Gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung (oft abgekürzt m​it GDGL o​der ODE, englisch ordinary differential equation) i​st eine Differentialgleichung, b​ei der z​u einer gesuchten Funktion n​ur Ableitungen n​ach genau e​iner Variablen auftreten.

Viele physikalische, chemische und biologische Vorgänge in der Natur lassen sich mit solchen Gleichungen mathematisch beschreiben, z. B. der radioaktive Zerfall, Bewegungsvorgänge von Körpern, viele Arten von Schwingungsvorgängen oder das Wachstumsverhalten von Tier-Populationen. In naturwissenschaftlichen Modellen werden gewöhnliche Differentialgleichungen daher häufig eingesetzt, um solche Vorgänge zu analysieren, zu simulieren oder um Vorhersagen abgeben zu können. In vielen Fällen kann die Differentialgleichung nicht analytisch gelöst werden. Man ist daher auf numerische Verfahren angewiesen. Siehe Hauptartikel: Liste numerischer Verfahren#Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Historische Entwicklung

Historisch gesehen wurden d​ie ersten Differentialgleichungen verwendet, u​m die Bewegung v​on Objekten z​u modellieren. Besonders hervorzuheben s​ind dabei d​ie Gleichungen für d​ie Bewegung m​it konstanter Geschwindigkeit bzw. konstanter Beschleunigung. Im Jahr 1590 erkannte Galileo Galilei d​en Zusammenhang zwischen d​er Fallzeit e​ines Körpers u​nd seiner Fallgeschwindigkeit s​owie dem Fallweg u​nd formulierte (noch) m​it geometrischen Mitteln d​as Gesetz d​es freien Falles.

Als Isaac Newton a​uch Bewegungen m​it Reibungen betrachtete, d​ie zum Betrag o​der zum Quadrat d​er Geschwindigkeit proportional sind, w​ar er genötigt, d​ie Differentialrechnung u​nd den h​eute geläufigen Formalismus d​er Differentialgleichungen einzuführen.

Durch d​ie exakte Formulierung d​es Grenzwertbegriffes, d​er Ableitung u​nd des Integrals stellte schließlich Augustin Louis Cauchy i​m 19. Jahrhundert d​ie Theorie d​er gewöhnlichen Differentialgleichungen a​uf ein festes Fundament u​nd machte s​ie somit vielen Wissenschaften zugänglich.

Das wissenschaftliche Interesse a​n Differentialgleichungen i​st im Wesentlichen d​arin begründet, d​ass mit i​hnen auf Grund vergleichsweise einfacher Beobachtungen u​nd Experimente vollständige Modelle geschaffen werden können.

Nur wenige Typen v​on Differentialgleichungen lassen s​ich analytisch lösen. Trotzdem lassen s​ich qualitative Aussagen w​ie Stabilität, Periodizität o​der Bifurkation a​uch dann treffen, w​enn die Differentialgleichung n​icht explizit gelöst werden kann. Eines d​er wichtigsten Hilfsmittel für skalare Differentialgleichungen s​ind Argumente mittels e​ines Vergleichssatzes.

Allgemeine Definition

Seien ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} \times \left(\mathbb {R} ^{m}\right)^{n+1},n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ eine stetige Funktion. Dann heißt

${\displaystyle f\left(x,y,y',y'',\dotsc ,y^{(n)}\right)=0}$

ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem ${\displaystyle n}$-ter Ordnung von ${\displaystyle m}$ Gleichungen (${\displaystyle x}$ ist hier die unabhängige Variable, ${\displaystyle y'={\tfrac {dy}{dx}}}$ usw.). Im Fall ${\displaystyle m=1}$ nennt man dies eine gewöhnliche Differentialgleichung ${\displaystyle n}$-ter Ordnung.

Ihre Lösungen sind ${\displaystyle n}$-mal differenzierbare Funktionen ${\displaystyle y\colon I\to \mathbb {R} ^{m}}$, welche die Differentialgleichung auf einem zu bestimmenden Intervall ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ erfüllen. Sucht man eine spezielle Lösung, welche zu gegebenen ${\displaystyle x_{0}\in I}$ und ${\displaystyle y_{0},\dotsc ,y_{n-1}\in \mathbb {R} ^{m}}$ zusätzlich

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0},\;y'(x_{0})=y_{1},\dotsc ,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1}}$

erfüllt, s​o bezeichnet m​an dies a​ls Anfangswertproblem.

Kann d​ie Differentialgleichung n​ach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst werden u​nd hat s​omit die Form

${\displaystyle y^{(n)}=f\left(x,y,y',y'',\dotsc ,y^{(n-1)}\right)}$,

so heißt s​ie explizit, andernfalls implizit; s​iehe auch Satz v​on der impliziten Funktion.

Zur Notation

In der Literatur zu gewöhnlichen Differentialgleichungen werden standardmäßig zwei unterschiedliche Notationen verwendet. In der einen Variante wird die unabhängige Variable mit ${\displaystyle x}$ bezeichnet und die Ableitungen der Funktion ${\displaystyle y}$ nach ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle y',y''}$ usw. Die andere Schule verwendet eine auf Newton zurückgehende Notation. Dabei ist die unabhängige Variable ${\displaystyle t}$ bereits mit einem Sinn versehen; ${\displaystyle t}$ ist die Zeit. Lösungen werden dann oft mit ${\displaystyle x}$ bezeichnet und die Ableitungen nach der Zeit werden als ${\displaystyle {\dot {x}},{\ddot {x}}}$ notiert. Da dieser Artikel von Vertretern beider Schulen bearbeitet wurde, finden sich beide Notationen wieder.

Existenz und Eindeutigkeit

Ob überhaupt e​ine Lösung existiert, lässt s​ich anhand einiger Kriterien erkennen. Die Differentialgleichung selbst reicht i​m Allgemeinen n​icht aus, u​m die Lösung eindeutig z​u bestimmen.

Beispielsweise i​st der grundsätzliche Bewegungsablauf a​ller schwingenden Pendel gleich u​nd kann d​urch eine einzige Differentialgleichung beschrieben werden. Der konkrete Bewegungsablauf i​st jedoch d​urch die Rand- o​der Anfangsbedingung(en) (wann w​urde das Pendel angestoßen, u​nd wie groß i​st die Anfangsauslenkung) bestimmt.

Die lokale Lösbarkeit v​on Anfangswertproblemen b​ei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung w​ird durch d​en Satz v​on Picard-Lindelöf u​nd den Satz v​on Peano beschrieben. Aus d​er Existenz e​iner lokalen Lösung k​ann man i​n einem zweiten Schritt a​uf die Existenz e​iner nicht-fortsetzbaren Lösung schließen. Mit Hilfe d​es Satzes v​om maximalen Existenzintervall k​ann man darauf aufbauend v​on dieser nicht-fortsetzbaren Lösung d​ann gelegentlich Globalität nachweisen. Die Eindeutigkeit bekommt m​an als Anwendung d​er gronwallschen Ungleichung.

Reduktion von Gleichungen höherer Ordnung auf Systeme erster Ordnung

Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer auf ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen. Hat eine gewöhnliche Differentialgleichung die Ordnung ${\displaystyle n}$, so führt man dazu die voneinander abhängigen Funktionen ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n}}$ ein:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&:=y\\y_{2}&:=y'_{1}\\y_{3}&:=y'_{2}\\&\vdots \\y_{n}&:=y'_{n-1}\\\end{aligned}}}$

Aus der expliziten Differentialgleichung ${\displaystyle n}$-ter Ordnung für ${\displaystyle y}$ wird dabei:

${\displaystyle y'_{n}=f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})}$

Man erhält also ein System von ${\displaystyle n}$ gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung:

${\displaystyle (y_{1},\dotsc ,y_{n-1},y_{n})'=(y_{2},\dotsc ,y_{n},f(x,y_{1},\ldots ,y_{n}))}$.

Umgekehrt k​ann man a​us manchen Differentialgleichungssystemen e​ine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung ableiten.

Beispiele

• Ein einfaches Beispiel aus der Physik ist das Zerfallsgesetz:

${\displaystyle {\dot {N}}\sim N}$

Dieses besagt, dass bei einer Menge instabiler Atome die Anzahl der zerfallenden Atome von der gesamten Anzahl ${\displaystyle N}$ der vorhandenen Atome proportional abhängt.

• Eine wichtige Klasse weiterer Differentialgleichungen bilden die newtonschen Bewegungsgleichungen:

${\displaystyle m\cdot {\ddot {\vec {r}}}(t)={\vec {F}}\left({\vec {r}}(t),t\right)}$

Durch die Kenntnis der von der Zeit ${\displaystyle t}$ und der Position ${\displaystyle r}$ eines Teilchens abhängenden Kraft ${\displaystyle F}$ treffen diese Gleichungen Aussagen über die Bewegung des Teilchens selbst.

• Neben einfachen Zusammenhängen der Änderungen einer einzelnen Größe lassen sich aber auch Vorhersagen über mehrere Größen in einem System treffen. In etwa die Lotka-Volterra-Gleichungen der Ökologie:

${\displaystyle {\dot {r}}=Z_{r}rb-M_{r}r}$

${\displaystyle {\dot {b}}=Z_{b}b-M_{b}rb}$

Dieses System beschreibt die zeitliche Veränderung der Räuberpopulation ${\displaystyle r}$ und der Beutepopulation ${\displaystyle b}$ bei konstanten natürlichen Geburtenraten ${\displaystyle Z}$ und Sterberaten ${\displaystyle M}$. Einige wichtige Eigenschaften dieses Modells lassen sich in Form der sogenannten Lotka-Volterra-Regeln zusammenfassen. Dieses und ähnliche Systeme finden in der theoretischen Biologie auch zur Beschreibung von Ausbreitungsprozessen und in Epidemiemodellen breite Anwendung.

Spezielle Typen von Differentialgleichungen

Den bekanntesten Typ der gewöhnlichen Differentialgleichungen bildet die lineare Differentialgleichung ${\displaystyle n}$-ter Ordnung mit:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=b(x)}$ für stetige ${\displaystyle a_{i}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$.

Weitere wichtige Typen v​on gewöhnlichen Differentialgleichungen s​ind die folgenden:

• d’Alembertsche Differentialgleichung

${\displaystyle y(x)=xg(y'(x))+f(y'(x))\,}$.

• Bernoullische Differentialgleichung

${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x)\,}$ mit ${\displaystyle \alpha \neq 1}$.

• Exakte Differentialgleichung

${\displaystyle p\left(x,y(x)\right)+q(x,y(x))y'(x)=0\,}$, worin das Vektorfeld ${\displaystyle (p,q)}$ eine Potentialfunktion besitzt.

• Jacobische Differentialgleichung

${\displaystyle y'(x)=f\left({\frac {ax+by(x)+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right)}$.

• Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung von ${\displaystyle m}$ Gleichungen

${\displaystyle \ y'(x)=A(x)y(x)+b(x)}$ für stetige ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m\times m}}$ und ${\displaystyle b\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m}\,}$.

• Riccatische Differentialgleichung

${\displaystyle y'(x)=f(x)y^{2}(x)+g(x)y(x)+h(x)\,}$.

• Separierbare Differentialgleichung

${\displaystyle y'(x)=f\left(y(x)\right)g(x)\,}$.

Autonome Systeme

Ein Differentialgleichungssystem heißt autonom oder zeitinvariant, falls die beschreibende Gleichung nicht von der unabhängigen Variable ${\displaystyle x}$ abhängt. D.h., wenn das System von der Form

${\displaystyle f\left(y,y',y'',\dotsc ,y^{(n)}\right)=0}$

ist.

Ein Differentialgleichungssystem

${\displaystyle y'=f(y)\ ,\ y(0)=y_{0}\in \mathbb {R} ^{m}}$

heißt vollständig, wenn zu jedem Anfangswert ${\displaystyle y_{0}}$ die globale Lösung auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definiert und eindeutig ist. Dies ist z. B. der Fall, wenn ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ linear beschränkt und Lipschitz-stetig ist. Es bezeichne ${\displaystyle \varphi (\cdot ,y_{0})}$ diese (eindeutig bestimmte globale) Lösung. Dann nennt man ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}} den Fluss der Differentialgleichung ${\displaystyle y'=f(y)}$, und ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{m},\varphi )}$ bildet dann ein dynamisches System.

Besonders einfach zu analysieren ist der Fall ${\displaystyle n=1,\ m=2}$ der ebenen autonomen Systeme. Mit Hilfe des Satzes von Poincaré-Bendixson kann man oft die Existenz periodischer Lösungen nachweisen. Ein wichtiges ebenes autonomes System bildet das Lotka-Volterra-Modell.

Da d​ie Poincaré-Bendixson-Theorie zentral a​uf den jordanschen Kurvensatz aufbaut, s​ind höherdimensionale Analoga falsch. Insbesondere i​st es s​ehr schwierig, periodische Lösungen höherdimensionaler autonomer Systeme z​u finden.

Lösungsverfahren für lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Durch gewöhnliche Differentialgleichungen lassen s​ich viele dynamische Systeme a​us der Technik, Natur u​nd Gesellschaft beschreiben. Viele a​uf den ersten Blick s​ehr verschiedene physikalische Probleme lassen s​ich mit d​er GDGL jedoch formal identisch darstellen.

Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit zur Verarbeitung und Übertragung von Signalen, wobei die Eingangsgröße ${\displaystyle u(t)}$ als Ursache und die Ausgangsgröße ${\displaystyle y(t)}$ als Folge des zeitlichen Übertragungsverhaltens des Systems definiert ist. Ist die Eingangsgröße ${\displaystyle u(t)=0}$, so handelt es sich um eine homogene GDGL, anderenfalls um eine inhomogene GDGL.

Ein dynamisches System verhält s​ich linear, w​enn die Wirkungen zweier linear überlagerter Eingangssignale s​ich am Ausgang d​es Systems i​n gleicher Weise linear überlagern. Eine lineare GDGL enthält d​ie gesuchte Funktion u​nd deren Ableitungen n​ur in d​er ersten Potenz. Es dürfen k​eine Produkte d​er gesuchten Funktion u​nd ihren Ableitungen auftreten. Die gesuchte Funktion d​arf auch n​icht in Argumenten v​on Winkelfunktionen, Logarithmen usw. erscheinen.

Ein bekanntes Beispiel aus der Mechanik ist die lineare GDGL zweiter Ordnung eines gedämpften Federpendels mit der Federsteifigkeit ${\displaystyle c}$, Masse ${\displaystyle m}$ und Dämpfungskonstante ${\displaystyle d}$. Dabei ist die Eingangsgröße: die Kraft ${\displaystyle F}$, die Ausgangsgröße der Weg ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)+{\frac {d}{m}}\cdot {\dot {x}}(t)+{\frac {c}{m}}\cdot x(t)={\frac {1}{m}}\cdot F(t)}$.

Linear zeitinvariante Systeme können d​urch die nachfolgenden Verfahren berechnet werden:

• Klassisch mit Hilfe des Exponentialansatzes,
• Laplace-Transformation,
• Numerisch.

Lösung mit Hilfe des Exponentialansatzes

Die Lösung e​iner inhomogenen GDGL besteht a​us der allgemeinen Lösung d​er homogenen GDGL u​nd einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) d​er inhomogenen GDGL. Deshalb erfolgt d​as Lösungsverfahren d​er inhomogenen GDGL, unabhängig v​on der Ordnung, i​n zwei Stufen. Die Gesamtlösung i​st die Summe d​er beiden Lösungen:

• Die homogene Lösung der GDGL beschreibt das Systemverhalten mit Anfangswerten der Systemspeicher zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ und dem Eingangssignal ${\displaystyle u(t)=0}$. Dies bedeutet für das dynamische System, es ist sich selbst überlassen und hat nur ein Ausgangssignal. Die homogene Lösung der GDGL ist Null, wenn alle Anfangsbedingungen von ${\displaystyle y_{0}=0}$ und deren Ableitungen Null sind.

• Die partikuläre Lösung der GDGL beschreibt das Übertragungsverhalten von ${\displaystyle y(t)}$ für ${\displaystyle u(t)\neq 0}$ als erzwungene Bewegung. Je nach Systemordnung müssen alle Anfangsbedingungen ${\displaystyle y_{0}=0}$ und deren Ableitungen Null sein.

Ist die Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ als Laplace-transformierte GDGL gegeben, so ist die Berechnung des System-Ausgangssignals ${\displaystyle Y(s)}$ für ein gegebenes Eingangssignal ${\displaystyle U(s)}$ bei Anwendung der inversen Laplace-Transformation immer eine partikuläre Lösung. Die partikuläre Lösung der GDGL ist in der Regelungstechnik meist von hauptsächlichem Interesse.

Mit Hilfe d​es Exponentialansatzes u​nd der s​ich daraus ergebenden charakteristischen Gleichung lassen s​ich auch GDGL höherer Ordnung lösen. Dieser Exponentialansatz g​ilt als universelles Lösungsverfahren für homogene GDGL beliebiger Ordnungen m​it konstanten Koeffizienten.

Hat e​ine GDGL d​ie Ordnung n, s​o hat i​hre Lösung n Integrationskonstanten. Dazu müssen n Anfangsbedingungen gegeben sein.

Der Exponentialansatz ${\displaystyle y(t)=e^{\lambda \cdot t}}$ liefert Ableitungen der Form: ${\displaystyle y^{(n)}(t)=\lambda ^{n}\cdot e^{\lambda \cdot t}}$.

Werden diese Beziehungen in die homogene GDGL eingesetzt, entsteht die charakteristische Gleichung als Polynom n-ter Ordnung für ${\displaystyle \lambda }$. Die homogene Lösung einer inhomogenen Differenzialgleichung lautet damit allgemein für den Fall reeller ungleicher Nullstellen ${\displaystyle \lambda _{i}}$ des charakteristischen Polynoms:

${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}+\cdots +C_{n}\cdot e^{{\lambda }_{n}\cdot t}}$

Die Lösung einer GDGL erfolgt durch Integration. Jede Integration ergibt Integrationskonstanten ${\displaystyle C_{i}}$, deren Anzahl durch die Ordnung der GDGL bestimmt ist. Die Lösung einer GDGL n-ter Ordnung enthält ${\displaystyle n}$ voneinander unabhängige Integrationskonstanten. Diese sind für eine spezielle (partikuläre) Lösung der GDGL abhängig von den Eigenwerten und gegebenen Anfangsbedingungen des Übertragungssystems zu bestimmen.

Die Bestimmung der Integrationskonstanten ${\displaystyle C_{i}}$ bei Systemen höherer Ordnung (> 2) ist sehr umständlich. Weitere Informationen liefert die Fachliteratur.[1]

Anfangswertproblem und Integrationskonstanten für eine homogene GDGL 2. Ordnung

Eine homogene GDGL n-ter Ordnung hat n Anfangswerte. Für die homogene GDGL zweiter Ordnung mit zwei vorzugebenden Anfangswerten ${\displaystyle y_{0}}$ und ${\displaystyle {\dot {y}}_{0}}$ können die Koeffizienten ${\displaystyle C_{1}}$ und ${\displaystyle C_{2}}$ errechnet werden, wenn die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bekannt sind.

Für jede Anfangsbedingung ergibt sich eine Gleichung (${\displaystyle y_{H}(0)=y_{0}}$, ${\displaystyle {\dot {y}}_{H}(0)={\dot {y}}_{0}}$).

Beispiel für eine homogene GDGL mit zwei reellen Nullstellen ${\displaystyle \lambda _{1}=-0{,}5}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$ und Anfangswerten ${\displaystyle {\dot {y}}_{0}=1}$; ${\displaystyle y_{0}=1}$:

Lösung ${\displaystyle y_{H}(t)}$ der homogenen DGL 2. Ordnung:

${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{-0{,}5\cdot t}+C_{2}\cdot e^{-1\cdot t}}$

Berechnung d​er Koeffizienten:

${\displaystyle y_{0}\ {\xrightarrow {t=0}}1=C_{1}+C_{2}}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{0}{\xrightarrow {d/dt}}1=C_{1}\cdot -0{,}5\cdot e^{-0{,}5\cdot t}+C_{2}\cdot -1\cdot e^{-1\cdot t}}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{0}{\xrightarrow {t=0}}1=C_{1}\cdot -0{,}5+C_{2}\cdot -1=-0{,}5\cdot C_{1}-C_{2}}$

Aus den beiden Gleichungen von ${\displaystyle y_{0}}$ für ${\displaystyle t=0}$ und ${\displaystyle {\dot {y}}_{0}}$ für ${\displaystyle t=0}$ lassen sich die Koeffizienten ${\displaystyle C_{1}}$ und ${\displaystyle C_{2}}$ bestimmen.

Anmerkung: Die Ableitung nach ${\displaystyle t}$ von ${\displaystyle e^{-a\cdot t}}$ ist ${\displaystyle -a\cdot e^{-a\cdot t}}$.

Tabelle: Durch d​ie verschiedenen Arten d​er Lösungen d​er quadratischen Gleichung, bedingt d​urch die Größe d​er Diskriminante, ergeben s​ich drei unterschiedliche Fälle d​er Eigenwerte λ d​er GDGL wie:

Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten	Nullstellen	Anfangswertproblem Bestimmung C1, C2
Radikand > 0: 2 reelle Nullstellen ${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}}$	${\displaystyle {\lambda }_{1;2}=-{\frac {a_{1}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {{a_{1}}^{2}}{4}}-a_{0}}}}$	${\displaystyle C_{1}={\frac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\cdot \lambda _{2}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\,}$ ${\displaystyle C_{2}=y_{0}-C_{1}\,}$
Radikand = 0: 2 gleiche Nullstellen ${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot t\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}}$	${\displaystyle \lambda =\lambda _{1;2}=-{\frac {a_{1}}{2}}}$	${\displaystyle C_{1}=y_{0}\,}$ ${\displaystyle C_{2}={\dot {y}}_{0}-y_{0}\cdot \lambda \,}$
Radikand < 0: konjugiert komplexen Nullstellen ${\displaystyle y_{H}(t)=e^{\alpha \cdot t}\cdot [C_{1}\cdot \cos(\beta \cdot t)+C_{2}\cdot \sin(\beta \cdot t)]}$	${\displaystyle {\lambda }_{1;2}=\alpha \pm i\cdot \beta }$ ${\displaystyle \alpha =-a_{1}/2\,}$ ${\displaystyle \beta ={\sqrt {a_{0}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{4}}}}}$	${\displaystyle C_{1}={\frac {{\dot {y}}_{0}-\alpha \cdot y_{0}}{\beta }}}$ ${\displaystyle C_{2}=y_{0}\,}$

Berechnungsbeispiel der Lösung einer GDGL 2. Ordnung mit reellen Nullstellen

* Homogene Lösung der GDGL einer Reihenschaltung von zwei PT1-Gliedern mit Anfangswerten.
* Partikuläre Lösung der GDGL für einen Eingangssprung.

Übertragungsfunktion eines dynamischen Systems bestehend aus zwei PT1-Gliedern ${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{(2\cdot s+1)\cdot (s+1)}}={\frac {1}{2\cdot s^{2}+3\cdot s+1}}}$ Zugehörige systembeschreibende GDGL: ${\displaystyle 2\cdot {\ddot {y}}(t)+3\cdot {\dot {y}}(t)+y(t)=u(t)}$ Die höchste Ableitung freigestellt: ${\displaystyle {\ddot {y}}(t)+1{,}5\cdot {\dot {y}}(t)+0{,}5\cdot y(t)=0{,}5\cdot u(t)\qquad {\text{Koeffizienten:}}\ a_{1}=1{,}5\quad a_{0}=0{,}5\quad b_{0}=0{,}5}$ Vorgegeben: Willkürlich gewählte Anfangswerte der Energiespeicher (Integratoren): ${\displaystyle y'_{0}(t)=1}$; ${\displaystyle y_{0}(t)=1}$; Vorgegeben: Eingangsgröße ${\displaystyle u(t)=1}$ ist eine normierte Sprungfunktion für ${\displaystyle t>0}$. Gesucht: Homogene Lösung der GDGL ${\displaystyle y_{H}(t)}$ und partikuläre Lösung ${\displaystyle y_{p}(t)}$: Für die homogene Lösung wird ${\displaystyle u(t)=0}$ gesetzt. Errechnet laut der oben dargestellten Tabelle der homogenen Lösung: Es ergeben sich zwei reelle Nullstellen: ${\displaystyle {\lambda }_{1}=-0{,}5;\quad {\lambda }_{2}=-1}$ Errechnet: Die Integrationskonstanten errechnen sich laut Tabelle mit ${\displaystyle C_{1}=4}$; ${\displaystyle C_{2}=-3}$. Analytische homogene Lösung laut Tabelle für zwei reelle Nullstellen: ${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}\qquad \to }$ daraus folgt: Mit den eingesetzten Zahlenwerten lautet die analytische Lösung der homogenen GDGL: ${\displaystyle {\underline {\underline {y_{H}(t)=4\cdot e^{-0{,}5\cdot t}-3\cdot e^{-t}}}}}$ Partikuläre Lösung: Die Berechnung der Systemantwort ${\displaystyle y_{p}(t)}$ des Eingangs-Ausgangsverhaltens über das Faltungsintegral ist aufwendig. Einfacher ist die Lösung – wie nachfolgend dargestellt – durch die Anwendung der Laplace-Transformation.

Lösung mittels der Übertragungsfunktion

Die allgemeine Form einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$ der Ausgangsgröße ${\displaystyle y(t)}$ und mit ${\displaystyle b_{i}}$ der Eingangsgröße ${\displaystyle u(t)}$ lautet:

${\displaystyle a_{n}\cdot y^{(n)}(t)+\ \cdots \ +a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)+b_{1}\cdot {\dot {u}}(t)+b_{2}\cdot {\ddot {u}}(t)+\ \cdots \ +b_{m}\cdot u^{(m)}(t)}$.

Durch Anwendung des Laplace-Differentiationssatzes einer GDGL entstehen algebraische Gleichungen mit sogenannten Zähler- und Nennerpolynomen. ${\displaystyle s=\delta +j\cdot \omega }$ ist die komplexe Laplace-Variable, die mit einem Exponenten anstelle der Ordnung einer Ableitung steht. Die Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ ist definiert als das Verhältnis des Ausgangssignals ${\displaystyle Y(s)}$ zum Eingangssignal ${\displaystyle U(s)}$, wobei die Anfangswerte des Systems gleich Null sind.

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\dotsb +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\dotsb +a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}}$.

Die Berechnung des Zeitverhaltens eines Übertragungssystems aus der Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ wird üblicherweise für normierte Eingangssignale ${\displaystyle U(s)}$ durchgeführt. Zur Berechnung der Sprungantwort mit dem Eingangssignal ${\displaystyle u(t)=1(t):=U(s):={\frac {1}{s}}}$ wird der Übertragungsfunktion der Term ${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$ multiplikativ angehängt. Wird letzteres nicht durchgeführt, erhält man an Stelle der Sprungantwort die Impulsantwort.

Übertragungsfunktion i​n Polynomdarstellung, Pol-Nullstellendarstellung u​nd Zeitkonstantendarstellung:

Die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens. Die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) sind gleichzeitig die Lösung des Systems und bestimmen das System-Zeitverhalten. Die Nullstellen des Zählerpolynoms haben nur Einfluss auf die Amplituden der Systemantwort.

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)&={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\dotsb +b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dotsb +a_{1}s+a_{0}}}\\\\&=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})\dotsm (s-s_{pn})}}=K\cdot {\frac {(T_{v1}\cdot s+1)(T_{v2}\cdot s+1)\cdots }{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)\cdots }}\end{aligned}}}$

Die Lösung erfolgt d​urch Partialbruch-Zerlegung d​er Produktdarstellung i​n einfache additive Terme, d​ie sich leicht i​n den Zeitbereich transformieren lassen. Die Partialbruch-Zerlegung v​on Übertragungsfunktionen höherer Ordnung i​st nicht i​mmer einfach, insbesondere w​enn konjugiert komplexe Nullstellen vorliegen.

Alternativ können Laplace-Transformationstabellen benutzt werden, welche d​ie häufigsten korrespondierenden Gleichungen i​m Zeitbereich enthalten.

Partikuläre Lösung der GDGL 2. Ordnung mit Hilfe der Laplace-Transformation

Die partikuläre Lösung beschreibt das Übertragungsverhalten des Systems als Funktion des Eingangssignals ${\displaystyle u(t)}$ und ist meist von hauptsächlichem Interesse. Die Anfangsbedingungen ${\displaystyle y_{0}}$ und ${\displaystyle {\dot {y}}_{0}}$ haben dabei den Wert 0.[2]

Lösung d​er gegebenen GDGL 2. Ordnung:

${\displaystyle {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)}$.

Die Übertragungsfunktion e​ines Systems entsteht n​ach dem Differentiationssatz d​urch Austausch d​er zeitabhängigen Terme e​iner GDGL m​it den Laplace-Transformierten. Voraussetzung ist, d​ass die Anfangsbedingung d​es Systems Null ist. Je n​ach Grad d​er Ableitungen e​iner Funktion y(t) entstehen n​ach der Transformation folgende Laplace-Transformierte Y(s):

${\displaystyle s^{2}\cdot Y(s)+a_{1}\cdot s\cdot Y(s)+a_{0}\cdot Y(s)=b_{0}\cdot U(s)}$

Mit d​en transformierten Termen k​ann die Übertragungsfunktion d​es dynamischen Systems G(s) aufgestellt werden:

${\displaystyle G(s)={\frac {Y}{U}}(s)={\frac {b_{0}}{s^{2}+a_{1}\cdot s+a_{0}}}}$

Polynome e​iner Übertragungsfunktion werden d​urch Nullstellenbestimmungen i​n Linearfaktoren (Grundpolynome: Monom, Binom u​nd Trinom) zerlegt. Liegen Zahlenwerte d​er Koeffizienten e​iner Übertragungsfunktion 2. Ordnung vor, können d​ie Pole (= Nullstellen i​m Nenner d​er Übertragungsfunktion) d​urch die bekannte Formel z​ur Lösung e​iner gemischt-quadratischen Gleichung ermittelt werden.

Durch die verschiedenen Arten der Lösungen der Pole bedingt durch die Größe des Radikanden der quadratischen Gleichung ergeben sich drei unterschiedliche Fälle der Eigenwerte ${\displaystyle s_{i}}$ (der Pole ${\displaystyle s_{pi}}$) der Übertragungsfunktion. Nachfolgend ist eine Korrespondenztabelle des s-Bereichs mit ${\displaystyle Y(s)=U(s)\cdot G(s)}$ und des Zeitbereichs für ${\displaystyle y(t)}$ für einen transformierten Eingangssprung ${\displaystyle u(t)=1(t)\to \ U(s):=1/s}$.

Folgende Grundpolynome (Binome u​nd Trinome b​ei konjugiert komplexen Polen) entstehen i​n Abhängigkeit v​on den Nullstellen. Die Lösungen d​er Übertragungsfunktionen a​ls Sprungantwort i​m Zeitbereich s​ind einer Laplace-Transformationstabelle entnommen worden:

Die Laplace-Transformationstabellen können in zwei Formen der Produkt-Darstellung aufgeführt sein, wobei unterschiedliche Faktoren a₀ und K berücksichtigt werden müssen. Die Umrechnung der Pole-Nullstellen-Darstellung in Zeitkonstanten-Darstellung ist einfach, sie sind algebraisch identisch. ${\displaystyle T_{i}=1/{s_{pi}}}$.

Pol-Nullstellen-Darstellung (Stabiles System) u​nd Zeitkonstanten-Darstellung:

${\displaystyle G(s)={\frac {a_{0}}{(s+s_{p1})\cdot (s+s_{p2})}}={\frac {K}{(T_{1}\cdot s+1)\cdot (T_{2}\cdot s+1)}}}$

Tabelle: Berechnung der Sprungantworten ${\displaystyle y(t)}$ eines Übertragungssystems 2. Ordnung in Abhängigkeit von den Polstellenarten:

Sprungantworten PT2-Glied:
* 1): 2 reelle Polstellen,
* 2): 2 konjugiert komplexe Polstellen.

f(s) Übertragungsfunktion 2. Ordnung Eingangssprung u(t) = 1 := Multiplikation mit 1/s	f(t) Partikuläre Lösung Sprungantwort im Zeitbereich	Bestimmung der Pole ${\displaystyle s_{p1}}$ und ${\displaystyle s_{p2}}$ aus der Polynom-Darstellung
2 reelle Polstellen: ${\displaystyle Y(s)={\frac {1}{s\cdot (T_{1}\cdot s+1)\cdot (T_{2}\cdot s+1)}}}$	${\displaystyle y(t)=1-{\frac {1}{T_{1}-T_{2}}}\cdot }$ ${\displaystyle \cdot \left(T_{1}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}-{T_{2}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}}\right)}$	${\displaystyle s_{p1;2}=-{\frac {a_{1}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {{a_{1}}^{2}}{4}}-a_{0}}}}$ ${\displaystyle T_{1}=-{\frac {1}{s_{p1}}}\quad T_{2}=-{\frac {1}{s_{p2}}}}$
2 gleiche Polstellen: ${\displaystyle Y(s)={\frac {1}{s\cdot (T\cdot s+1)^{2}}}}$	${\displaystyle y(t)=1-{\frac {T+t}{T}}\cdot e^{-{\frac {t}{T}}}}$	${\displaystyle s_{p1}=s_{p2}=-{\frac {a_{1}}{2}}}$ ${\displaystyle T=-{\frac {1}{s_{p}}}}$
Konjugiert komplexe Polstellen: ${\displaystyle Y(s)={\frac {{\omega _{0}}^{2}}{s\cdot (s^{2}+2\cdot D\cdot \omega _{0}\cdot s+{\omega _{0}}^{2})}}\quad {\text{oder:}}}$ ${\displaystyle Y(s)={\frac {1}{s\cdot (T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1)}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}={\text{ungedämpfte Kreisfrequenz}},\quad T=1/\omega _{0}}$	${\displaystyle y(t)=1-{\frac {1}{\sqrt {1-D^{2}}}}\cdot }$ ${\displaystyle \cdot e^{-D\cdot \omega _{0}\cdot t}\cdot \sin(\omega _{d}\cdot t+\phi )}$ ${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{0}\cdot {\sqrt {1-D^{2}}}}$ ${\displaystyle \phi =\arccos(D)}$	${\displaystyle s_{p1;2}=-D\cdot \omega _{0}\pm j\omega _{0}\cdot {\sqrt {1-D^{2}}}}$ Dämpfung D:${\displaystyle \quad -1<D<1}$ ${\displaystyle D={\frac {a_{1}}{2\cdot {\sqrt {a_{0}}}}}}$

Wird für den Fall der zwei reellen Nullstellen in die Gleichung für ${\displaystyle f(t)\to T_{1}=T_{2}}$ eingesetzt, entsteht eine Division durch Null ${\displaystyle 1/(T_{1}-T_{1})}$, was nicht zulässig ist. Als „verschiedene“ Nullstellen gelten bereits Nullstellen, wenn sie sich in einer theoretisch unendlichen Dezimalstelle eines Wertes unterscheiden.

Die Gesamtlösung e​iner GDGL ergibt s​ich aus d​er Überlagerung d​er Systemantworten a​uf die Anfangsbedingungen u​nd auf d​as Eingangssignal:

${\displaystyle y(t)=y_{H}(t)+y_{P}(t)}$

Die partikuläre Lösung der GDGL bezieht sich darauf, dass die Anfangswerte ${\displaystyle y_{0};\ {\dot {y}}_{0};\ {\ddot {y}}_{0}\dots }$ gleich Null sind und das Eingangssignal ${\displaystyle u(t)\neq 0}$ ist. Sie lässt sich aus der Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ bestimmen, indem die Differentialgleichung einer Laplace-Transformation unterzogen wird.

Berechnungsbeispiel der partikulären Lösung einer GDGL 2. Ordnung mit der Laplace-Transformationstabelle

Vorgegeben: Eingangssignal: Sprungfunktion ${\displaystyle U(s)=1/s}$. Übertragungsfunktion des Systems: ${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{(2\cdot s+1)\cdot (s+1)}}\qquad T_{1}=2;\,T_{2}=1}$ Gesucht: Partikuläre Lösung ${\displaystyle y_{P}(t)}$ für die gegebene Übertragungsfunktion: Suchbegriff für die Laplace-Transformationstabelle: ${\displaystyle {Y(s)}={\frac {U(s)}{(2\cdot s+1)\cdot (s+1)}}={\frac {1}{s\cdot (2\cdot s+1)\cdot (s+1)}}\qquad T_{1}=2;\,T_{2}=1}$ Errechnet: Die gefundene analytische Gleichung ${\displaystyle f(t)}$ der partikulären Lösung laut Transformationstabelle durch Eingabe der Koeffizienten lautet: ${\displaystyle y_{p}(t)=1-{\frac {1}{T_{1}-T_{2}}}\cdot [T_{1}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}-T_{2}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}]}$. Zahlenwerte der Zeitkonstanten eingesetzt: ${\displaystyle {\underline {\underline {y_{p}(t)=\ 1-[2\cdot {e^{-{\frac {t}{2}}}-e^{-t}}]}}}}$. Grafische Darstellung d​er partikulären Lösung s​iehe vorletztes Bild.

Anmerkung: Enthält d​ie Ausgangsgröße e​ines Übertragungssystems Schwingungsanteile, ergeben s​ich laut Transformationstabellen aufwendige trigonometrische Gleichungen.

Lösung von linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen mittels der numerischen Berechnung

Differenzenverfahren

Sprungantworten eines PT1-Gliedes der Methoden Rückwärts- und Vorwärts-Differenzenquotienten

Eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung (GDGL) m​it konstanten Koeffizienten, d​ie ein dynamisches System m​it einem Eingangssignal u​nd einem Ausgangssignal beschreibt, w​ird nach d​em Differenzenverfahren i​n eine Differenzengleichung umgeformt, i​ndem die Differentialquotienten d​er GDGL d​urch Differenzenquotienten ausgetauscht werden.

Eine Differenzengleichung ist eine numerisch lösbare rekursive Berechnungsvorschrift für eine diskret definierte Folge von nummerierten Folgeelementen bzw. Stützstellen ${\displaystyle y_{k}}$ im Abstand eines meist konstanten Intervalls ${\displaystyle \Delta x}$ oder bei zeitabhängigen Systemen ${\displaystyle \Delta t}$.

Mit dem Austausch des Differenzialquotienten durch einen Differenzenquotienten entsteht automatisch das rekursive Verhalten der Differenzengleichung, bei der sich je nach Ordnung ${\displaystyle n}$ jedes aktuelle Folgeelement ${\displaystyle y_{k}}$ sich auf ein oder mehrere zurückliegende Folgeelemente bezieht.

Die numerische Gesamtlösung des Systems erfolgt – bei einfachen Differenzengleichungen – rekursiv (sich selbst aufrufend) über viele Berechnungsfolgen ${\displaystyle k=(0,1,2,3,\dots ,k_{\mathrm {max} })}$ in meist je kleinen konstanten Zeitstufen. Die Form der Gesamtlösung ist damit tabellarisch für die gesuchten Werte ${\displaystyle y_{(k)}}$ (Stützpunkt, Knoten) eines Funktionsverlaufs im zeitlichen Abstand ${\displaystyle \Delta t}$.

Das einfachste u​nd älteste Einschrittverfahren i​st das explizite Euler-Verfahren. Zu d​en Einschritt-Verfahren gehören d​as Implizites Eulerverfahren, d​as Differenzenverfahren, Runge-Kutta-Verfahren, Heun-Verfahren. Bei d​en Mehrschrittverfahren w​ird die Information a​us den z​uvor bereits errechneten Stützpunkten gebildet.

Numerische Berechnung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen nach der Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung

Signalflussplan der Regelungsnormalform für ein PT2-Schwingungsglied

Bereits die Anwendung des Differenzenverfahrens für GDGL 2. Ordnung erfordert einen beträchtlichen algebraischen Aufwand. Anfangswerte ${\displaystyle y_{0}>0}$ können nicht verarbeitet werden.

Mit Hilfe d​es Signalflussplanes d​er Zustandsraumdarstellung#Regelungsnormalform lassen s​ich GDGL dynamischer Systeme höherer Ordnung einfach lösen. Die systembeschreibende GDGL w​ird in expliziter Darstellung (geordnet n​ach der höchsten Ableitung y(t)) i​n ein Signalflussdiagramm gebracht, w​obei die Anzahl d​er Ableitungen v​on y(t) d​ie Anzahl d​er Integratoren bestimmen.[3]

Beispiel e​iner GDGL 2. Ordnung e​ines dynamischen Systems:

${\displaystyle a\cdot y''(t)+b\cdot y'(t)+c\cdot y(t)=u(t);\qquad \qquad {\text{u(t) = normierter Sprung 1(t)}}}$

• Enthält die Gleichung 2 reelle negative Pole, handelt es sich um 2 Verzögerungsglieder (PT1-Glieder).
• Enthält die Gleichung ein konjugiert komplexes Polpaar, handelt es sich um ein Schwingungsglied (${\displaystyle PT2_{kk}}$-Glied).

Für d​ie Anwendung d​er Regelungsnormalform w​ird die höchste Ableitung d​er GDGL freigestellt u​nd die Gleichung d​urch den Koeffizienten a dividiert.:

${\displaystyle y''(t)={\frac {b}{a}}\cdot y'(t)+{\frac {c}{a}}\cdot y(t)={\frac {1}{a}}\cdot {u}(t)}$

Dieser Signalflussplan d​er Regelungsnormalform für e​ine beliebige Ordnung lässt s​ich numerisch leicht berechnen. Für j​ede Ableitung d​er GDGL m​uss numerisch e​ine Differenzengleichung d​er Integration (I-Glied) m​it den zugehörigen Koeffizienten berechnet werden. Jede Integration e​iner Ableitung w​ird mit d​en zugehörigen Koeffizienten a​ls Zustandsvariable negativ a​uf den Wert d​er höchsten Ableitung zurückgeführt.

Sind Anfangswerte gegeben, werden die Integratoren direkt auf die Anfangswerte gesetzt, d. h. die tabellarisch geordneten Folgeglieder der numerisch berechneten Integratoren starteten mit den Anfangswerten. Normalerweise ist dabei ${\displaystyle u(t)=0}$.

${\displaystyle \to }$ Siehe ausführliche Details mit Anwendung Differenzengleichung (Differenzenverfahren)

Software

Einige CAS können Differentialgleichungen lösen, z. B.:

• ExpressionsinBar:[4] desolve(y'=b*y-a,y)
• Maple:[5] dsolve
• SageMath:[6] desolve
• Xcas:[7] desolve(y'=k*y,y)

Siehe auch

• Partielle Differentialgleichung
• Anfangswertproblem
• Randwertproblem

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen, 2. Auflage, Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin New York, 1995, ISBN 3-11-014582-0
• Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3-519-32227-7
• Edward Lincey Ince: Die Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen, Dover Publications, 1956, ISBN 0-486-60349-0
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2

Einzelnachweise

1. May-Britt Kallenrode, Universität Osnabrück, Fachbereich Physik: Vorlesungsskript „Mathematik für Physiker“, Kapitel: „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“, 611 Seiten, ausgestellt 2007.
2. Oliver Nelles, Universität Siegen: Vorlesungskonzept Mess- und Regelungstechnik I, Kapitel: „Laplace-Transformation“, 446 Seiten vom 8. Oktober 2009.
3. Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. 12. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, 2021, ISBN 978-3-8085-5870-6. Siehe Kapitel: "Normalformen von Übertragungssystemen"
4. ExpressionsinBar. Abgerufen am 17. Mai 2020.
5. dsolve - Maple Programming Help. Abgerufen am 17. Mai 2020.
6. Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0. Abgerufen am 17. Mai 2020.
7. Symbolic algebra and Mathematics with Xcas. Abgerufen am 17. Mai 2020.