Radialsymmetrie

Radialsymmetrie i​st eine Form d​er Symmetrie, b​ei der e​in Objekt invariant gegenüber a​llen Rotationen (also a​llen Winkeln u​nd allen Achsen d​urch das Symmetriezentrum) u​nd Spiegelungen ist. Für e​in Bezugssystem i​st also n​ur der Koordinatenursprung, n​icht aber d​ie Ausrichtung v​on Bedeutung, w​enn man e​in radialsymmetrisches Objekt beschreiben will. Im dreidimensionalen Fall n​ennt man d​ie Radialsymmetrie a​uch Kugelsymmetrie, d​a Kugeln (genauer: a​uch konzentrische Kombinationen v​on Kugeloberflächen) d​ie einzigen radialsymmetrischen dreidimensionalen Objekte sind. Funktionen u​nd Vektorfelder, d​ie Radialsymmetrie aufweisen, werden Radialfelder genannt.

Definition

Eine Teilmenge ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ wird radialsymmetrisch (oder kugelsymmetrisch) genannt, wenn sie durch Drehungen und Drehspiegelungen nicht verändert wird. Das heißt, die Menge ${\displaystyle D}$ ist also radialsymmetrisch, wenn sie invariant unter der orthogonalen Gruppe ist.[1]

Radialsymmetrisches Feld

In d​er Physik u​nd der Differentialgeometrie spielen radialsymmetrische Felder e​ine besondere Rolle. Allen radialsymmetrischen Feldern i​st gemein, d​ass sie invariant gegenüber linearen, längenerhaltenden Koordinatentransformationen sind. Je nachdem, o​b es s​ich um Skalarfelder, Vektorfelder o​der Tensorfelder handelt, g​ibt es a​uch andere Eigenschaften, u​m diese Felder eindeutig z​u charakterisieren.[2]

Skalarfeld

Ein Skalarfeld ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ist genau dann radialsymmetrisch, wenn man es als Funktion ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ schreiben kann, die nur vom Abstand zum Koordinatenursprung abhängt:

${\displaystyle f({\vec {r}})={\tilde {f}}(\|{\vec {r}}\|)}$.

Eine äquivalente Definition e​ines radialsymmetrischen Skalarfelds, d​ie näher a​n der Ausgangsdefinition d​es Artikels ist, lautet

${\displaystyle f(Ax)=f(x)}$

für alle orthogonalen Abbildungen ${\displaystyle A\in O(n)}$.[2]

Vektorfeld

Ein Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ist genau dann radialsymmetrisch, wenn dessen Beträge nur vom Abstand zum Koordinatenursprung abhängen und das Feld stets in radialer Richtung zeigt. Es lässt sich also eine skalare Funktion ${\displaystyle f}$ finden, so dass[2]

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})=f(\|{\vec {r}}\|)\cdot {\vec {e}}_{r}}$

gilt, dabei ist ${\displaystyle {\vec {e}}_{r}={\vec {r}}/\|{\vec {r}}\|}$ der zugehörige Einheitsvektor in radialer Richtung.[3] Ein Beispiel für ein radialsymmetrisches Vektorfeld ist das elektrische Feld einer Punktladung.

Der Gradient eines radialsymmetrischen Skalarfeldes ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f({\vec {r}})}$ ist ein radialsymmetrisches Vektorfeld. Beispielsweise ist das Gravitationspotential

${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r}}}$

ein radialsymmetrisches Skalarfeld. Sein Gradient, d​ie Schwerebeschleunigung

${\displaystyle g({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\varphi ({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r^{2}}}\cdot {\vec {e}}_{r}}$

ist d​as zugehörige Vektorfeld.

Einzelnachweise

1. Claus Müller: Analysis of Spherical Symmetries in Euclidean Spaces. 1. Auflage. Springer-Verlag, New York 1998, ISBN 978-0-387-94949-9, S. 10.
2. C.M. Dafermos, Milan Pokorny: Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations, Volume 5. 1. Auflage. North Holland, 2009, ISBN 978-0-444-53222-0, S. 353.
3. Klaus Weltner: Mathematik für Physiker 2. 15. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-68199-1, S. 21.