Elliptisches Integral

Ein elliptisches Integral i​st ein Integral v​om Typ

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt {P(x)}}\right)\mathrm {d} x,}$

wobei ${\displaystyle R}$ eine rationale Funktion in zwei Variablen und ${\displaystyle P(x)}$ ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen s​ich im Allgemeinen n​icht durch elementare Funktionen darstellen, s​ie können a​ber durch Umformungen i​n eine Summe v​on elementaren Funktionen u​nd Integralen d​er unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter u​nd dritter Art.

I. Art: ${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$

II. Art: ${\displaystyle \int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}$

III. Art: ${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(1-nx^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}}$

Dabei ist ${\displaystyle 0<k<1.}$ Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ statt ${\displaystyle k}$ in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf ${\displaystyle m<0}$ erweitert.

Vollständige elliptische Integrale

Graph der vollständigen elliptischen Integrale ${\displaystyle K(m)}$ und ${\displaystyle E(m)}$

Definition der vollständigen elliptischen Integrale

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze ${\displaystyle \pi /2}$, spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen. Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$, das vollständige elliptische Integral III. Art zur Appell'schen hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle F_{1}(a;b_{1},b_{2};c;x,y).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&:=F({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\E(k)&:=E({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\\Pi (n,k)&:=\Pi ({\tfrac {\pi }{2}},n,k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot F_{1}({\tfrac {1}{2}};1,{\tfrac {1}{2}};1;n,k^{2})\end{aligned}}}$

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit den Parametern ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle m}$ dargestellt. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution ${\displaystyle t=\sin \vartheta }$ in die Legendre-Normalform überführen. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ in Verwendung.

Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parametern ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle m}$

	Konvention mit Parameter ${\displaystyle k}$	Konvention mit Parameter ${\displaystyle m}$
I. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle K(k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$	${\displaystyle K(m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}$
I. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle K(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$	${\displaystyle K(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}$
II. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle E(k):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle E(m):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-m\,t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$
II. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle E(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta }$	${\displaystyle E(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta }$
III. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle \Pi (n,k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}}$	${\displaystyle \Pi (n,m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}}$
III. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle \Pi (n,k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}}$	${\displaystyle \Pi (n,m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}}$

Definition der komplementären elliptischen Integrale

Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale ${\displaystyle K'}$ und ${\displaystyle E'}$ sind mit der komplementären Variable ${\displaystyle k'}$ wie im Folgenden dargestellt definiert.

${\displaystyle {\begin{aligned}k'&:={\sqrt {1-k^{2}}}\\K'(k)&:=K(k')\\E'(k)&:=E(k')\end{aligned}}}$

Darstellung per Potenzreihe

Die vollständigen elliptischen Integrale lassen sich als Potenzreihe darstellen.[1] Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument ${\displaystyle k}$ abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument ${\displaystyle k}$ in einem bezüglich der Genauigkeit geeignetem Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln.

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}k^{2n}{\biggr \}}}$

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}{\biggr ]}^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1-\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}{\biggr \}}}$

Beweis für die Potenzreihen:

---

Es gelten d​iese beiden binomischen Maclaurin-Reihen für |kx| < 1:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}}$

${\displaystyle {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}}$

Zusätzlich i​st jenes Integral für a​lle Zahlen n ∈ ℕ₀ gültig:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {\pi }{2}}}$

Deswegen g​ilt für d​as vollständige elliptische Integral erster Art:

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}}$

Und für d​as vollständige elliptische Integral zweiter Art gilt:

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}}$

Darstellung per unendlichem Produkt

In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von ${\displaystyle k_{n}}$ und ${\displaystyle k_{n}'={\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}$ bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär.

Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. Art

	Vollständiges elliptisches Integral I. Art	Komplementäres elliptisches Integral I. Art
Anfangswert	${\displaystyle k_{0}:=k}$	${\displaystyle k_{0}:=k}$
Rekursionsgleichung	${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$	${\displaystyle k_{n+1}={\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}}$
Produktformeln	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+k_{n})}$	${\displaystyle K'(k_{0})={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}})}$

Darstellung per AGM-Algorithmus

Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt ${\displaystyle a}$ den arithmetischen Mittelwert, ${\displaystyle b}$ den geometrischen Mittelwert und ${\displaystyle c}$ eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte ${\displaystyle a_{0},b_{0},c_{0}}$ sind wie angegeben durch das Argument ${\displaystyle k}$ definiert. Zu beachten ist, dass für ${\displaystyle k=1}$ das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann ${\displaystyle E(1)}$ nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu ${\displaystyle E(1)=1}$ bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention ${\displaystyle E(m),\;K(m)}$ lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution ${\displaystyle m=k^{2}}$. In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision (${\displaystyle \approx 16}$ dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von ${\displaystyle n=4}$ Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei ${\displaystyle n>4}$ sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus.

AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
${\displaystyle a_{0}:=1}$	${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}}\equiv {\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}}$
${\displaystyle b_{0}:={\sqrt {1-k^{2}}}}$	${\displaystyle b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$	${\displaystyle E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right)\cdot K(k)}$
${\displaystyle c_{0}:=k}$	${\displaystyle c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}}$	${\displaystyle \Pi (n,k)={\frac {1}{2}}\cdot \left(2+{\frac {n}{1-n}}\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\right)\cdot K(k)}$
${\displaystyle p_{0}:={\sqrt {1-n}}}$	${\displaystyle p_{n+1}={\frac {p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}{2p_{n}}}}$
${\displaystyle Q_{0}:=1}$	${\displaystyle Q_{n+1}={\frac {Q_{n}}{2}}\cdot {\frac {p_{n}^{2}-a_{n}b_{n}}{p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}}}$

Durch Substitution gemäß ${\displaystyle \alpha _{n}={\sqrt {a_{2n}}}\;,\;\beta _{n}={\sqrt {b_{2n}}}}$ findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch.

Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
${\displaystyle \alpha _{0}:=1}$	${\displaystyle \alpha _{n+1}={\frac {\alpha _{n}+\beta _{n}}{2}}}$	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}^{2}}}}$
${\displaystyle \beta _{0}:=\left(1-k^{2}\right)^{1/4}}$	${\displaystyle \beta _{n+1}=\left({\frac {\alpha _{n}^{3}\beta _{n}+\beta _{n}^{3}\alpha _{n}}{2}}\right)^{1/4}}$	${\displaystyle E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }4^{n}\left(\alpha _{n}^{4}-\left({\frac {\alpha _{n}^{2}+\beta _{n}^{2}}{2}}\right)^{2}\right)\right)\cdot K(k)}$

Spezielle Eigenschaften und Identitäten

Hier sind ${\displaystyle K'}$, ${\displaystyle E'}$ und ${\displaystyle k'}$ wieder die komplementären Größen.

Spezielle Funktions-Werte

${\displaystyle {\begin{aligned}K(0)&={\frac {\pi }{2}}&\lim _{k\rightarrow 0}K'(k)&=\infty \\\lim _{k\rightarrow 1}K(k)&=\infty &K'(1)&={\frac {\pi }{2}}\\E(0)&={\frac {\pi }{2}}&E'(0)&=1\\E(1)&=1&E'(1)&={\frac {\pi }{2}}\\K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)&={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}=K'\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)&E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\varpi +{\frac {\pi }{\varpi }}\right)=E'\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\\\Pi (0,0)&={\frac {\pi }{2}}\\\lim _{k\rightarrow 1}\Pi (0,k)&=\infty \end{aligned}}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \varpi }$ die Lemniskatische Konstante.

Spezielle Identitäten

Spezielle Funktionswerte:[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nK(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\E({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nE(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\\Pi \left(m,{\frac {n\pi }{2}},m\right)&\equiv {\frac {nE(m)}{m-1}}\;,&n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (0,m)&\equiv K(m)\\\Pi (n,0)&\equiv {\frac {\pi /2}{\sqrt {1-n}}}\\\Pi (m,m)&\equiv {\frac {E(m)}{1-m}}\\\Pi (k,k)&\equiv {\frac {\pi }{4(1-k)}}+{\tfrac {1}{2}}K(k)\end{aligned}}}$

Transformation d​es Arguments:[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-m}}}\;K\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\E(m)&\equiv {\sqrt {1-m}}\;E\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\\Pi (n,m)&\equiv {\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\;\Pi \left({\frac {n}{n-1}},{\frac {m}{m-1}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&\equiv {\frac {1}{1+k}}\;K\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)&K'(k)&\equiv {\frac {2}{1+k}}\;K'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\\K(k)&\equiv {\frac {2}{1+k'}}\;K\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)&K'(k)&\equiv {\frac {1}{1+k'}}\;K'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)\\E(k)&\equiv {\frac {1+k}{2}}\;E\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)+{\frac {k'^{2}}{2}}\;K\left(k\right)&E'(k)&\equiv (1+k)\;E'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-k\;K'\left(k\right)\\E(k)&\equiv (1+k')\;E\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)-k'\;K(k)&E'(k)&\equiv {\frac {1+k'}{2}}\;E'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)+{\frac {k^{2}}{2}}\;K'(k)\end{aligned}}}$

${\displaystyle K(k)\equiv {\frac {3\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}{2-\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}}\;K{\bigl \{}k^{3}\operatorname {sn} [K(k)/3;k]^{4}{\bigr \}}}$

Hierbei löst der Jacobische Sinus-Amplitudinis-Ausdruck ${\displaystyle \operatorname {sn} [K(k)/3;k]}$ für x die Gleichung ${\displaystyle k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0}$ auf.

Insgesamt g​ilt für a​lle Werte n ∈ ℕ u​nd 0 ≤ k ≤ 1 folgende Formel:

${\displaystyle K(k)\equiv n{\biggl \{}\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\bigl [}{\frac {2a}{n}}K(k);k{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1}K{\biggl \{}k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {2a-1}{n}}K(k);k{\bigr ]}^{2}{\biggr \}}}$

Hierbei i​st sn d​er Sinus Amplitudinis u​nd dn d​as Delta amplitudinis.

Ableitungen

Die vollständigen elliptischen Integrale erster u​nd zweiter Art werden s​o abgeleitet:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}K(k)}{{\text{d}}k}}&={\frac {E(k)-(1-k^{2})\cdot K(k)}{k\cdot (1-k^{2})}}\\{\frac {{\text{d}}E(k)}{{\text{d}}k}}&={\frac {E(k)-K(k)}{k}}\end{aligned}}}$

Beweis:

---

Beweis für d​ie Ableitung d​es elliptischen Integrals erster Art:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {k(1-2x^{2}+k^{2}x^{4})}{(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{k(1-k^{2})}}E(k)-{\frac {1}{k}}K(k)-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {kx{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}}$

Beweis für d​ie Ableitung d​es elliptischen Integrals zweiter Art:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k{\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}$

Stammfunktionen

Ursprungsstammfunktion für d​as vollständige elliptische Integral erster Art:

${\displaystyle \int _{0}^{x}K(y)\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xz)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\mathrm {d} z}$

Beispiel:

${\displaystyle \int _{0}^{1}K(y)\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(z)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\mathrm {d} z=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}2\operatorname {Ti} _{2}{\bigl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\bigr )}\mathrm {d} z=2\operatorname {Ti} _{2}(1)=2G}$

Ursprungsstammfunktion für d​as vollständige elliptische Integral zweiter Art:

${\displaystyle \int _{0}^{x}E(y)\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(xz)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}{2{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} z}$

Beispiel:

${\displaystyle \int _{0}^{1}E(y)\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(z)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\mathrm {d} z=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\biggl [}\operatorname {Ti} _{2}{\bigl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\bigr )}+{\frac {1}{2}}z{\biggr ]}\mathrm {d} z=\operatorname {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=G+{\frac {1}{2}}}$

Dabei i​st G d​ie Catalansche Konstante u​nd mit Ti₂(x) w​ird das Arkustangensintegral z​um Ausdruck gebracht.

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen o​der algebraische Funktionen v​on Umkehrfunktionen d​er elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie s​ind mit d​en trigonometrischen Funktionen verwandt.

Unvollständige elliptische Integrale

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale

Graph der elliptischen Integrale erster Art ${\displaystyle F(\varphi ,m)}$ in Legendre-Form für verschiedene Parameter ${\displaystyle m}$

Graph der elliptischen Integrale zweiter Art ${\displaystyle E(\varphi ,m)}$ in Legendre-Form für verschiedene Parameter ${\displaystyle m}$

In der nachfolgenden Tabelle sind die Definitionen der unvollständigen elliptischen Integrale in Jacobi-Form und in Legendre-Normalform angegeben. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution ${\displaystyle t=\sin \vartheta }$ in die Legendre-Normalform überführen. Die unvollständigen elliptischen Integrale besitzen im Vergleich zu den vollständigen elliptischen Integralen einen zusätzlichen Freiheitsgrad, welcher der oberen Integrationsgrenze entspricht. Somit stellen die vollständigen elliptischen Integrale einen Spezialfall der Unvollständigen dar. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter ${\displaystyle m=k^{2}}$ und die Legendre-Normalform in Verwendung.

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale mit Parametern ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle m}$

	Konvention mit Parameter ${\displaystyle k}$	Konvention mit Parameter ${\displaystyle m}$
I. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle F(x,k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$	${\displaystyle F(x,m):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}$
I. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle F(\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$	${\displaystyle F(\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}$
II. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle E(x,k):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle E(x,m):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-m\,t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$
II. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle E(\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta }$	${\displaystyle E(\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta }$
III. Art: Jacobi-Form	${\displaystyle \Pi (n,x,k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}}$	${\displaystyle \Pi (n,x,m):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}}$
III. Art: Legendre-Normalform	${\displaystyle \Pi (n,\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}}$	${\displaystyle \Pi (n,\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}}$

Additionstheoreme

Mit folgenden Theoremen können d​ie unvollständigen elliptischen Integrale additiv verknüpft werden. Die Legendre-Normalform w​ird zur Darstellung verwendet.

Elliptische Integrale erster Art:

${\displaystyle F[\arctan(x),k]+F[\arctan(y),k]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}$

Elliptische Integrale zweiter Art:

${\displaystyle E[\arctan(x),k]+E[\arctan(y),k]=E\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}$

Mit folgendem Theorem können arithmetische Mittlungen durchgeführt werden:

${\displaystyle F[\arcsin(x),k]+F[\arcsin(y),k]=2F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {1+x}}{\sqrt {1+y}}-{\sqrt {1-x}}{\sqrt {1-y}}}{{\sqrt {1+kx}}{\sqrt {1+ky}}+{\sqrt {1-kx}}{\sqrt {1-ky}}}}\right),k\right]}$

Modultransformation

Mit folgenden Formeln w​ird der Modul transformiert:

${\displaystyle F[\arcsin(x),k]={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right],{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}$

${\displaystyle E[\arcsin(x),k]=(1+{\sqrt {1-k^{2}}})E\left[\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right],{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]-{\sqrt {1-k^{2}}}F[\arcsin(x),k]+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}}$

Für a​lle Werte n ∈ ℕ u​nd 0 ≤ k ≤ 1 g​ilt folgende Formel:

${\displaystyle \left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} [{\frac {2a}{n}}K(k);k]\right]F[\arctan(x),k]=F\left[\sum _{a=1}^{n}\arctan \left[\operatorname {dn} [{\frac {2a}{n}}K(k);k]x\right],k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} [{\frac {2a-1}{n}}K(k);k]^{2}\right]}$

Unvollständige elliptische Integrale als Stammfunktionen für algebraische Wurzelfunktionen

Mit dieser Formel lassen s​ich die Kehrwerte d​er Quadratwurzeln v​on Polynomen vierten Grades integrieren:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2af+2cd-be+{\sqrt {(4ac-b^{2})(4df-e^{2})}}}}{2{\sqrt {2}}}}\,{\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)(dx^{2}+ex+f)}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {4df-e^{2}}}\cdot (2ax+b)+{\sqrt {4ac-b^{2}}}\cdot (2dx+e)}{{\sqrt {4a\,(4df-e^{2})(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4d\,(4ac-b^{2})(dx^{2}+ex+f)}}}}\right),\;{\sqrt {\frac {2af+2cd-be-{\sqrt {(4ac-b^{2})(4df-e^{2})}}}{2af+2cd-be+{\sqrt {(4ac-b^{2})(4df-e^{2})}}}}}\right]}$

Hierbei müssen die Werte ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle 4ac-b^{2}}$ und ${\displaystyle 4df-e^{2}}$ alle vier positiv sein.

Beispiel:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+2x+3)(4x^{2}+5x+6)}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {13-{\sqrt {142}}}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {2}}(8x+5)+{\sqrt {71}}(x+1)}{4{\sqrt {2}}{\sqrt {4x^{2}+5x+6}}+{\sqrt {71}}{\sqrt {x^{2}+2x+3}}}}\right),{\frac {13-{\sqrt {142}}}{3{\sqrt {3}}}}\right]}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+2x+3)(4x^{2}+5x+6)}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {13-{\sqrt {142}}}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {13+{\sqrt {142}}}{4{\sqrt {15}}+{\sqrt {213}}}}\right),{\frac {13-{\sqrt {142}}}{3{\sqrt {3}}}}\right]-{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {13-{\sqrt {142}}}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {5{\sqrt {2}}+{\sqrt {71}}}{8{\sqrt {3}}+{\sqrt {213}}}}\right),{\frac {13-{\sqrt {142}}}{3{\sqrt {3}}}}\right]=}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\sqrt {13-{\sqrt {142}}}}\,F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {5}}-2}{3}}{\sqrt {13+{\sqrt {142}}}}\right),{\frac {13-{\sqrt {142}}}{3{\sqrt {3}}}}\right]}$

Im Gegensatz d​azu sind uneigentliche Integrale v​on Minus Unendlich b​is Plus Unendlich v​on den Kehrwerten d​er Quadratwurzeln a​us nullstellenfreien quartischen Polynomen i​mmer als vollständige elliptische Integrale erster Art darstellbar. Beispielsweise gilt:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+x^{3}+1}}}\mathrm {d} x={\frac {2K\left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}\tan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr )}}}\right)}{\sqrt {\cos {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr )}}}}}$

Alternative Darstellungen

Symmetrische Carlson-Formen

Die symmetrischen Carlson-Formen s​ind eine alternative Menge a​n Funktionen, d​urch die d​ie klassischen elliptischen Integrale ausgedrückt werden können. Die moderneren Carlson-Formen wurden e​rst in d​en 1960er Jahren erfunden, während d​ie Legendre-Formen bereits 1825 formuliert worden waren. Die Carlson-Formen bieten einige Vorteile gegenüber d​en klassischen elliptischen Integralen.

Unvollständige elliptische Integrale

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen ${\displaystyle R_{F}}$, ${\displaystyle R_{D}}$ und ${\displaystyle R_{J}}$ ausgerückt werden:

${\displaystyle F(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)}$

${\displaystyle E(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)-{\tfrac {1}{3}}{m\sin ^{3}}\varphi \;R_{D}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)}$

${\displaystyle \Pi (n,\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)+{\tfrac {1}{3}}{n\sin ^{3}}\phi \;R_{J}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1,1-{n\sin ^{2}}\varphi )}$

(für ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq 2\pi }$ und ${\displaystyle 0\leq {m\sin ^{2}}\varphi \leq 1}$)

Vollständige elliptische Integrale

Vollständige elliptischen Integrale erhält m​an durch Einsetzen v​on φ = π/2:

${\displaystyle K(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)}$

${\displaystyle E(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)-{\tfrac {1}{3}}mR_{D}\left(0,1-m,1\right)}$

${\displaystyle \Pi (n,m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-m,1,1-n\right)}$

Bulirsch-Integrale

Eine alternative Darstellung d​er unvollständigen elliptischen Integrale s​ind die Bulirsch-Integrale.[4][5]

Unvollständige Bulirsch-Integrale

Die unvollständigen Bulirsch-Integrale sind:

${\displaystyle \operatorname {el1} (x,k_{c})=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {el2} (x,k_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\,{\cos ^{2}}\theta +b\,{\sin ^{2}}\theta }{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {el3} (x,k_{c},n_{c})=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$

Eine verallgemeinerte Version w​urde 1994 zusammen m​it einem effizientem Berechnungsalgorithmus eingeführt:[6]

${\displaystyle \operatorname {el} (x,k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$ .

Relation z​u den Legendre-Normalformen:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,m)&=\operatorname {el1} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}})&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},p,1,p)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2,\quad p{\text{ beliebig}}\\E(\varphi ,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1-m)&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2\\\Pi (n,\varphi ,m)&=\operatorname {el3} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n)&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2\end{aligned}}}$

Die Bulirsch-Integrale h​aben den Vorteil, d​ass bestimmte i​n der Praxis vorkommende Kombinationen d​er Legendre-Elliptischen-Integrale a​ls gemeinsame Funktion dargestellt werden können, u​nd damit numerische Instabilitäten u​nd undefinierte Wertebereiche vermieden werden können:[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,F(\varphi ,m)+\mu \,E(\varphi ,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,F(\varphi ,m)+\mu \,\Pi (n,m)&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(\varphi ,m)-E(\varphi ,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)F(\varphi ,m)+E(\varphi ,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,\varphi ,m)-F(\varphi ,m)}{n}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}}$

Vollständige Bulirsch-Integrale

Die vollständigen Bulirsch-Integrale sind

${\displaystyle \operatorname {cel1} (k_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cel2} (k_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\,{\cos ^{2}}\theta +b\,{\sin ^{2}}\theta }{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cel3} (k_{c},n_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$

und d​as verallgemeinerte vollständige Bulirsch-Integral[5]

${\displaystyle \operatorname {cel} (k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$ .

Es gilt[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&=\operatorname {cel1} ({\sqrt {1-m}})&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},p,1,p)\quad ,\quad p{\text{ beliebig}}\\E(m)&=\operatorname {cel2} ({\sqrt {1-m}},1,1-m)&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\\\Pi (n,m)&=\operatorname {cel3} ({\sqrt {1-m}},1-n)&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\end{aligned}}}$

Linearkombinationen vollständiger Legendre-Integrale:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,K(m)+\mu \,E(m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,K(m)+\mu \,\Pi (n,m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {K(m)-E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)K(m)+E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,m)-K(m)}{n}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}}$

Numerische Auswertung

Die elliptischen Integrale können m​it Hilfe d​es oben genannten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM) effizient berechnet werden. Sie können a​uch zur Auswertung i​n die symmetrische Carlson-Form überführt werden.[8] Zur numerischen Auswertung d​er Carlson-Formen existieren z​um AGM ähnliche Algorithmen.[9] Eine Annäherung m​it Hilfe v​on gebrochenrationalen Funktionen höherer Ordnung i​st auch möglich.[10] Zu d​en derzeit effizientesten Verfahren gehört d​ie Auswertung m​it Hilfe d​es Bulirsch-Algorithmus.[11]

Bezug zur Gammafunktion

Für a​lle n ∈ ℕ g​ilt folgender Zusammenhang zwischen d​er Gammafunktion u​nd den elliptischen Integralen:

${\displaystyle {\frac {2^{2/n}\Gamma (1+1/n)^{2}}{\Gamma (1+2/n)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{n}}}}\mathrm {d} x}$

Bei d​er Berechnung d​es abgebildeten Integrals für d​ie Werte n = 3, 4, 6 u​nd 8 erhält m​an folgende Resultate:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma (4/3)^{2}}{\Gamma (5/3)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{3}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F[2\arctan({\frac {{\sqrt[{4}]{3}}x}{{\sqrt {1+x+x^{2}}}+{\sqrt {1-x}}}}),{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}]\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F[2\arctan({\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}),{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}]={\frac {2}{3{\sqrt[{4}]{3}}}}K({\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}})={\frac {2}{\sqrt[{4}]{27}}}K({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}})}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\,\Gamma (5/4)^{2}}{\Gamma (3/2)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}F[\arcsin({\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}}),{\frac {1}{\sqrt {2}}}]\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}K({\frac {1}{\sqrt {2}}})}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\,\Gamma (7/6)^{2}}{\Gamma (4/3)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{6}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{3}}}}F[2\arctan({\frac {{\sqrt[{4}]{3}}x}{\sqrt {1-x^{2}}}}),{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}]\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}K({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}})}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{4}]{2}}\,\Gamma (9/8)^{2}}{\Gamma (5/4)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{8}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{2}}F[\arctan({\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}),{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}]+{\frac {1}{2}}F[\arcsin({\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{\sqrt {1+x^{2}}}}),{\sqrt {2}}-1]\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}K({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}})={\frac {1}{\sqrt {2}}}K({\sqrt {2}}-1)}$

Mit d​er Berechnung dieser Integrale u​nd der Anwendung d​er Eulerschen Formel d​es Ergänzungssatzes lassen s​ich die Gamma-Funktionswerte ermitteln.

Anwendungsbeispiele

Umfang einer Ellipse

Eine klassische Anwendung ist die Berechnung des Umfangs einer Ellipse. Im Folgenden ist eine Ellipsen-Parameterform ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(\psi )}$ mit den Halbachsen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ angegeben. Das Ergebnis stellt sich mit dem vollständigen elliptischen Integral II. Art dar. Hierbei ist die Parameter-Konvention ${\displaystyle m=k^{2}}$ verwendet.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}(\psi )&={\begin{pmatrix}a\cos \psi \\b\sin \psi \end{pmatrix}}\\U&=\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {x}}}{{\text{d}}\psi }}\right\|\,{\text{d}}\psi =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\psi +b^{2}\cos ^{2}\psi }}\;{\text{d}}\psi =4b\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-{\frac {b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}\sin ^{2}\psi }}\;{\text{d}}\psi =4b\cdot E\left({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}\,\right)=4a\cdot E\left({\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\,\right)\end{aligned}}}$

Die Äquivalenz der letzten beiden Ausdrücke ist ersichtlich, wenn vorher ${\displaystyle a}$ statt ${\displaystyle b}$ ausgeklammert wird. Im letzten Ausdruck ist ${\displaystyle m>0}$ für ${\displaystyle a>b}$. Die zugehörige Anwendung des unvollständigen elliptischen Integrals II. Art ergibt sich, indem die obere Integrationsgrenze als Variable ${\displaystyle \psi }$ wie im Folgenden angesetzt wird. Damit ergibt sich die Bogenlänge ${\displaystyle s}$ der Ellipse in Abhängigkeit vom Parameter ${\displaystyle \psi }$.

${\displaystyle s(\psi )=\int _{0}^{\psi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\xi +b^{2}\cos ^{2}\xi }}\;{\text{d}}\xi =b\cdot E\left(\psi ,\;{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}\,\right)}$

Umfang und Flächeninhalt einer Cassinischen Kurve

Die Cassinischen Kurven gehorchen für d​en Fall a < c folgender Relation für kartesische Koordinaten:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}}$

Dabei i​st a d​ie Brennweite u​nd c i​st der Abstand zwischen Brennpunkt u​nd Schnittstelle v​on Graph u​nd Ordinatenachse.

Für d​en Umfang d​er Cassinischen Kurve gilt:

${\displaystyle U=4cK{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}}$

Für d​en Flächeninhalt d​er Cassinischen Kurve gilt:

${\displaystyle A=2c^{2}E{\bigl (}{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\bigr )}}$

Mathematisches Pendel

Eine klassische Anwendung d​er elliptischen Integrale i​st die exakte Bewegung e​ines Pendels, b​ei welcher d​ie Schwingungsdauer b​ei gegebenem Maximalauslenkungswinkel u​nd gegebener Fadenlänge a​uf folgende Weise berechnet werden kann:

${\displaystyle T(\varphi _{\max })=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K\left(\sin({\tfrac {1}{2}}\varphi _{\max })\right)}$

Dabei i​st g ≈ 9,81 m/s² d​ie Fallbeschleunigung d​er Erde.

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung

Eine klassische Problemstellung aus der Elektrostatik ist die Berechnung des elektrischen Skalarpotentials ${\displaystyle \varphi _{e}}$ bei gegebener räumlicher Ladungsverteilung. Bei einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung lässt sich das elektrische Skalarpotential mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art beschreiben. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention ${\displaystyle K(m)}$ mit ${\displaystyle m=k^{2}}$ angegeben. In der angegebenen Lösung repräsentiert ${\displaystyle Q}$ die elektrische Gesamtladung, ${\displaystyle R}$ den Radius des Ringes und ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ die Vakuum-Permittivität. Weiterhin ist das Skalarpotential mit den Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ angegeben. Da keine Abhängigkeit bezüglich der Azimut-Koordinate ${\displaystyle \varphi }$ besteht, ist ersichtlich, dass es sich um eine zylindersymmetrische Problemstellung handelt.

${\displaystyle \varphi _{e}(\rho ,z)={\frac {Q}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\psi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \psi }}}={\frac {Q}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}\cdot K\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)}$

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Dipolverteilung

Neben der einfachen Ladungsverteilung besteht ebenfalls die Möglichkeit, eine ringförmige Verteilung axial ausgerichteter Dipole zu betrachten. Die Lösung des elektrischen Skalarpotentials ist im Folgenden angegeben. Dabei repräsentiert ${\displaystyle p_{z}}$ die ${\displaystyle z}$-Komponente des elektrischen Dipolmoments, ${\displaystyle R}$ den Radius des Ringes und ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ die Vakuum-Permittivität. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention ${\displaystyle E(m)}$ mit ${\displaystyle m=k^{2}}$ angegeben.

${\displaystyle \varphi _{e}(\rho ,z)={\frac {p_{z}\cdot z}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\psi }{{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \psi }}^{3}}}={\frac {p_{z}}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {z}{((\rho -R)^{2}+z^{2})\cdot {\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}}\cdot E\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)}$

Magnetisches Vektorpotential eines ringförmigen stromdurchflossenen Leiters

Ein Beispiel aus der Magnetostatik stationärer Ströme stellt die Berechnung des Magnetfeldes eines stromdurchflossenen Ringleiters dar. Es bietet sich die Berechnung des magnetischen Vektorpotentials ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ an, aus dem sich in weiterer Betrachtung mit Hilfe der Rotation die magnetische Flussdichte bestimmen lässt. Hier repräsentiert ${\displaystyle I}$ die elektrische Stromstärke, ${\displaystyle R}$ den Radius des Ringleiters und ${\displaystyle \mu _{0}}$ die Vakuum-Permeabilität. Weiterhin ist das magnetische Vektorpotential mit den Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ und mit dem Einheits-Basisvektor ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\varphi }}$ in azimutaler Richtung angegeben. Die Lösung stellt sich durch eine Kombination von vollständigem elliptischen Integral 1. und 2. Art dar. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention ${\displaystyle E(m),\;K(m)}$ mit ${\displaystyle m=k^{2}}$ angegeben. Zur numerischen Auswertung der angegebenen Funktion eignet sich besonders das weiter oben angegebene Bulirsch-Integral ${\displaystyle \operatorname {cel} ()}$. Der Vorteil ist eine höhere numerische Stabilität in der Umgebung ${\displaystyle \rho =0}$.[12]

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}(\rho ,z)={\boldsymbol {e}}_{\varphi }\cdot {\frac {\mu _{0}IR}{2\pi }}\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \psi \;{\text{d}}\psi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \psi }}}={\boldsymbol {e}}_{\varphi }\cdot {\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\rho ^{2}+R^{2}+z^{2}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}K\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)-{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}E\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)\right)}$

Literatur

• Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org.
• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A study in analytical Number Theory and Computational Complexity. John Wiley & Sons, 1987.
• Harris Hancock: Elliptic Integrals. John Wiley & Sons, 1917.
• P. F. Byrd, M. D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Springer-Verlag, 1971.
• Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. AMS, 1997.
• Mümtaz Karataş: A multi foci closed Curve: Cassini Oval, its properties and applications. Naval Postgraduate School, Monterey, Kalifornien, 2013, pp. 231–248

Weblinks

• Elliptic Integrals. Bei: dlmf.nist.gov. (NIST Digital Library of Mathematical Functions).
• Eric W. Weisstein: Elliptic Integral. In: MathWorld (englisch).
• https://math.stackexchange.com/questions/111921/resources-for-learning-elliptic-integrals

Einzelnachweise

1. Siehe Eric W. Weisstein: Complete Elliptic Integral of the First Kind. In: MathWorld (englisch). Die Form ohne das !!-Symbol stammt aus:
   Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Frankfurt/Main 1991, S. 223.
2. Paul F. Byrd, Morris D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists. Springer Berlin Heidelberg, 1954, doi:10.1007/978-3-642-52803-3.
3. EllipticK, Functional identities.
4. Roland Bulirsch: Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions. In: Numerische Mathematik. 7, Nr. 1, February 1965, ISSN 0029-599X, S. 78–90. doi:10.1007/BF01397975.
5. NIST Digital Library of Mathematical Functions 19.2: Bulirsch’s Integrals.
6. Toshio Fukushima, Hideharu Ishizaki: Numerical computation of incomplete elliptic integrals of a general form. In: Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy. 59, Nr. 3, July 1994, ISSN 0923-2958, S. 237–251. doi:10.1007/BF00692874.
7. Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions. III. In: Numerische Mathematik. 13, Nr. 4, 1969, S. 305–315. doi:10.1007/BF02165405.
8. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Hrsg.: Cambridge University Press. 3. Auflage. New York 2007, ISBN 978-0-521-88068-8, Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions.
9. B. C. Carlson: Numerical computation of real or complex elliptic integrals. In: Numerical Algorithms. Band 10, Nr. 1, März 1995, ISSN 1017-1398, S. 13–26, doi:10.1007/bf02198293.
10. Cephes Mathematical Library.
11. Toshio Fukushima: Elliptic functions and elliptic integrals for celestial mechanics and dynamical astronomy. In: Applications and Experiments. DE GRUYTER, 31 December 2014, S. 187–226, doi:10.1515/9783110345667.187.
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