Lokal flache Einbettung

In d​er Mathematik i​st lokal flache Einbettung e​in Begriff a​us der Topologie v​on Mannigfaltigkeiten. Lokal flache Einbettungen lassen s​ich in vielen Fällen einfacher klassifizieren. Für verschiedene klassische Sätze, e​twa den Satz v​on Schoenflies, i​st lokale Flachheit d​ie allgemeinst-mögliche Voraussetzung.

Definition

Eine Einbettung

${\displaystyle i\colon N\to M}$

zwischen (topologischen) Mannigfaltigkeiten heißt lokal flach, wenn es zu jedem Punkt ${\displaystyle x\in N}$ Karten ${\displaystyle x\in U}$ und ${\displaystyle i(x)\in V}$ und einen Homöomorphismus

${\displaystyle (V,i(U))\simeq (D^{m},D^{n})}$

gibt, wobei ${\displaystyle D^{m}}$ die ${\displaystyle m}$-dimensionale Einheitskugel bezeichnet.

Alexander-Sphäre

Beispiele

• Jede glatte Einbettung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist lokal flach. Die in der Definition verwendeten Karten können in diesem Fall sogar differenzierbar gewählt werden.
• Die Alexander-Sphäre ist eine in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ eingebettete 2-Sphäre, die nicht lokal flach ist.

Anwendungen

Der klassische Satz von Schoenflies besagt, dass es zu jeder geschlossenen Jordan-Kurve ${\displaystyle i\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ einen Homöomorphismus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ gibt, der ${\displaystyle i(S^{1})}$ auf den Einheitskreis abbildet. Dieser Satz lässt sich nicht direkt auf höhere Dimensionen übertragen, u. a. weil die Alexander-Sphäre ein Gegenbeispiel liefert. Jedoch lässt sich der Satz von Schoenflies für lokal flache Einbettungen verallgemeinern.

Satz von Brown: Wird eine (n-1)-dimensionale Sphäre S lokal flach in den n-dimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ eingebettet, so ist das Paar ${\displaystyle (R^{n},i(S))}$ homöomorph zu ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},S^{n-1})}$, wobei ${\displaystyle S^{n-1}}$ die (n-1)-dimensionale Einheitssphäre bezeichnet.

Der Satz v​on Brown g​ilt analog a​uch für l​okal flache Einbettungen d​er Kodimension ≥ 3 (wo e​r von Stallings bewiesen wurde, weshalb d​ie allgemeine Formulierung a​uch als Satz v​on Brown-Stallings bekannt ist), während e​s in Kodimension 2 d​as Phänomen d​er Verknotung gibt.

Literatur

• Barry Mazur: On embeddings of spheres. Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 65 (1959), no. 2, pp. 59–65. online (pdf)
• Morton Brown: Locally flat imbeddings of topological manifolds. Annals of Mathematics, Second series, Vol. 75 (1962), pp. 331–341. online (pdf)
• L.V. Keldysh, A.V. Chernavskii: Topological imbeddings in Euclidean space. Proc. Steklov Inst. Math. 81 (1968) Trudy Mat. Inst. Steklov. online (PDF; 863 kB)

Weblinks

• Isotopy (Encyclopedia of Mathematics)