyle E,L_{z},Q}$ und ${\displaystyle \mu }$.[27] Energie und Drehimpuls können aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:[21]

${\displaystyle E=\ -\ g_{tt}\ {\dot {t}}\ -\ g_{t\phi }\ {\dot {\phi }}={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\phi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}\ }$${\displaystyle ={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}}$

${\displaystyle L_{z}=g_{\phi \phi }\ {\dot {\phi }}\ +\ g_{t\phi }\ {\dot {t}}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v^{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}$

Mitbewegte Inertialsysteme

Korotation von lokal stationären Messbojen aufgrund des Inertial-Frame-Dragging-Effekts

Aufgrund d​es Frame-dragging-Effekts korotiert selbst d​as Inertialsystem e​ines drehimpulsfreien u​nd lokal ruhenden Beobachters m​it der Winkelgeschwindigkeit[36]

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{\mathrm {s} }\ a\ r}{\chi }}}$

mit der sich drehenden zentralen Masse mit, wobei die Winkelgeschwindigkeit nach der Koordinatenzeit ${\displaystyle t}$ des relativ zu den Fixsternen stationären und sich in ausreichend großer Entfernung von der Masse befindenden Beobachters beschrieben wird.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht, nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an.[45][39] So ist z. B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort ${\displaystyle (v)}$ bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit ${\displaystyle \Omega }$ mitbewegten und auf fixem ${\displaystyle r}$ sitzenden Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

${\displaystyle \varsigma ={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {g^{tt}}}}$.

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {esc} }}$ ergibt sich damit über

${\displaystyle \varsigma ={\frac {1}{\sqrt {1-v_{\mathrm {esc} }^{2}}}}\ \to \ v_{\mathrm {esc} }={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}}$.

Für einen Testkörper mit ${\displaystyle E=1\ ,\ L=0}$ ergibt sich ${\displaystyle v^{r}=v_{\mathrm {esc} }}$, d. h., er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

Kreisbahnen

Pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit als Funktion von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle r}$

Photonenorbit auf r°_⊥=(1+√2) GM/c² bei einem lokalen Inklinationswinkel von 90° ${\displaystyle (L_{z}=0).}$ Wegen der Verdrehung der Raumzeit führt das Photon trotz verschwindenden axialen Drehimpulses eine Bewegung entlang der ${\displaystyle \phi }$-Achse aus. Das führt dazu, dass von weitem eine Bahnneigung von 61° gemessen wird.

Ein rotierendes Schwarzes Loch hat 2 Radien, zwischen denen Photonenorbits aller denkbaren Inklinationswinkel möglich sind. In dieser Animation werden alle Photonenorbits für ${\displaystyle a=M}$ gezeigt.

Die pro- u​nd retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ z​um ZAMO) ergibt sich, indem

${\displaystyle {\dot {p}}_{r}=v^{r}=v^{\theta }=0\ ,\ \ \theta =\pi /2\ ,\ \ v=v^{\phi }\ ,\ \ {\bar {a}}=a/M\ ,\ \ {\bar {r}}=r/M}$

gesetzt und nach ${\displaystyle v^{\phi }}$ aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

${\displaystyle v_{\pm }^{\circ }={\frac {{\bar {a}}^{2}\mp 2{\bar {a}}{\sqrt {\bar {r}}}+{\bar {r}}^{2}}{{\sqrt {{\bar {a}}^{2}+({\bar {r}}-2)r}}\left({\bar {a}}\pm {\bar {r}}^{3/2}\right)}}}$

für die prograde (+) und retrograde (−) Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit ${\displaystyle v=1,\ \mu =0}$ ergibt sich daher

${\displaystyle r_{\pm }^{\circ }=r_{\mathrm {s} }\ \left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(\mp {\bar {a}})\right)+1\right)}$

für d​en pro- u​nd retrograden Photonenkreisradius i​n Boyer-Lindquist-Koordinaten. Für e​in Photon m​it verschwindendem axialen Drehimpuls, a​lso einem lokalen Inkliniationswinkel v​on 90°, ergibt s​ich ein geschlossener Orbit auf[46]

${\displaystyle r_{\perp }^{\circ }=r_{\mathrm {s} }\ {\sqrt {1-{\frac {{\bar {a}}^{3}}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\frac {1-{\bar {a}}^{2}}{\left(1-{\frac {{\bar {a}}^{2}}{3}}\right)^{3/2}}}\right)\right)+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{2}}.}$

Zwischen ${\displaystyle r_{+}^{\circ }}$ und ${\displaystyle r_{-}^{\circ }}$ sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben,[47] kann der zum jeweiligen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle r}$ passende Inklinationswinkel gefunden werden, indem die radiale Impulsableitung ${\displaystyle {\dot {p}}_{r}}$ wie oben auf 0, der initiale Breitengrad ${\displaystyle \theta _{0}}$ auf den Äquator gesetzt und nach ${\displaystyle v^{\phi }}$ aufgelöst wird.

Für Photonenorbits auf ${\displaystyle r=3M}$ ergibt sich außerdem für alle ${\displaystyle a}$ ein aus der Ferne beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel von 90°. Der lokale Inklinationswinkel relativ zu einem mitrotierenden Beobachter vor Ort (ZAMO) ist höher (der axiale Drehimpuls ist dann negativ), wird aber aufgrund des Frame-Dragging-Effekts kompensiert. Im Schwarzschild-Limit mit ${\displaystyle a=0}$ fallen die Photonenobits aller Bahnneigungswinkel auf ${\displaystyle r^{\circ }=3M}$ und bilden die kugelschalenförmige Photonensphäre.

Im extremen Fall von ${\displaystyle a=M}$ würden sich auf ${\displaystyle r=M}$ sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit ${\displaystyle v_{+}^{\circ }=1}$ als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit ${\displaystyle v_{+}^{\circ }=1/2}$ ergeben. Der Grund dafür ist, dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate denselben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können, wenn sie wie im Fall von ${\displaystyle a=M}$ den gleichen lokalen Umfang ${\displaystyle 2\pi {\bar {R}}}$ einnehmen.[39]

Literatur

• Robert H. Boyer, Richard W. Lindquist: Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric. In: Journal of Mathematical Physics. Vol. 8, Issue 2, 1967, S. 265–281. doi:10.1063/1.1705193.
• Barrett O’Neill: The geometry of Kerr black holes. Peters, Wellesley 1995, ISBN 1-56881-019-9.
• David L. Wiltshire, Matt Visser, Susan M. Scott (Hrsg.): The Kerr spacetime: Rotating Black Holes in General Relativity. Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-88512-6.
• Roy P. Kerr: The Kerr and Kerr-Schild-Metrics. In: Wiltshire, Visser, Scott: The Kerr Spacetime. Cambridge UP, 2009, S. 38–72 (Erstveröffentlichung: Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics. arxiv:0706.1109).

Weblinks

• Andreas Müller: Schwarze Löcher: Kerr-Metrik. Wissenschaft-Online, August 2007.
• Hendrik van Hees: Gravitation im Universum: Die Kerr-Lösung. GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung

Einzelnachweise

1. Roy P. Kerr: Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. In: Physical Review Letters. Band 11, 1963, S. 237–238, doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.
2. Masaru Shibata, Misao Sasaki: Innermost stable circular orbits around relativistic rotating stars. (PDF; 220 kB)
3. Nikolaos Stergioulas: Rotating Stars in Relativity. (PDF; 700 kB) S. 16, Kapitel 2.8, arxiv:gr-qc/0302034.
4. Christopher M. Hirata: Lecture XXVI: Kerr black holes: I. Metric structure and regularity of particle orbits. (PDF; 104 kB) S. 5.
5. Leonardo Gualtieri, Valeria Ferrari (INFN Rome): The Kerr solution. (PDF) Gleichungen 19.6, 19.7, 19.10 (Boyer-Lindquist), 19.52 (Kerr-Schild).
6. Raine, Thomas: Black Holes: A Student Text. S. 80 ff.
7. Luciano Rezzolla, Olindo Zanotti: Relativistic Hydrodynamics. S. 55 bis 57, Gleichungen 1.249 bis 1.265.
8. Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation. S. 899, 900, 908.
9. Bhat, Dhurandhar, Dadhich: Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process. S. 94 ff.
10. Stijn van Tongeren: Rotating Black Holes. (PDF; 1,2 MB) S. 42.
11. Thibault Damour: Black Holes: Energetics and Thermodynamics. (PDF; 263 kB) S. 11.
12. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 10–14,. (PDF; 321 kB) Gleichungen 32–42 u. 55–56.
13. Serguei Komissarov: Electrodynamics of black hole magnetospheres. S. 20, arxiv:astro-ph/0402403v2.
14. Andrei u. Valeri Frolov: Rigidly rotating ZAMO surfaces in the Kerr spacetime. (arxiv:1408.6316v1)
15. Marek Abramowicz: Foundations of Black Hole Accretion Disk Theory. (PDF; 6,3 MB) S. 11 ff., arxiv:1104.5499
16. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 35,. (PDF; 321 kB) Fig. 3.
17. Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes. (PDF; 227 kB)
18. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: arxiv:0706.0622), S. 27,. (PDF; 321 kB) Formel 116.
19. Gerald Marsh: The infinite red-shift surfaces of the Kerr solution. (PDF; 965 kB) S. 7. arxiv:gr-qc/0702114.
20. Katherine Blundell: Black Holes: A Very Short Introduction. S. 31.
21. Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes. (PDF; 583 kB) S. 5 ff.
22. Daniel Brennan: Energy Extraction from Black Holes. (PDF; 2,0 MB) S. 17.
23. Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes. (12), (13).
24. Claudio Paganini, Blazej Ruba, Marius Oancea: Null Geodesics on Kerr Spacetimes. (PDF; 4,7 MB) arxiv:1611.06927
25. Naoki Tsukamoto: Kerr-Newman and rotating regular black hole shadows in flat spacetime. (PDF; 372 kB) arxiv:1708.07427
26. Grenzebach, Perlick, Lämmerzahl: Photon Regions and Shadows of Kerr–Newman–NUT Black Holes. (PDF; 3,9 MB) arxiv:1403.5234
27. Hung-Yi Pu, Kiyun Yun, Ziri Younsi, Suk Jin Yoon: A public GPU-based code for general-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime. (PDF; 8,9 MB) S. 2 ff., arxiv:1601.02063
28. Mike Guidry: Rotating Black Holes. (PDF) Kapitel 13, S. 9.
29. Kip Thorne: Disk-Accretion onto a Black Hole. II. Evolution of the Hole. Astrophysical Journal, Band 191, 1974, S. 507–520, bibcode:1974ApJ...191..507T
30. Berti u. a: Cross section, final spin and zoom-whirl behavior in high-energy black hole collisions. In: Phys. Rev. Lett., Band 103, 2009, S. 131102, arxiv:0907.1252.
31. Orlando Luongo, Hernando Quevedo: Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues. (PDF; 253 kB)
32. Joakim Bolin, Ingemar Bengtsson: The Angular Momentum of Kerr Black Holes. (PDF) S. 2, S. 10, S. 11.
33. William Wheaton: Rotation Speed of a Black Hole.
34. Roy Kerr: Spinning Black Holes. (Youtube, Zeitstempel 36:47.) Crafoord Prize Symposium in Astronomy.
35. Supermassive Black Hole Spins Super-Fast. Harvard Smithsonian Center for Astrophysics
36. Ignazio Ciufolini: Dragging of inertial frames. doi:10.1038/nature06071.
37. NuSTAR Sees Rare Blurring of Black Hole Light. NASA
38. Jeremy Hsu: Black Holes Spin Near Speed of Light.
39. James Bardeen: Rotating Black Holes: LNRFs. In: The Astrophysical Journal. 1. Dez. 1972, bibcode:1972ApJ...178..347B. Gleichungen (2.9), (PDF) (3.2), (PDF) (3.9), (PDF) Abschnitt III. (PDF)
40. Brandon Carter: Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields. In: Physical Review. Band 174, Nr. 5, 25. Oktober 1968.
41. Andrei V. Frolov, Valeri P. Frolov: Rigidly rotating zero-angular-momentum observer surfaces in the Kerr spacetime. In: Physical Review D. 90, Nr. 12, 2014, S. 124010. arxiv:1408.6316. bibcode:2014PhRvD..90l4010F. doi:10.1103/PhysRevD.90.124010.
42. Hakan Cebeci, Nülifer Özdemir: Motion of the charged test particles in Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime and analytical solutions. (PDF; 959 kB)
43. Janna Levin, Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits. (PDF; 2,6 MB) S. 32 ff., arxiv:0802.0459.
44. Steven Fuerst, Kinwah Wu: Radiation Transfer of Emission Lines in Curved Space-Time. (PDF; 375 kB) S. 4 ff., arxiv:astro-ph/0406401
45. Andreas Müller: Lexikon der Astronomie, Abschnitt ZAMO. u. Abschnitt Tetrad.
46. Edward Teo: Spherical Photon Orbits Around A Kerr Black Hole.
47. Stein Leo: Kerr Spherical Photon Orbits.