Schwarzschild-Metrik

Die Schwarzschild-Metrik (nach Karl Schwarzschild benannt, a​uch Schwarzschild-Lösung) bezeichnet, speziell i​m Rahmen d​er allgemeinen Relativitätstheorie, e​ine Lösung d​er einsteinschen Feldgleichungen, d​ie das Gravitationsfeld e​iner homogenen, n​icht geladenen u​nd nicht rotierenden Kugel beschreibt.

Metriken für Schwarze Löcher

	statisch ${\displaystyle (J=0)}$	rotierend ${\displaystyle (J\neq 0)}$
ungeladen ${\displaystyle (Q=0)}$	Schwarzschild-Metrik	Kerr-Metrik
geladen ${\displaystyle (Q\neq 0)}$	Reissner-Nordström-Metrik	Kerr-Newman-Metrik
${\displaystyle Q}$: Elektrische Ladung; ${\displaystyle \ J}$: Drehimpuls

Das vollständige Schwarzschild-Modell besteht a​us der äußeren Schwarzschild-Lösung für d​en Raum außerhalb d​er Massenverteilung u​nd der inneren Schwarzschild-Lösung, m​it der d​ie Feldgleichungen i​m Inneren d​er Massenverteilung u​nter der zusätzlichen Annahme gelöst werden, d​ass die Masse e​in homogenes Fluid ist. Die Lösungen s​ind so konstruiert, d​ass sie a​n der Grenze d​er Massenverteilung stetig u​nd differenzierbar aneinander anschließen.

Äußere Lösung

Die äußere Schwarzschild-Lösung i​st die statische Vakuumlösung d​er Feldgleichungen für d​en Außenraum e​iner kugelsymmetrischen Materieverteilung.[1] Sie g​ilt auch für dynamische Massenverteilungen, sofern s​ich die Massen n​ur radial bewegen u​nd die Kugelsymmetrie erhalten bleibt.[2] Sie w​urde 1915/16 v​on dem deutschen Astronomen u​nd Physiker Karl Schwarzschild (unabhängig v​on Johannes Droste) gefunden u​nd war d​ie erste bekannte exakte Lösung d​er einsteinschen Feldgleichungen.[3]

Linienelement

Die einsteinschen Feldgleichungen setzen die Geometrie des Raumes, beschrieben durch den metrischen Tensor ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, über den Proportionalitätsfaktor der einsteinschen Gravitationskonstante in Beziehung zum Energie-Impuls-Tensor.

Unter den in diesem Fall geltenden Randbedingungen sind die Feldgleichungen elementar integrierbar. Mit der Zeitkoordinate ${\displaystyle x^{0}\mapsto t}$ und den Kugelkoordinaten ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})\mapsto (r,\theta ,\phi )}$ sowie der Ersetzung des Schwarzschild-Radius ${\displaystyle 2GM/c^{2}}$ durch ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ ergibt sich als Linienelement:[4][5]

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=-c^{2}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi ^{2}}$

Diese Koordinaten bezeichnet man als Schwarzschild-Koordinaten. Die Vorzeichen entsprechen der in der Relativitätstheorie meist verwendeten Raum-Zeit-Signatur ${\displaystyle \textstyle \left(-,+,+,+\right)}$.

In einem natürlichen Einheitensystem mit ${\displaystyle G=c=1,r_{\mathrm {s} }=2M}$ wird das Linienelement zu

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )\;\mathrm {d} \phi ^{2}}$.

Im Unterschied zu Kugelkoordinaten in einem euklidischen Raum tragen hier die Koordinatendifferenziale ${\displaystyle \mathrm {d} t^{2}}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} r^{2}}$ Vorfaktoren, die von ${\displaystyle r}$ abhängig sind. Sie sind die Komponenten des zweistufigen metrischen Tensors ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ in Schwarzschild-Koordinaten. ${\displaystyle M}$ entspricht bis auf konstante Faktoren der gravitierenden Zentralmasse.

Die physikalische Distanz ${\displaystyle \Delta R}$ zwischen ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ beträgt dann nicht ${\displaystyle r_{2}-r_{1}}$, sondern hat den größeren Wert

${\displaystyle \Delta R=\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {\mathrm {d} r}{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}}=\left.\left(r{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{2}}\ln {\frac {1+{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}}{1-{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}}}\right)\right|_{\displaystyle {{r=}\ r_{1}}}^{\displaystyle {{r=}\ r_{2}}}.}$

Für Abstände ${\displaystyle r}$, die groß gegenüber dem Schwarzschild-Radius ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ sind, lässt sich dies um ${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\approx 0}$ entwickeln und ergibt:

${\displaystyle \Delta R=r_{2}-r_{1}+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{2}}\left(\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {r_{\mathrm {s} }}{r_{2}}}\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {r_{\mathrm {s} }}{r_{1}}}\right)\right)}$

Als Folge dessen h​at eine Kugelschale gegebenen Umfangs i​n Anwesenheit e​iner zentralen Masse e​in größeres Volumen a​ls in Abwesenheit d​er Masse.

Geometrische Deutung

Äußere Schwarzschild-Lösung (Flammsches Paraboloid)

Das Linienelement k​ann auf z​wei Arten interpretiert werden:

Die eine Interpretation

Deutet man die radiale Koordinatenlinie ${\displaystyle r}$ als real begehbaren Weg, so stellt der im Linienelement enthaltene metrische Tensor ein Spin-2-Feld dar. Dass dieses Feld Gleichungen gehorcht, die sich aus der riemannschen Geometrie herleiten lassen, wird in diesem Fall nur als beiläufig erachtet.

Die b​eim Schwarzschild-Radius befindliche Grenzfläche n​ennt man d​en Ereignishorizont, w​obei letzterer Begriff a​uch als Synonym für d​en Schwarzschild-Radius verwendet wird. An dieser Stelle besitzt d​er radiale Teil d​er Metrik e​ine Koordinatensingularität, e​in Artefakt d​er Schwarzschild-Koordinaten. Durch Wahl geeigneter Koordinaten, w​ie der Kruskal-Szekeres-Koordinaten, k​ann dieses Problem beseitigt werden. Innerhalb d​es Schwarzschild-Radius vertauschen Raum- u​nd Zeitkoordinate i​hre Bedeutung, d​a das radiale Linienelement zeitartig u​nd das vormals zeitartige Linienelement raumartig wird. Eine Bewegung d​urch den Raum w​ird eine Bewegung d​urch die Zeit u​nd umgekehrt.

Ein Ereignishorizont existiert erst, wenn sich eine große Masse, wie etwa der Kern eines schweren Sterns, auf einen Bereich innerhalb ihres Schwarzschild-Radius zusammengezogen hat – Masse außerhalb eines Radius von ${\displaystyle 2M}$ ist irrelevant. Solch ein Objekt wird als Schwarzes Loch bezeichnet, wobei dieses bei ${\displaystyle r=0}$ nun eine physikalische Singularität enthält.

Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten enthalten Lösungen für e​ine mögliche Verknüpfung z​u einem Weißen Loch, b​ei dem Materie austreten, a​ber nicht eindringen kann. Verbindungen dieser Art heißen Wurmlöcher u​nd der Übergang v​on einem Schwarzen z​u einem Weißen Loch d​ie Einstein-Rosen-Brücke. Das Schwarzschild-Wurmloch i​st zwar e​ine mathematische Lösung d​er einsteinschen Feldgleichungen, k​ann jedoch n​icht existieren, d​a die Verbindung z​u keinem Zeitpunkt geschaffen wird. Selbst i​m Falle e​iner offenen Verbindung kollabiert d​iese bei Annäherung a​n die Singularität. Stabil wäre s​ie nur u​nter Verwendung e​iner spekulativen negativen Energiedichte.

Mathematischer Plot eines Schwarzschild-Wurmlochs

Die andere Interpretation

Die andere Interpretation, die der Veranschaulichung der räumlichen Krümmung in der Schwarzschildlösung dient, lehnt sich an die ursprüngliche Konzeption Einsteins an, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu verstehen. Die Krümmungen der Raumzeit bestimmen dabei die Gravitationswirkungen. Aus Gründen der besseren Verständlichkeit kann man sich die Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen, um dann ihre Krümmung zu veranschaulichen. Für den Raumteil des Schwarzschild-Modells lässt sich die dahinterliegende Geometrie recht einfach offenlegen. Das radiale Linienelement ist ein Element auf der (liegenden) Parabel ${\displaystyle w^{2}=4r_{\mathrm {s} }(r-r_{\mathrm {s} })}$, wobei ${\displaystyle w}$ die zusätzliche Dimension im Einbettungsraum bezeichnet.

Betrachtet wird ein Schnitt bei ${\displaystyle t={\text{const}}}$ (und damit ${\displaystyle \mathrm {d} t=0}$) und ${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}$ und die Metrik in den verbliebenen räumlichen Koordinaten:

${\displaystyle {\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} w^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}=\left(1+\left({\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} r}}\right)^{2}\right)\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \phi ^{2}}}$

Ein Vergleich der Koeffizienten ergibt ${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} r}}\right)}^{2}={\frac {r_{\mathrm {s} }}{r-r_{\mathrm {s} }}}}$ und damit die oben angegebene Parabelgleichung.

An ${\displaystyle r=0}$ liegt die Leitlinie der Parabel ${\displaystyle w(r)}$ und an ${\displaystyle r=r_{\mathrm {s} }=2M}$ ihr Scheitel. Rotiert man den oberen Ast der Parabel ${\displaystyle (w>0)}$ um die Leitlinie durch den Winkel ${\displaystyle \theta }$, erhält man unter Weglassung der dritten Raumdimension eine Fläche 4. Ordnung, das flammsche Paraboloid.

Die Koordinate ${\displaystyle r}$ ist im Rahmen dieser Betrachtung kein begehbarer Weg, sondern eine Hilfsvariable. Innerhalb des Schwarzschild-Radius kann dieses Modell keine Aussagen machen, die Variable ${\displaystyle r}$ hat den Wertebereich ${\displaystyle \left[{r_{\mathrm {s} },\infty }\right[}$. Das am flammschen Paraboloid entstehende „Loch“ für ${\displaystyle r<r_{\mathrm {s} }}$, wird mit einer weiteren Fläche überdeckt, die aus der inneren Schwarzschildschen Lösung hergeleitet werden kann.

Levi-Civita-Zusammenhang und Christoffel-Symbole

Der Levi-Civita-Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$, der zur Schwarzschild-Metrik gehört, lässt sich durch die Christoffelsymbole ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{m}}$ beschreiben. Die von 0 verschiedenen Christoffelsymbole sind in Schwarzschild-Koordinaten und den oben genannten natürlichen Einheiten (${\displaystyle G=c=1,r_{\mathrm {s} }=2M}$):[6]

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\mathbf {t} &&&&&\mathbf {\theta } &&\\&\Gamma _{tr}^{t}=\Gamma _{rt}^{t}\!\!\!&=\;{\frac {M}{r(r-2M)}}&&&&\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }\!\!\!&=\;{\frac {1}{r}}\\\mathbf {r} &&&&&&\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=-\sin \theta \,\cos \theta \\&\Gamma _{rr}^{r}&=-{\frac {M}{r(r-2M)}}&&&\mathbf {\phi } &&\\&\Gamma _{tt}^{r}&=\;{\frac {M(r-2M)}{r^{3}}}&&&&\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }\!\!\!&=\;{\frac {1}{r}}\\&\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=-(r-2M)\,\sin ^{2}\theta &&&&\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }\!\!\!&=\;\cot \theta \\&\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-(r-2M)\end{array}}}$

Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichung für e​in Teilchen u​nter dem Einfluss d​er zentralen Masse i​st die Geodätengleichung[7][8][9]

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{m}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{m}{\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}=0.}$

Die Kurve wird dabei durch den affinen Parameter ${\displaystyle \lambda }$ parametriert. Dieser Parameter darf bei Teilchen mit einer Masse mit der Eigenzeit des Teilchens gleichgesetzt werden. Aufgrund der Kugelsymmetrie der Raumzeit darf die Bewegung eines Teilchens ohne Beschränkung der Allgemeinheit in der ${\displaystyle (r,\phi )}$-Ebene untersucht werden. Aus den oben angegebenen Ausdrücken für die Christoffel-Symbole und der genannten Einschränkung der Bewegung auf die ${\displaystyle (r,\phi )}$-Ebene ergeben sich neben der Gleichung für die zweite Ableitung der Koordinate ${\displaystyle t}$ die zwei folgenden Gleichungen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\phi }{\mathrm {d} \lambda ^{2}}}=-{\frac {2}{r}}\,{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} \lambda }}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} \lambda ^{2}}}={\frac {M}{r\,(r-2M)}}\left({\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}\right)^{2}\,-\,{\frac {M\,(r-2M)}{r^{3}}}\left({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \lambda }}\right)^{2}\,+\,(r-2M)\left({\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} \lambda }}\right)^{2}}$

Lösung für Teilchen mit Masse

Trajektorie eines Testkörpers mit Masse
• links: Lösung der klassischen Newtonschen Mechanik
• rechts: Schwarzschild-Lösung der Relativitätstheorie

Wie bereits beschrieben, darf im Fall nicht verschwindender Masse ${\displaystyle m\neq 0}$ die Ableitung nach dem affinen Parameter ${\displaystyle \lambda }$ durch die Ableitung nach der Eigenzeit ${\displaystyle \tau }$ des Teilchens ersetzt werden. Diese wird im Folgenden mit einem Punkt gekennzeichnet. Zusätzlich kann man aus der Formel für das Linienelement die nützliche Gleichung ableiten, dass das Quadrat der Vierer-Geschwindigkeit ${\displaystyle (\mathrm {d} s/\mathrm {d} \tau )^{2}=-1}$ ist.[10] Daraus kann man durch Umformung die Gleichung

${\displaystyle {\dot {t}}={\sqrt {\frac {1+r\ {\dot {r}}^{2}/(r-2M)+r^{2}\ {\dot {\phi }}^{2}}{1-2M/r}}}}$

ableiten. Wird dieser Ausdruck für die erste Ableitung der zeitartigen Koordinate ${\displaystyle t}$ nach der Eigenzeit des Testkörpers in die Formel für die zweite Ableitung der Koordinate ${\displaystyle r}$ nach der Eigenzeit eingesetzt, ergibt sich:[11]

${\displaystyle {\ddot {r}}=\underbrace {-{\frac {M}{r^{2}}}+r{\dot {\phi }}^{2}} _{\text{klass. Term}}\underbrace {-3M{\dot {\phi }}^{2}} _{\text{rel. Zusatzterm}}}$

Diese Gleichung unterscheidet s​ich von d​er klassischen Gleichung n​ach Newton d​urch den zusätzlichen Term i​n der Gleichung für d​ie radiale Komponente. Dieser bewirkt, d​ass sich Teilchen m​it Ausnahme d​es Falls, i​n dem d​ie Umlaufgeschwindigkeit d​ie exakte Kreisbahngeschwindigkeit ist, n​icht auf geschlossenen Bahnen u​m das stellare Objekt bewegen:

• Bei Entfernungen ${\displaystyle \textstyle r>3M}$ ist die relativistische Zentrifugalkraft ${\displaystyle \textstyle (r-3M){\dot {\phi }}^{2}}$ gegenüber der klassischen Physik vermindert. Dadurch ist die Krümmung der Bahn abseits der exakten Kreisbahn bei ${\displaystyle \textstyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{2}(r-3M)}}}$ stärker als bei einer Ellipsenbahn und die Bahn schließt sich nicht nach einem Umlauf. Dieser Effekt ist bei Untersuchungen der Periheldrehung der Merkurbahn experimentell bestätigt worden.[12]
• Bei Entfernungen ${\displaystyle \textstyle r<3M}$ hat die relativistische Zentrifugalkraft ${\displaystyle \textstyle (r-3M){\dot {\phi }}^{2}}$ gegenüber der klassischen Physik ein umgekehrtes Vorzeichen. Anschaulich gesehen wirkt somit in diesem Bereich die Zentrifugalkraft anziehend statt abstoßend. Bahnen, die in den Bereich von 1,5 Schwarzschild-Radien um die Masse herum eindringen, führen demzufolge dazu, dass das Teilchen unmittelbar in die Masse stürzt.[11][13]

Erhaltungsgrößen und Bewegungsgleichungen

Die i​n der Schwarzschildmetrik vorhandene Kugelsymmetrie (drei raumartige Killingfelder) führt z​ur Erhaltung d​es Drehimpulses, d​as zeitartige Killingfeld führt z​ur Erhaltung d​er Energie.

Um anschauliche Parameter zu verwenden, kann für jeden Punkt der Bahn des Teilchens eine lokale Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ eingeführt werden. Diese Geschwindigkeit wird von einem ruhenden Beobachter mit seiner lokalen Uhr und seinem lokalen Maßstab gemessen. Aufgrund der Beschränkung auf eine Bewegung in der ${\displaystyle (r,\phi )}$-Ebene kann diese Geschwindigkeit in eine radiale ${\displaystyle v^{\parallel }}$ und eine azimutale Komponente ${\displaystyle v^{\perp }}$ zerlegt werden. Diese Komponenten können wie folgt berechnet werden:

${\displaystyle v^{\parallel }=\left(1-2M/r\right)^{-1}\left({\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\right)\;}$ und ${\displaystyle \;v^{\perp }={\frac {r\;\left({\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}\right)}{\sqrt {1-2M/r}}}}$.

Ferner gilt:

${\displaystyle v^{2}=\left(v^{\parallel }\right)^{2}\;+\;\left(v^{\perp }\right)^{2}}$.

Mit Hilfe dieser Definitionen lassen sich die Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen), wie Gesamtenergie ${\displaystyle E}$ und Drehimpuls ${\displaystyle L}$ wie folgt ausdrücken:[14]

${\displaystyle L={\frac {mv^{\perp }r}{\sqrt {1-v^{2}}}}\;}$ und ${\displaystyle \;E=m\;{\sqrt {\frac {1-2M/r}{1-v^{2}}}}}$

Die Gesamtenergie ${\displaystyle E}$ des Testpartikels setzt sich aus

${\displaystyle E=m+E_{\rm {kin}}+E_{\rm {pot}}=m\;{\sqrt {\frac {1-2M/r}{1-v^{2}}}},}$

also d​er Ruhe-, d​er kinetischen u​nd der potentiellen Energie zusammen, wobei

${\displaystyle E_{\rm {kin}}=m{\sqrt {1-2M/r}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}-1\right)\;}$ und ${\displaystyle \;E_{\rm {pot}}=m\left({\sqrt {1-2M/r}}-1\right)}$.

Die Bewegungsgleichungen werden m​it dem Term[15]

${\displaystyle \xi$ :={\sqrt {{\frac {E^{2}}{m^{2}}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\left({\frac {L^{2}}{m^{2}\,r^{2}}}+1\right)}}}

als Funktion der Erhaltungsgrößen und der lokalen Dreier-Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ zu:

bezüglich der Eigenzeit ${\displaystyle \tau }$:	als Funktion von ${\displaystyle v}$:	bezüglich der Koordinatenzeit ${\displaystyle t}$:
${\displaystyle {\dot {r}}=\xi }$	${\displaystyle {\dot {r}}=v^{\parallel }{\sqrt {\frac {1-2M/r}{1-v^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}={\frac {\xi m}{E}}\;(1-2M/r)}$
${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {L}{m\;r^{2}}}}$	${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {v^{\perp }}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}={\frac {L}{E\;r^{2}}}\;(1-2M/r)}$
${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {E}{m\;(1-2M/r)}}}$	${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {1}{\sqrt {(1-v^{2})\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)}}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}=1/{\dot {t}}={\frac {m}{E}}\;(1-2M/r)}$

Um die Bahn über den Ereignishorizont hinaus bis zur zentralen Singularität fortzusetzen, ist nur die Form bezüglich der Eigenzeit geeignet, da die Koordinatenzeit bei ${\displaystyle r=2M}$ divergiert.

Lösung für Teilchen ohne Masse

Die Lösung der Bewegungsgleichung für Teilchen ohne Masse unterscheidet sich von den Lösungen für Teilchen mit Masse darin, dass das Quadrat der Vierer-Geschwindigkeit ${\displaystyle (\mathrm {d} s/\mathrm {d} \lambda )^{2}=0}$ ist. Die Erhaltungsgrößen und Bewegungsgleichungen haben in diesem Fall deshalb die folgende andere Form.

Erhaltungsgrößen und Bewegungsgleichungen

Die Bewegung für Teilchen ohne Masse, wie beispielsweise Photonen, kann ebenfalls über die Erhaltungsgrößen Energie ${\displaystyle E}$ und Drehimpuls ${\displaystyle L}$ des Teilchens beschrieben werden. Die weiter oben beschriebene lokale Dreier-Geschwindigkeit entspricht in diesem Fall immer der Lichtgeschwindigkeit. Hier gilt deshalb ${\displaystyle v=1}$. Die Erhaltungsgrößen lassen sich wieder durch die Komponenten von ${\displaystyle v}$ wie folgt ausdrücken:

${\displaystyle L=hfv^{\perp }r}$

${\displaystyle E=hf{\sqrt {1-2M/r}}}$

${\displaystyle h}$ steht hier für das plancksche Wirkungsquantum und ${\displaystyle f}$ für die Frequenz.

Die Bewegungsgleichungen werden m​it dem Term[15]

${\displaystyle \xi$ :={\sqrt {E^{2}-\left(1-2M/r\right)\left({\frac {L^{2}}{r^{2}}}\right)}}}

als Funktion der Erhaltungsgrößen und den Komponenten der lokalen Dreier-Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ jetzt zu:

bezüglich des Parameters ${\displaystyle \lambda }$:	als Funktion von ${\displaystyle v}$:
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}=\xi }$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}=E\;v^{\parallel }}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {L}{r^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {E\;v^{\perp }}{r{\sqrt {1-2M/r}}}}}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {E}{1-2M/r}}}$

Shapiroverzögerte Geschwindigkeit

Die Komponenten ${\displaystyle u_{\perp }}$ und ${\displaystyle u_{\parallel }}$ der shapiroverzögerten Geschwindigkeit ${\displaystyle u}$ im System eines hinreichend weit entfernten unbewegten Beobachters sind:[16]

${\displaystyle u_{\perp }=v^{\perp }{\sqrt {1-2M/r}}}$

${\displaystyle u_{\parallel }\;=v^{\parallel }\;\;(1-2M/r)}$

Dabei ist ${\displaystyle v^{\parallel }}$ erneut die radiale und ${\displaystyle v^{\perp }}$ die azimutale Komponente der lokalen Dreier-Geschwindigkeit. Die radiale Komponente enthält das Quadrat des Wurzelterms, da zusätzlich zur gravitativen Zeitdilatation noch eine radiale Längenkontraktion von ebenfalls ${\displaystyle {\sqrt {1-2M/r}}}$ auftritt.

Anwendungen

Die äußere Schwarzschild-Metrik beschreibt i​n guter Näherung d​as Gravitationsfeld e​ines stellaren Objekts. Auf u​nser Sonnensystem angewendet, stimmen d​ie so berechneten Werte für d​ie Ablenkung d​es Lichts a​n der Sonne m​it den Beobachtungen überein. Auch d​ie Abweichung d​er Periheldrehung Merkurs v​on dem m​it der klassischen Mechanik ermittelten Wert[17][18] lässt s​ich mithilfe d​er Schwarzschildmetrik erklären.[9] Für d​ie Physik innerhalb u​nd außerhalb v​on Sternen verwendet m​an das vollständige Schwarzschild-Modell m​it der inneren Schwarzschild-Lösung für d​en Bereich innerhalb d​es Sterns.[9]

Koordinatensysteme

Das Linienelement i​n einer Schwarzschild-Karte für e​ine statische, kugelsymmetrische Raumzeit h​at allgemein d​ie Form

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-f(r)^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+g(r)^{2}\,\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}$

und d​as für e​ine isotrope Karte e​iner statischen, kugelsymmetrischen Raumzeit

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-f(r)^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+h(r)^{2}\left(\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)}$

mit dem Raumwinkelelement ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}}$ und den Koordinaten

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\quad r_{1}<r<r_{2},\quad 0<\theta <\pi ,\quad -\pi <\phi <\pi .}$

Dabei sind ${\displaystyle f,g}$ und ${\displaystyle h}$ beliebige Funktionen der radialen Koordinate ${\displaystyle r}$. Neben den Schwarzschild-Koordinaten gibt es daher eine Reihe weiterer Koordinatensysteme, die bei der Untersuchung unterschiedlicher Aspekte der Schwarzschild-Lösung vorteilhaft sind.[19] In der folgenden Tabelle sind alle Koordinaten, die sich von den Schwarzschild-Koordinaten unterscheiden, mit einer Tilde gekennzeichnet:

Koordinaten	Linienelement	Bemerkung	Eigenschaften
Schwarzschild	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}$		Flächen mit konstanter Zeit und konstantem Radius sind Kugeln (passende Krümmung und Fläche).
Eddington-Finkelstein (einlaufend)	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\,\mathrm {d} {\tilde {v}}^{2}+2\,\mathrm {d} {\tilde {v}}\,\mathrm {d} r+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}$	${\displaystyle \textstyle {\tilde {v}}=t+\left(r+r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right|\right)}$	regulär bei ${\displaystyle r=r_{\rm {s}}}$, in die Zukunft erweitert, für einfallendes Licht: ${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {v}}=0}$
Eddington-Finkelstein (auslaufend)	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\,\mathrm {d} {\tilde {u}}^{2}-2\,\mathrm {d} {\tilde {u}}\,\mathrm {d} r+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}$	${\displaystyle \textstyle {\tilde {u}}=t-\left(r+r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}-1\right|\right)}$	regulär bei ${\displaystyle r=r_{\rm {s}}}$, in die Vergangenheit erweitert, für ausfallendes Licht: ${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {u}}=0}$
Gullstrand-Painlevé	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)\,\mathrm {d} {\tilde {t}}^{2}+2{\sqrt {\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}\,\mathrm {d} {\tilde {t}}\,\mathrm {d} r+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}$	${\displaystyle \textstyle {\tilde {t}}=t+2{\sqrt {rr_{\rm {s}}}}-r_{\rm {s}}\ln \left|{\frac {{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}+1}{{\sqrt {\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}-1}}\right|}$	regulär bei ${\displaystyle r=r_{\rm {s}}}$
isotrop (Kugel)	${\displaystyle \textstyle -\left({\frac {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{4{\tilde {\rho }}}}}{1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4{\tilde {\rho }}}}}}\right)^{\!\!2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4{\tilde {\rho }}}}\right)^{\!4}\left(\mathrm {d} {\tilde {\rho }}^{2}+{\tilde {\rho }}^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)}$	${\displaystyle r=\left(1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4{\tilde {\rho }}}}\right)^{2}{\tilde {\rho }}}$	Lichtkegel für Ebenen konstanter Zeit sind isotrop.
isotrop (kartesisch)	${\displaystyle \textstyle -\left({\frac {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{4{\tilde {\rho }}}}}{1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4{\tilde {\rho }}}}}}\right)^{\!\!2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1+{\frac {r_{\rm {s}}}{4{\tilde {\rho }}}}\right)^{\!4}\left(\mathrm {d} {\tilde {x}}^{2}+\mathrm {d} {\tilde {y}}^{2}+\mathrm {d} {\tilde {z}}^{2}\right)}$	${\displaystyle {\tilde {\rho }}={\sqrt {{\tilde {x}}^{2}+{\tilde {y}}^{2}+{\tilde {z}}^{2}}}}$	Lichtkegel für Ebenen konstanter Zeit sind isotrop.
Kruskal-Szekeres	${\displaystyle -{\frac {4r_{\rm {s}}^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}\,\left(\mathrm {d} {\tilde {T}}^{2}-\mathrm {d} {\tilde {R}}^{2}\right)+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}$	${\displaystyle {\tilde {T}}^{2}-{\tilde {R}}^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}\right)e^{\frac {r}{r_{\rm {s}}}}}$	regulär bei ${\displaystyle r=r_{\rm {s}}}$, auf die gesamte Raumzeit erweitert
Lemaître	${\displaystyle -\mathrm {d} {\mathcal {\tilde {T}}}^{2}+{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\,\mathrm {d} {\mathcal {\tilde {R}}}^{2}+r^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}}$	${\displaystyle r=\left({\tfrac {3}{2}}({\mathcal {\tilde {R}}}-{\mathcal {\tilde {T}}})\right)^{\frac {2}{3}}r_{\rm {s}}^{\frac {1}{3}}}$	regulär bei ${\displaystyle r=r_{\rm {s}}}$, für einfallende Teilchen: ${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {R}}=0}$

Innere Lösung

Die innere Schwarzschild-Lösung beschreibt die Metrik einer homogen gedachten inkompressiblen Flüssigkeitskugel. Die Lösung berücksichtigt sowohl die Volumenzunahme durch die Krümmung des Raumes als auch die Potentialverringerung durch die Zeitkrümmung im Inneren und somit eine konstante Teilchendichte. Die Integration der Feldgleichungen reduziert sich auf die Summation eines Potentials (von ${\displaystyle r=0}$ bis ${\displaystyle r=R}$ für einen Körper mit Radius ${\displaystyle R}$). Für die Zusammengehörigkeit beider Lösungen ist Voraussetzung, dass an der Grenzfläche die Metrik und ihre ersten Ableitungen jeweils übereinstimmen.

Linienelement

Für ein statisches, ideales Fluid mit konstanter Dichte ${\displaystyle \rho _{0}}$ im inneren Bereich ${\displaystyle \textstyle r<R}$ des stellaren Objekts erhält man für das Linienelement[20][9]

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=-\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{R}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }r^{2}}{R^{3}}}}}\right)^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }r^{2}}{R^{3}}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )\;\mathrm {d} \phi ^{2}}$

eine strenge Lösung der einsteinschen Feldgleichungen. ${\displaystyle R}$ ist der Wert der radialen Variable an der Grenzfläche der inneren Lösung und der äußeren Lösung, somit der Wert an der Oberfläche des stellaren Objekts.

Durch die Substitution ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}^{2}={\frac {3c^{2}}{8\pi G\rho _{0}}}=R^{3}/r_{\mathrm {s} }}$ lässt sich das Linienelement in der Form[21][22]

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}\right)^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )\mathrm {d} \phi ^{2}}$

schreiben.

Geometrische Deutung

Die v​on Einstein i​n die Gravitationsphysik eingeführten geometrischen Methoden l​egen es nahe, a​uch das o​bige Linienelement geometrisch z​u deuten. Durch d​ie Koordinatentransformation

${\displaystyle r={\mathcal {R}}\sin \eta ,\qquad \mathrm {d} t=2{\mathcal {R}}\ \mathrm {d} \psi ,\qquad R={\mathcal {R}}\sin \eta _{\mathrm {g} }}$

erhält man

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\mathcal {R}}^{2}\mathrm {d} \eta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\mathrm {d} \theta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\sin ^{2}(\theta )\,\mathrm {d} \phi ^{2}+\left(3{\mathcal {R}}\cos \eta _{\mathrm {g} }-{\mathcal {R}}\cos \eta \right)^{2}\mathrm {d} \psi ^{2}}$.

Dadurch wird ersichtlich, dass der Raumteil der Metrik das Linienelement auf einer dreidimensionalen Kugelhaube im vierdimensionalen ebenen Raum mit dem Radius ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ und mit dem Öffnungswinkel ${\displaystyle \eta _{\mathrm {g} }}$ ist.

Vollständige Schwarzschild-Lösung

Querschnitt durch die Kugelhaube und das flammsche Paraboloid mit ${\displaystyle r_{g}=R}$

Vollständige schwarzschildsche Lösung

Um zu einer Vorstellung zu kommen, wie sich die vollständige schwarzschildsche Lösung mit Hilfe einer Extradimension in einem ebenen Raum einbetten lässt, beschränkt man sich zunächst auf die ersten zwei Terme der Linienelemente. Die äußere Lösung wird durch das flammsche Paraboloid visualisiert. Diese Fläche wird an geeigneter Stelle ${\displaystyle r=R}$ abgeschnitten und von unten her eine Kugelhaube so angepasst, dass die Tangentialflächen beider Schwarzschild-Flächen zusammenfallen.

Hinzunahme des dritten Terms in der Metrik bringt eine Wiederholung dieser Überlegung für eine weitere Teilfläche. Der Zeitteil der Metrik ist nur dann verständlich, wenn man den darin enthaltenen Faktor 3 auf eine Grundeigenschaft der Parabel als bestimmende Kurve der äußeren Lösung zurückführt. Verlängert man den Krümmungsvektor der Parabel bis zu ihrer Leitlinie, so haben die Abschnitte der entstehenden Strecke das Verhältnis 1:2. Da an der Grenzfläche der Abstand der Parabel zur Leitlinie ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ist, hat der Krümmungsvektor dort die Länge ${\displaystyle 2{\mathcal {R}}}$ und die ganze Strecke ${\displaystyle 3{\mathcal {R}}}$. Die Projektion in die Richtung der Extradimension ist ${\displaystyle 3{\mathcal {R}}\cos \eta _{\mathrm {g} }}$. Der Radiusvektor zu einem beliebigen Punkt auf der Kugelhaube hat die Projektion ${\displaystyle {\mathcal {R}}\cos \eta }$. Die beiden Strecken werden um den imaginären Winkel ${\displaystyle \mathrm {i} \psi }$ rotiert. Es entstehen zwei konzentrische imaginäre (offene) Kreise, deren pseudoreelles Abbild Hyperbeln sind. (Imaginäre Kreise werden auch Hyperbeln konstanter Krümmung genannt.) Der Abstand der Kreise entspricht dem Klammerausdruck in der obigen Metrik. Beim Fortschreiten auf den Kreisen um ${\displaystyle \mathrm {d} \,\mathrm {i} \psi }$ überstreicht diese Strecke eine Fläche, die proportional zur vergangenen Zeit ist.

Erhaltungssatz

Der Energie-Impulstensor d​es idealen, statischen Fluids h​at in kartesischen Koordinaten d​ie Form

${\displaystyle (T_{\mu \nu })={\begin{pmatrix}c^{2}\rho _{0}&0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{pmatrix}}}$.

Der hydrostatische Druck

${\displaystyle p={1 \over \kappa }{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}{\frac {\cos \eta -\cos \eta _{\mathrm {g} }}{3\cos \eta _{\mathrm {g} }-\cos \eta }},\qquad \kappa =8\pi G/c^{2}}$

nimmt nach innen zu, was der Anziehung der Flüssigkeitskugel auf ihre äußeren Teile entspricht. Ein Blick auf den Nenner der Druckfunktion zeigt, dass bei zu großem Grenzwinkel ${\displaystyle \eta _{\mathrm {g} }}$ der Druck unendlich wird, bzw. das Vorzeichen wechselt und nach außen gerichtet ist. Dadurch geht die Stabilität des Himmelskörpers verloren. Andererseits hat die Druckfunktion eine so steile Flanke, dass man durch die innere Schwarzschild-Lösung auch exotische Objekte beschreiben kann, deren innerer Druck so hoch ist, dass die atomare oder sogar die elementare Struktur der Materie zusammenbricht. Keinesfalls kann jedoch an den Ereignishorizont eine Halbkugel angepasst werden. Im Rahmen der vollständigen Schwarzschild-Lösung können daher keine Schwarzen Löcher beschrieben werden.

Die Energiedichte

${\displaystyle c^{2}\rho _{0}={\frac {1}{\kappa }}{\frac {3}{{\mathcal {R}}^{2}}}}$

entspricht bis auf den Faktor ${\displaystyle c^{2}}$ der Materiedichte und ist konstant, was die Inkompressibilität der Flüssigkeit zum Ausdruck bringt. Mit der Kontinuitätsgleichung

${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$

wobei ${\displaystyle \nabla }$ für die kovariante Ableitung steht, lässt sich zeigen, dass Druck und Energiedichte kovariant erhalten sind. Aus dem Aufbau von ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ erhält man

${\displaystyle \nabla _{\mu }p=\left(p+c^{2}\rho _{0}\right)E_{\mu },\qquad {\dot {p}}=0,\qquad {\dot {\rho }}_{0}=0}$.

Die Druckzunahme n​ach innen i​st durch d​ie Schwerewirkung d​es Gravitationsfeldes

${\displaystyle (E_{\mu })=\left(-{\frac {1}{\mathcal {R}}}{\frac {\sin \eta }{3\cos \eta _{\mathrm {g} }-\cos \eta }},0,0,0\right)}$

bestimmt. Druck u​nd Energiedichte s​ind zeitlich konstant. Die innere Schwarzschild-Lösung i​st daher e​in Versuch d​er Geometrisierung d​er Materie.

Verallgemeinerungen zu anderen Metriken

Die Schwarzschild-Metrik lässt s​ich durch Hinzunahme weiterer Phänomene w​ie elektrischer Ladung, Drehimpuls o​der Extradimensionen verallgemeinern.

Eine exakte Lösung d​er einsteinschen Feldgleichungen für d​ie Hinzunahme v​on Drehimpuls i​st die Kerr-Metrik, d​ie eine Vakuumlösung rotierender, a​ber ungeladener schwarzer Löcher darstellt. Betrachtet m​an weiterhin statische (verschwindender Drehimpuls), a​ber elektrisch geladene schwarze Löcher, erhält m​an als exakte Lösung d​ie Reissner-Nordström-Metrik. Die Kerr-Newman-Metrik i​st eine exakte Lösung für sowohl rotierende a​ls auch elektrisch geladene schwarze Löcher i​n vier Dimensionen.

Die einfachste exakte Lösung Schwarzschild-artiger schwarzer Löcher in ${\displaystyle n}$ (räumlichen) Extradimensionen (sodass insgesamt ${\displaystyle D=4+n}$ Dimensionen verwendet werden) ist die Schwarzschild-Tangherlini-Metrik. Sie stellt ebenfalls die Lösung des elektrisch neutralen, statischen Problems dar.

Eine weitere Verallgemeinerung für d​en Fall zeitlich n​icht konstanter Masse (z. B. aufgrund v​on Hawking-Strahlung) stellt d​ie Vaidya-Metrik dar.

Literatur

Originalarbeiten

• Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften. Reimer, Berlin 1916, S. 189–196.
• Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften. Reimer, Berlin 1916, S. 424–434.
• Ludwig Flamm: Beiträge zur Einsteinschen Gravitationstheorie. In: Physikalische Zeitschrift. Band 17, 1916, S. 448.

Weiterführende Literatur

• Arthur Stanley Eddington: The mathematical theory of relativity. Chelsea Publications, New York 1975, ISBN 0-8284-0278-7.
• Stephen Hawking & George F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. CUP, Cambridge 2006, ISBN 0-521-09906-4 (Nachdruck der Ausgabe Cambridge 1973).
• Pascual Jordan: Schwerkraft und Weltall. Vieweg, Braunschweig 1955.
• Max von Laue: Die allgemeine Relativitätstheorie (= Die Relativitätstheorie. 2). Vieweg, Braunschweig 1965.
• Christian Møller: The theory of relativity. OUP, Oxford 1972, ISBN 0-19-851256-2.
• Wolfgang Rindler: Essential relativity. Special, general and cosmological. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-10090-3.
• Ya. B. Zel’dovich, I. D. Novikov: Relativistic Astrophysics. The University of Chicago Press, Chicago, Ill.
  • 1. Bd. Stars and relativity. 1978, ISBN 0-226-97956-3.
  • 2. Bd. The structure and evolution of the universe. 1983, ISBN 0-226-97957-1.
• John Lighton Synge: Relativity. The general theory. North-Holland Publishing Company, Amsterdam 1976, ISBN 0-7204-0066-X.
• Richard C. Tolman: Relativity, thermodynamics and cosmology. Dover Publications, New York 1987, ISBN 0-486-65383-8 (Nachdruck der Ausgabe Oxford 1934).
• Kip S. Thorne: Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy.

Einzelnachweise

1. Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 7. Auflage. Springer Spektrum, 2016, ISBN 978-3-662-53105-1.
2. U. E. Schröder: Gravitation. Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Harri Deutsch, 2007, ISBN 978-3-8171-1798-7, S. 103.
3. Christian Heinicke, Friedrich W. Hehl: "Schwarzschild and Kerr Solutions of Einstein's Field Equation - an introduction", Seite 16 - "2.1 Historical remarks", in: arxiv:1503.02172v1
4. Sean Carroll: Lecture Notes on General Relativity. Kapitel 7, Gleichung 7.29.
5. Sean Carroll: Lecture Notes on General Relativity (Arxiv.org) Kapitel 7, Gleichung 7.29.
6. Sean Carroll: Lecture Notes on General Relativity. Kapitel 7, Gleichung 7.33.
7. Leonard Susskind: General Relativity Lecture 4. 15. Oktober 2012 (Youtube Zeitstempel 34m18s).
8. David Lerner: Geodesics and curvature. (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 2. September 2018; abgerufen am 3. Oktober 2021 (englisch).
9. Prof. Dr. U. Motschmann: Allgemeine Relativitätstheorie, Skriptum zur Vorlesung. (PDF) TU Braunschweig, 1. Januar 2020, S. 167.
10. Misner, Thorne & Wheeler: Gravitation. S. 166, § 6.2 ff., abgerufen am 29. April 2017.
11. Cole Miller for the Department of Astronomy, University of Maryland: ASTR 498, High Energy Astrophysics 10.
12. G. M. Clemence: The Relativity Effect in Planetary Motions. In: Reviews of Modern Physics. 19, Nr. 4, 1947, S. 361–364. bibcode:1947RvMP...19..361C. doi:10.1103/RevModPhys.19.361.
13. Marek Abramowicz: Centrifugal-force reversal near a Schwarzschild black hole. In: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 245, Nr. 4, 15. August 1990, S. 720. bibcode:1990MNRAS.245..720A.
14. L.D. Landau, E.M. Lifschitz, Band 2, Klassische Feldtheorie, 12. Auflage, 1997, Seite 298 f.
15. Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. S. 139, 4. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.
16. Cole Miller for the Department of Astronomy, University of Maryland: ASTR 498, High Energy Astrophysics 09.
17. Jose Wudka: Precession of the perihelion of Mercury. (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 13. August 2011; abgerufen am 20. März 2017 (englisch).
18. Janna Levin, Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits. (PDF; 2,6 MB) S. 4 ff., arxiv:0802.0459.
19. Wei-Tou Ni (Hrsg.): One Hundred Years of General Relativity. From Genesis and Empirical Foundations to Gravitational Waves, Cosmology and Quantum Gravity. Band 1. World Scientific, ISBN 981-4635-14-6, S. I-126 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
20. Mike Georg Bernhardt: Relativistische Sterne. (PDF,751kB) Gleichung 2.58. (Nicht mehr online verfügbar.) In: Homepage des Autors. Max-Planck-Institut für Extraterrestrische Physik, 18. Oktober 2010, S. 22, archiviert vom Original.
21. Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. S. 238, 4. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.
22. Mei Xiaochun: The Precise Inner Solutions of Gravity field Equations of Hollow and Solid Spheres and the Theorem of Singularity. doi:10.4236/ijaa.2011.13016.